Трапеция

1. Трапеция

2. Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции. • Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции.

3. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.

4. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. Теорема

5. Доказательство. Рассмотрим трапециюABCD, в которой точка М — середина боковой стороны АВ. Проведем через точку М прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает диагональ АС в точке Р, а сторонуCD в точке N. Применим следствие из теоремы о средней линии треугольника последовательно к треугольникамABCиCAD.Согласно этому следствию точка Р — середина стороны АС треугольника ABC. Но тогдасогласно тому же следствию точка N — середина стороныCDтреугольникаACD.Поэтому отрезки MPиPNявляются средними линиями треугольниковABCи ACD,а отрезокMN— средней линией трапецииABCD.Тем самым доказано, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. • Далее, по теореме о средней линии треугольника • MP = ½ BC, PN = ½ AD • Следовательно, • MN = MP + PN = ½ (BC + AD) • Теорема доказана.

6. Задача 1 • Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина ее средней линии равна с. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеций. • Решение. Рассмотрим трапециюABCD, в которой диагонали АС иBDвзаимно перпендикулярны. Пусть точки K, L, М и N — середины сторон АВ, ВС, CDиDA(рис. 32). По теореме Вариньона четырехугольникKLMN — параллелограмм. Но KL\\AC,LM\\BD, a AC┴BD.ПоэтомуKL ┴ LM,и, следовательно, параллелограммKLMNявляется прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны:LN = KM.Отрезок КМ— средняя линия трапеции, причем по условию КМ = с. Поэтому и искомый отрезокLNравен с.

7. Решение. Рассмотрим трапециюABCD, в которой диагонали АС иBDвзаимно перпендикулярны. Пусть точки K, L, М и N — середины сторон АВ, ВС, CDиDA(рис. 32). По теореме Вариньона четырехугольникKLMN — параллелограмм. Но KL\\AC,LM\\BD, a AC┴BD.ПоэтомуKL ┴ LM,и, следовательно, параллелограммKLMNявляется прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны:LN = KM.Отрезок КМ— средняя линия трапеции, причем по условию КМ = с. Поэтому и искомый отрезокLNравен с.

8. Задача 2 Доказать, что две трапеции равны, если их сторонысоответственно равны.

9. Решение. Рассмотрим трапецииABCDиA1B1C1D1у которых стороны соответственноравны: АВ = А1В1, ВС = В1С1, CD = C1D1, DA = D1A1.Пусть ВС, ADиB1C1 A1D1— основания этих трапеций. Предположим для определенности, чтоAD>BC, тогдаA1D1> В1С1 (рис. 34). Отметим на отрезкахADи A1D1соответственно точки Е и Е1 так, чтобыED = BCи E1D1 = B1C1.ТогдаED = E1D1>и, значит, АЕ = А1Е1, а четырехугольникиBCDEиB1C1D1E1являются параллелограммами (объясните почему). ПоэтомуBE=CD, B1E1 = C1D1(противоположные стороны параллелограмма равны), и так какCD = C1D1,то ВЕ — В1Е1. Таким образом, в треугольникахABEи А1В1Е1 стороны соответственно равны (АВ = А1В1, АЕ = А1Е1, ВЕ = В1Е1), поэтому эти треугольники равны, откуда следует, что ∟ВEA= ∟B 1 E 1 A 1 и∟BEA = ∟B1E1A1.Но∟ВЕА = ∟CDА, ∟BEA = ∟C1D1A1, следовательно, ∟CDA=∟C1D1A1. Тем самым доказано, что в данных трапециях ∟A = ∟A1,∟D=∟D1. Так какAD\\BC, то из равенства∟A = ∟A1следует, что ∟В = ∟В1, а из равенства∟D1=∟D , что ∟C= ∟C1

10. Задача 3 B • Биссектрисы равных углов А и С равнобедренного треугольника ABC пересекают боковые стороны треугольника в точках Е и Р соответственно. Докажите, что четырехугольник АРЕС — трапеция с тремя равными сторонами. P E A C

11. Задача 3 B • Решение. • PE \\AC(свойство биссектрисы равнобедренного треугольника), => ∟PEA = ∟PAE (теорема о накрест лежащих углах), =>AP =PE, => в трапеции равны 3 стороны. P E A C