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§9.5 椭圆. 基础知识 自主学习. 要点梳理 1. 椭圆的概念 在平面内到两定点 F 1 、 F 2 的距离的和等于常数(大 于 | F 1 F 2 | )的点的轨迹叫 . 这两定点叫做椭圆 的 ,两焦点间的距离叫做 . 集合 P ={ M || MF 1 |+| MF 2 |=2 a } , | F 1 F 2 |=2 c , 其中 a > 0, c > 0 ,且 a , c 为常数: ( 1 )若 ,则集合 P 为椭圆; ( 2 )若 ,则集合 P 为线段; ( 3 )若 ,则集合 P 为空集. 椭圆. 焦点. 焦距. a > c.
E N D
§9.5 椭圆 基础知识 自主学习 要点梳理 1.椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫.这两定点叫做椭圆 的,两焦点间的距离叫做. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且a,c为常数: (1)若,则集合P为椭圆; (2)若,则集合P为线段; (3)若,则集合P为空集. 椭圆 焦点 焦距 a>c a=c a<c
基础自测 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离 心率等于 ( ) A. B. C. D. 解析 设长轴长、短轴长分别为2a、2b,则2a=4b, D
2.设P是椭圆 上的点.若F1,F2是椭圆 的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于 ( ) A.4 B.5 C.8 D.10 解析 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10. D
3.已知椭圆x2sin -y2cos =1 (0≤ <2 )的 焦点在y轴上,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析 椭圆方程化为 ∵椭圆焦点在y轴上,∴ 又∵0≤ <2 ,∴ << . D
4.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为 ,则椭圆 C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 ( ) A.9 B.1 C.1或9 D.以上都不对 解析 由题意得 ∴a=5,c=4. ∴a+c=9,a-c=1. C
5.椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点为A,5.椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点为A, 且 F1AF2是顶角为120°的等腰三角形,则此 椭圆的离心率为. 解析 由已知得∠AF1F2=30°,故cos 30°= , 从而e= .
题型分类 深度剖析 题型一 椭圆的定义 【例1】一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与 圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨 迹方程. 两圆相切时,圆心之间的距离与两圆 的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件. 思维启迪
解 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1; O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R. ∴|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知:M在以O1、O2为焦点的椭圆上, 且a=5,c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为
探究提高平面内一动点与两个定点F1、F2的距 离之和等于常数2a,当2a>|F1F2|时,动点的轨迹 是椭圆;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,轨迹不存在. 已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M, 设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直 平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 知能迁移1
解析 点P在线段AN的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|, 由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆. 答案B
题型二 椭圆的标准方程 【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且 P到两焦点的距离分别为5、3,过P且与长轴垂直 的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 思维启迪 .
解 方法一 设所求的椭圆方程为 由已知条件得 解得a=4,c=2,b2=12. 故所求方程为
方法二 设所求椭圆方程为 两个焦点分别为F1,F2. 由题意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4. 在方程 中,令x=±c得|y|= , 在方程 中,令y=±c得|x|= , 依题意有 =3,∴b2=12. ∴椭圆的方程为
探究提高运用待定系数法求椭圆标准方程,即设探究提高运用待定系数法求椭圆标准方程,即设 法建立关于a、b的方程组,先定型、再定量,若位 置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要, 椭圆方程可设为mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n), 由题目所给条件求出m、n即可.
知能迁移2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且 长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆 的方程; (2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称 轴,且经过两点P1( ,1)、P2(- ,- ), 求椭圆的方程. 解 (1)若焦点在x轴上,设方程为 (a>b>0). ∵椭圆过P(3,0),∴ 又2a=3×2b,∴b=1,方程为
若焦点在y轴上,设方程为 ∵椭圆过点P(3,0),∴ =1, 又2a=3×2b,∴a=9, ∴方程为 ∴所求椭圆的方程为 b=3.
(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n). ∵椭圆经过P1、P2点,∴P1、P2点坐标适合椭圆 方程, 则 ①、②两式联立,解得 ∴所求椭圆方程为 ① ②
题型三 椭圆的几何性质 【例3】已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上 一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. (1)在△PF1F2中,使用余弦定理和|PF1|+|PF2|=2a,可求|PF1|·|PF2|与a,c的关 系,然后利用基本不等式找出不等关系,从而求 出e的范围; (2)利用|PF1|·|PF2|sin 60°可证. 思维启迪
(1)解 设椭圆方程为 |PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos 60°. ∵m+n=2a, ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, ∴4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2. 又mn≤ (当且仅当m=n时取等号), ∴4a2-4c2≤3a2,∴ ≥ ,即e≥ . 又0<e<1, ∴e的取值范围是
(2)证明 由(1)知mn= ∴ mnsin 60°= 即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
探究提高 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的 计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到a、c的关系. (2)对△F1PF2的处理方法 定义式的平方 余弦定理 面积公式
知能迁移3已知椭圆 的长、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M(在x轴 上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1, ∥ . (1)求椭圆的离心率e; (2)设Q是椭圆上任意一点,F1、F2分别是左、右 焦点,求∠F1QF2的取值范围. 解 (1)∵F1(-c,0),则xM=-c,yM= , ∴kOM=- .∵kAB=- , ∥ , ∴- =- ,∴b=c,故e=
(2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2= , ∴r1+r2=2a,|F1F2|=2c, cos = 当且仅当r1=r2时,cos =0,∴
题型四 直线与椭圆的位置关系 【例4】(12分)椭圆C: 的两 个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2, |PF1|= ,|PF2|= . (1)求椭圆C的方程; (2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆 C于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线l的 方程.
(1)可根据椭圆定义来求椭圆方程; (2)方法一:设斜率为k,表示出直线方程,然后 与椭圆方程联立,利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解; 方法二:设出A、B两点坐标,代入椭圆方程,作 差变形,利用中点坐标公式及斜率求解(即点差 法). 思维启迪
解 (1)因为点P在椭圆C上, 所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 2分 在Rt△PF1F2中, 故椭圆的半焦距c= , 4分 从而b2=a2-c2=4, 所以椭圆C的方程为 6分
(2)方法一 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的 坐标为(-2,1),从而可设直线l的方程为: y=k(x+2)+1, 8分 代入椭圆C的方程得: (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A,B关于点M对称, 所以 10分 所以直线l的方程为y= (x+2)+1, 即8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) 12分
方法二 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5, 所以圆心M的坐标为(-2,1), 8分 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由题意x1≠x2, ① ② 由①-②得: ③ 因为A,B关于点M对称, 所以x1+x2=-4,y1+y2=2,
代入③得 即直线l的斜率为 , 10分 所以直线l的方程为y-1= (x+2), 即8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意). 12分
探究提高(1)直线方程与椭圆方程联立,消元后探究提高(1)直线方程与椭圆方程联立,消元后 得到一元二次方程,然后通过判别式Δ来判断直 线和椭圆相交、相切或相离. (2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭 圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和 与两根之积的形式,这是进一步解题的基础. (3)若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦 的端点坐标,代入方程,用点差法求弦的斜率.注 意求出方程后,通常要检验.
知能迁移4若F1、F2分别是椭圆 (a>b>0)的左、右焦点,P是该椭圆上的一个 动点,且|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2 . (1)求出这个椭圆的方程; (2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆 交于不同的两点A、B,使⊥(其中O为坐 标原点)?若存在,求出直线l的斜率k;若不存 在,说明理由.
解 (1)依题意,得2a=4,2c=2 , 所以a=2,c= ,∴b= ∴椭圆的方程为 (2)显然当直线的斜率不存在,即x=0时,不满 足条件. 设l的方程为y=kx+2, 由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y并整理,得
(1+4k2)x2+16kx+12=0. ∴Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)>0, 解得k2> . ① x1+x2=- ,x1x2= ∵ ⊥ ,∴ · =0, ∴ · =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2) =x1x2+k2x1x2+2k(x1+x2)+4 =(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
∴k2=4. ② 由①②可知k=±2, 所以,存在斜率k=±2的直线l符合题意.
方法与技巧 1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴 端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离, 且最大距离为a+c,最小距离为a-c. 2.过焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的弦是最 短的弦,而且它的长为 .把这个弦叫椭圆 的通径. 3.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次 方程,再结合b2=a2-c2就可求得e (0<e<1). 思想方法 感悟提高
4.从一焦点发出的光线,经过椭圆(面)的反射,4.从一焦点发出的光线,经过椭圆(面)的反射, 反射光线必经过椭圆的另一焦点. 5.过椭圆外一点求椭圆的切线,一般用判别式Δ=0 求斜率,也可设切点后求导数(斜率). 6.求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断 是否为标准方程,判断的依据是:(1)中心是否 在原点,(2)对称轴是否为坐标轴.
失误与防范 1.求椭圆方程时,在建立坐标系时,应该尽可能 以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简 方程——椭圆的标准方程. 2.求两曲线的交点坐标,只要把两曲线的方程联 立求方程组的解,根据解可以判断位置关系,若 方程组有解可求出交点坐标. 3.注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某 一点坐标视为某一函数问题求解时,求函数的单 调区间、最值时有重要意义. 4.判断椭圆标准方程的原则为:长轴、短轴所在 直线为坐标轴,中心为坐标原点.
5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与 y2的分母大小,若x2的分母比y2的分母大,则焦点 在x轴上,若x2的分母比y2的分母小,则焦点在y 轴上. 6.注意椭圆的范围,在设椭圆 上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往 在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容 易被忽略而导致求最值错误的原因.
定时检测 一、选择题 1.(2008·上海春招,14)已知椭圆 =1,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( ) A.4 B.5 C.7 D.8 解析 椭圆焦点在y轴上,∴a2=m-2,b2=10-m. 又c=2,∴m-2-(10-m)=22=4.∴m=8. D
2.已知点M( ,0),椭圆 =1与直线 y=k(x+ )交于点A、B,则△ABM的周长为 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 解析 直线y=k(x+ )过定点N(- ,0),而M、N 恰为椭圆 的两个焦点,由椭圆定义知△ABM的周长为4a=4×2=8. B
3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积 的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为 ( ) A.1 B. C.2 D.2 解析 设椭圆 ,则使三角 形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短 轴端点, ∴S= ×2c×b=bc=1≤ ∴a2≥2.∴a≥ .∴长轴长2a≥2 ,故选D. D
4.(2009·浙江文,6)已知椭圆 (a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在 椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若 =2,则椭圆的离心率是 ( ) A. B. C. D.
解析 如图,由于BF⊥x轴, 故xB=-c,yB= ,设P(0,t), ∵ =2 , ∴(-a,t)=2 ∴a=2c,∴e= 答案D
5.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长5.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长 轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是 等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 解析 ∵△ABF2是等腰直角三角形,∴|AF1|=|F1F2|,将x=-c代入椭圆方程 从而 即a2-c2=2ac,整理得e2+2e-1=0, 解得e=-1± ,由e∈(0,1),得e= -1. C
6.(2009·江西理,6)过椭圆 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦 点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 解析 由题意知点P的坐标为 ∵∠F1PF2=60°, ∴ 即2ac= b2= (a2-c2). ∴ e2+2e- =0,∴e= 或e=- (舍去). B
二、填空题 7.(2009·广东理,11)已知椭圆G的中心在坐标 原点,长轴在x轴上,离心率为 ,且G上一点 到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程 为. 解析 设椭圆的长半轴为a,由2a=12知a=6, 又e= = ,故c=3 ,∴b2=a2-c2=36-27=9. ∴椭圆标准方程为
8.设椭圆 (m>0,n>0)的右焦点与抛 物线y2=8x的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的 标准方程为. 解析 抛物线y2=8x的焦点是(2,0),∴椭圆 的半焦距c=2,即m2-n2=4,又e= ∴m=4,n2=12. 从而椭圆的方程为
9.B1、B2是椭圆短轴的两端点,O为椭圆中心,过9.B1、B2是椭圆短轴的两端点,O为椭圆中心,过 左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P,若|F1B2|是 |OF1|和|B1B2|的等比中项,则 的值是. 解析 由已知2bc=a2=b2+c2,∴b=c= 设P(x0,y0),则x0=-c,|y0|=|PF1|.