Gradient d’une fonction

1. Gradient d’une fonction

2. Généralités • La notion de gradient est d’un usage courant : on parle du gradient de température, gradient de concentration... • En électromagnétisme on effectue souvent des calculs de variations de grandeurs scalaires ou vectorielles. • La variation par rapport à x d’une fonction à plusieurs variables est obtenue en calculant la dérivée par rapport à x de cette fonction en considérant y et z comme des constantes ; on parle alors de dérivée partielle • La variation d’une fonction de plusieurs variables qui résulterait de petites variations simultanées des variables x,y et z est la somme des dérivées partielles

3. Produit scalaire de deux vecteurs La variation de la fonction f(x,y,z) s ’écrit Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs le vecteur déplacement un vecteur de coordonnées Ce vecteur est • confondu avec l’opérateur dérivée partielle • appelé gradient de la fonction f(x,y,z) • noté Cet opérateur vectoriel n’est qu’un outil mathématique destiné à rendre compte des réalités simples et concrètes.

4. M f constante Caractéristiques du vecteur gradient Direction  Soit un déplacement dM sur la surface f=constante  

5. f constante f ’constante > f Sens Soit un déplacement dM orthogonal à la surface f dans le sens f vers f ’ > f

6. f 2> f1 f1constante Caractéristiques du vecteur • normal à la surface iso-f • dirigé dans le sens des f croissants • de coordonnées cartésiennes

7. dj q q r.dj M M M j 0 0 0 dr dz dq dq dr dz r.dq dy dx r.sinj.dq Système de coordonnées Coordonnées cartésiennes cylindriques sphériques (r, q, j) (x, y, z) (r, q, z) Vecteur déplacement Vecteur déplacement Vecteur déplacement (dr, rSinj.dq, r.dj) (dr, rdq, dz) (dx, dy, dz) Composantes de l ’opérateur gradient z z r y r x

8. Autre notation Remarques Opérateur : Nabla Opérateur gradient opérateur vectoriel agissant Fonction scalaire Fonction vectorielle rotationnel divergence

9. ou déplacement gradient f Gradient d ’une fonction La variation d’une fonction de plusieurs variables Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs Le vecteur gradient est • confondu avec l’opérateur dérivée partielle • noté • perpendiculaire à la surface f constante • dirigé dans le sens des f croissants

10. calculer z M r y 0 x Exercice En coordonnées cartésiennes (un) ’=n.un-1.u ’ de la même façon

11. suite

12. Théorème du gradient Si un vecteur est représentable comme le gradient d’une fonction scalaire f L’intégrale d’un vecteur le long d’un chemin est appelée circulation du vecteur • La circulation d ’un tel vecteur • est indépendante du chemin suivi • ne dépend que du point de départ et d ’arrivée • si la boucle est fermée, la circulation est nulle

13. M u r q Potentiel électrique Une charge électrique q créé en un point M à la distance r de la charge un champ électrique avec V est appelé potentiel électrique créé par la charge q à la distance r de la charge V est une fonction scalaire

14. M u r q fonction scalaire Opérateur gradient RAPPEL Une charge électrique q créé en un point M à la distance r un champ électrique Le potentiel électrique créé en M par la charge q s ’écrit

15. Application du théorème du gradient • La tension électrique UAB entre les points A et B est égale à la circulation du champ électrostatique entre ces deux points si la courbe est fermée

16. 0 0 Commentaires • Le potentiel est défini à une constante près • On ne peut pas mesurer un potentiel V • L ’unité de potentiel électrique est le Volt • On ne peut que mesurer des différences de potentiel entre deux points • Il est souvent plus aisé de déterminer • le potentiel créé par une distribution de charges • on calcule le gradient du potentiel •  le champ par E=-gradV • Composante radiale de

17. Commentaires (suite) • Le potentiel créé par une distribution discrète de charges • Le potentiel créé par une distribution continue de charges distribution linéique distribution surfacique distribution volumique

18. normal à la surface V constant dirigé dans le sens des V croissants Ligne de champ - + V1 V1 équipotentielle V2 < V1 V2 > V1 Surfaces équipotentielles Ensembles des points pour lesquels V = constante Les équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ Les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants