Wykład 2 Pole skalarne i wektorowe

1. Wykład 2Pole skalarne i wektorowe • Funkcja wielu zmiennych • Pochodna cząstkowa. • Gradient • Dywergencja • Rotacja

2. Zmienna niezależna Zmienna zależna Funkcja jednej zmiennej

3. Funkcja jednej zmiennej • Wykres y=f(t) jest krzywą płaską

4. Zmienna zależnat Zmienna niezależna Zmienna niezależna Funkcja wielu zmiennych

5. Funkcja wielu zmiennych • Wykres – powierzchnia w 3D

6. Pochodna cząstkowa • Pochodna z funkcji jednej zmiennej ( względem tej zmiennej) jest gradientem funkcji; • Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennychto pochodna tej funkcji względem jednej ze zmiennych niezależnych;

7. Pochodna cząstkowa • Inne zmienne niezależne traktujemy jako stałe; • Pochodna cząstkowajest gradientem powierzchni w kierunku danym przez tę zmienną, względem której liczono pochodną: pochodna cząstkowa względem x

8. Przykład • Pochodna cząstkowa funkcji: • względemx(traktujemyyjako stałą): • względem y (traktujemyxjako stałą):

9. Pole skalarne i wektorowe • Pole skalarne opisuje funkcja skalarna wielu zmiennych ( np. ciśnienie, temperatura) • Pole wektorowe – funkcja wektorowa wielu zmiennych(np.prąd powietrza, ciepła, pole magnetyczne).

10. Pole skalarne i wektorowe • Pole skalarne: • np.

11. Pole skalarne i wektorowe • Pole wektorowe (2D) : • np.

12. Pole wektorowe Przepływ wody wokół podpory mostu

13. Pole skalarne • Głębokość wody w Auckland Harbour

14. Pole wektorowe Prądy wodne w Waitemata Harbour

15. Operator Gradientu • Rozważmy funkcję skalarnąf = f (x, y, z). • Jak policzyć jak szybko f zmienia się wzdłuż pewnej krzywej C opisanej równaniem: • sjest długością mierzoną wzdłużC; chcemy policzyć pochodną fwzględemsaby stwierdzić jak szybko zmienia się ona względem C. • Niech wjest równa wartościfna krzywejC:

16. Operator Gradientu krzywaC t Konturyf (x, y, z) = constant

17. Operator Gradientu • Aby obliczyć jak f zmienia się wzdłuż C liczymy pochodną: • Prawa strona może być też zapisana tak:

18. Operator Gradientu • Czyli: • gdzie tjest jednostkowym wektorem stycznym do s:

19. Operator Gradientu • Operator gradientu : • lub:

20. Przykład • Oblicz gradient funkcji: • Gradient :

21. Operator gradientu • grad f tworzy pole wektorowe z pola skalarnegof • Aby zinterpretować grad fpiszemy: • qjest kątem między wektorem stycznymti wektorem grad f. Ta pochodna jest największa gdy q = 0 i cosq = 1. • grad fjest wektorem, który jest równy maksimum szybkości zmian fi wskazuje kierunek maksimum szybkości zmian.

22. n C t P Powierzchnie w 3D Wektor gradientu w punkcie Pjest prostopadłydo płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie P.Tak więc wektor normalnej ndo powierzchni w punkcie P:

23. Operator dywergencji • Prędkość cieczy lub gazu może reprezentować wektor pola, tzn. • Dywergencja jest miarą źródłowości pola.

24. Operator dywergencji • Rozważmy skalar: • Jeśliv > 0 ciecz wypływa ze źródła • Jeśli v < 0 ciecz wpływa do pewnego punktu

25. Operator dywergencji • Operator dywergencji (div) daje skalar jeśli działa na funkcję wektorową • Operator gradientu (grad) – daje wektor jeśli działa na funkcję skalarną

26. Operator Laplace’a • uwaga:div(grad f )pisze się tak: • To jest operator Laplace’a • Używany jest do modelowania fal, zjawisk dyfuzji i in.

27. Operator rotacji • Prędkość ruchu obrotowego (np. bryły sztywnej) można określić stosując rotację; • Niech wektor prędkości punktów bryły reprezentuje wektor pola

28. Operator rotacji • Operator rotacji wektora pola:

29. Operator rotacji • W postaci macierzowej:

30. Przykład • Obliczrotvdla:

31. Sens fizyczny rotacji • Dla płynącej cieczy, rot voznacza, że mamy do czynienia z wirami: • rotvjest wektorem skierowanym wzdłuż osi obrotu; • jego kierunek określa reguła prawej dłoni; • Przy obrocie bryły sztywnej wokół ustalonej osi: • rotvjest wektorem skierowanym wzdłuż tej osi; • długośćrotvjest równa podwojonej prędkości kątowej.

32. Podsumowanie • Gradient • Maksimum szybkości zmian i kierunek maksymalnej szybkości zmian pola skalarnego • skalar  vektor • Dywergencja • Wskazuje źródło pola • wektor  skalar • Rotacja • Określa obrót wektora pola • wektor  wektor