FACTORIZACION UNICA

1. FACTORIZACION UNICA El teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo enteropositivo se puede representar de forma única como producto de factores primos.

2. Euclides Filosofo y matemático griego que nació alrededor del año 325 a. de C. Su obra más importante de Euclides, y de las matemáticas, sea “Elementos”, que es un extenso tratado de matemáticas sobre materia tales como: geometría plana, proporciones en general, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio.

3. Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Matemático, astrónomo y físicoalemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

4. Mersenne Es recordado principalmente gracias a los números que llevan su nombre: los números primos de Mersenne. Mersenne los introdujo en su Cognitata physico-mathematica en 1641, donde conjeturó algunas propiedades sobre ellos, algunas de las cuales sólo pudieron ser comprobadas o refutadas ya en el siglo XX. También es cierto que tradujo y comentó las obras de Euclides, Arquímedes y otros matemáticos griegos. Mn = 2n − 1.

5. Euclides habla de la conexión entre los números perfectos y los primeros de Mersenne, da una demostración sobre la infinito de los números primos, estudia la divisibilitat, trata el lema de Euclides de factorización que trae al teorema fundamental de la aritmética sobre la factorización única en números primos, y da el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor de dos números, que es lo más rápido que existe.

6. "Todo entero mayor que 1 y que no sea un número primo es igual al producto de un y sólo un conjunto de números primos". Este teorema fue demostrado por primera vez por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss.

7. Divisores. • Teorema fundamental. • Implicaciones.

8. El máximo común divisor (abreviado mcd o m.c.d.) de dos o más números enteros es el mayor número que los divide sin dejar resto.

9. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS • El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos. • De las factorizaciones de 48 y 60: • 48 2 60 2 • 24 2 30 2 • 12 2 15 3 • 6 2 5 5 • 3 3 1 • 1 • 48 = 24 3 60 = 22 3 5 • El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es: • MCD (48, 60) 22 3 = 12

10. ALGORITMO DE EUCLIDES Siendo a y b dos enteros positivos tales que a>b, comenzamos dividiendo a/b, con lo que obtendremos un resto r1 y un cociente q1. Hacemos la operación q1=a/b, utilizando la división entera, sin decimales.... pero realmente no sólo nos interesa el resultado o cociente de la división, sino que nos interesa también el resto, así que la operación la vamos a reescribir de otra forma. Es importante que llamemos "a" al mayor de los dos números. Debemos dividir a entre b y obtener un cociente (al que llamaremos q1) y un resto (al que llamaremos r1). a=q1·b+r1

11. en la segunda iteración, dividiríamos b/r1 obteniendo un resto r2 (hacemos la operación de división para obtener el cociente, al que llamamos q2 y la de obtener el resto, al que llamamos r2), de tal manera que se cumpla lo siguiente: b=q2·r1+r2 En la tercera iteración, dividimos r1/r2 obteniendo un resto r3 r1=q3·r2+r3 Y se continúa así hasta obtener un resto 0. El último resto rk distinto de cero es el mcd. rk-2=qk·rk-1+rk

12. Ejemplo: Halle M.C.D.(12 378, 3 054). 12 378 = 12 378 3 054 + 162 = 4´3 054 + 162 3 054 3 054 =3 054 162 + 138 = 18´162 + 138 162 162 =162 138 + 24 = 1´138 + 24 138 138 =138 24 + 18 = 5´24 + 18 24 24 =24 18 + 6 = 1´18 + 6 18 18 =18 6 + 0 = 3´6 + 0 6 Luego M.C.D.(12 378, 3 054) = 6 que es el último residuo no cero.

13. Conceptos matemáticos • Factorización • Factorización prima • Árbol de factores 2 3 4 7 11

14. FACTORIZACIÓN Factorizar un número o una expresión algebraica, es encontrar los factores que, al multiplicarlos, den un producto igual al número o a la expresión

15. Factorización prima • Te proponemos memorizar estos números primos: {2, 3, 5, 7, 11}, te servirán para muchos cálculos importantes. • Factorización prima es una forma original de escribir cualquier número compuesto. Consiste en descomponer el número en un par de sus factores, luego revisamos si cada uno de ellos es primo y, si no lo es, lo volvemos a descomponer.

16. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA. Cualquier número entero, distinto de cero, puede ser representado en forma del producto de números primos, siendo la descomposición en factores única.

17. Ejemplo Árbol de Factores • Para comprenderlo mejor veamos este ejemplo: • 36 = 12 · 3 (3 es primo y 12 es compuesto, por lo tanto, lo descomponemos en 3 · 4. De estos dos números, 3 es primo y 4 compuesto, por lo que volvemos a descomponer en 2 · 2). • Si tomamos todos los números primos tenemos: 2 · 2 · 3 · 3. A esta forma se le conoce como árbol de factores.

18. 36 16 9 4 4 x x x x x x x x Hallar la facturación prima del numero

19. 100 4 x x x x

20. 144 12 12

21. ENCUENTRA EL MAXIMO COMUN DIVISOR • 16, 24, 40 • 28, 42, 56, 70 • 137, 2603 • 144, 520 • 212, 1431 ENCUENTRA EL MCD POR EL ALGORITMO DE EUCLIDES • 252, 168 • 850, 345 • 47190, 19578 • 1560, 1176 • 2550, 850

22. ENCUENTRA LA FACTORIZACIÓN UNICA POR ARBOL DE FACTORES • 850 • 744 • 518 • 1260 • 2738

23. Algoritmos de factorización De propósito general El tiempo de ejecución de un algoritmo de factorización de propósito general depende solamente del tamaño del entero a factorizar. Éste es el tipo de algoritmo usado para factorizar números RSA. La mayoría de algoritmos de factorización de propósito general están basados en el método de congruencia de cuadrados. A continuación se listan algunos de los algoritmos de propósito general más conocidos: • Algoritmo de Dixon • Factorización con fracciones continuas • Criba cuadrática • Algoritmo general de criba del cuerpo de números • Factorización de formas cuadradas de Shanks

24. De propósito específico El tiempo de ejecución de un algoritmo de factorización de propósito específico depende de las propiedades de sus factores desconocidos: tamaño, forma especial, etc. Dichos factores cambian de un algoritmo a otro. • División por tentativa • Algoritmo rho de Pollard • Algoritmo p-1 de Pollard • Algoritmo p+1 de Williams • Factorización de curva elíptica de Lenstra • Método de factorización de Fermat • Algoritmo especial de criba del cuerpo de números

25. Números compuestos • Un número natural es compuesto si tiene más de dos divisores distintos. • También lo podemos definir como aquel número natural que es mayor que 1 y no es primo. Todo número compuesto puedo descomponerse de forma única como producto de números primos. • Los 20 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32. • Una característica de los números compuestos es que pueden escribirse como producto de dos enteros positivos menores que él. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4 x 5; y también el 87 ya que se expresa como 3 x 29. Sin embargo, no es posible hacer lo mismo con el 17 ó el 23 porque son números primos. • El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor que todos los demás; hay infinitos números compuestos.