1 / 33

Introdução Transformada Z Região de Convergência A Transformada Z inversa Propriedades da Transformada-Z

Transformada-Z. Introdução Transformada Z Região de Convergência A Transformada Z inversa Propriedades da Transformada-Z. Transformada Z. Função: É um operador linear útil para análise de sistemas lineares e invariantes no tempo e para resolver equações diferenças.

alta
Download Presentation

Introdução Transformada Z Região de Convergência A Transformada Z inversa Propriedades da Transformada-Z

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Transformada-Z • Introdução • Transformada Z • Região de Convergência • A Transformada Z inversa • Propriedades da Transformada-Z

  2. Transformada Z • Função: É um operador linear útil para análise de sistemas lineares e invariantes no tempo e para resolver equações diferenças. • Definição: A transformada Z de uma sequência discreta x(n) é dado por • Notação: • A variável z é geralmente complexa e, • A Transformada Z é uma série de potência, que pode ou não convergir . • O espaço do plano complexo para o qual ela converge define a região de convergência.

  3. Transformada Z Região de Convergência da Transformada Z (ROC) • A região de convergência da transformada Z especifica onde X(z) é definida. Geralmente, uma ROC é especificada como parte da transformada Z. • A ROC de X(z) é definida sobre uma região de um anel, centrado na origem de um plano complexo: X(z) converge para A ROC é delimitada por pólos Pólos: valores que anulam o denominador de X(z). Im R- Re R+

  4. Im 1 Re Transformada Z Relação com a transformada de Fourier Expressando a variável z na forma polar, tem-se: Portanto, a transformada de Fourier é um caso particular da transformada Z, quando

  5. Im a 1 Re .... n 0 1 2 3 4 5 6 Seqüência Exponencial à Direita • Uma ferramenta básica de análise usada na transformada Z é a série geométrica. Exemplo: Determinar a transformada Z de x[n]=anu[n] Pólos: valores que anulam o denominador de X(z)

  6. Im a 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Re .... n Seqüência Exponencial à Esquerda Se ou, equivalente, o somatório acima converge, e Zeros: valores que anulam o denominador o x

  7. Propriedades da Transformada Z • Pólos: valores que anulam o denominador de X(z) (raízes) • Zeros: valores que anulam o numerador de X(z) (raízes) • Supondo e seja • Propriedades: Linearidade: A ROC pode ser expandida devido ao cancelamento de pólos e zeros.

  8. Propriedades da Transformada Z • Supondo Deslocamento: Convolução: Se Então A ROC contém a interseção de Rx com Ry.

  9. Im -1/3 1/2 Re Sequência exponencial bi-lateral Assim pela propriedade da linearidade da transformada Z, tem-se Obs. Nenhum pólo pode estar dentro da ROC.

  10. Região de Convergência A série de potência da transformada Z, X(z) não converge para todas as seqüências ou valores de z. Para determinada sequência os valores de z da transformada convergem para uma região chamada de Região de Convergência (ROC). Regiões de Convergência Im Im Im a a 1 1 a b Re Re Re Sequência à esquerda (não-causal) Sequência Bilateral Sequência à direita (causal)

  11. Im 1/2 1 2 O x x Re Exemplo

  12. Importância da Especificação do ROC • É importância especificar a ROC, pois ela é parte da transformada-Z. • Na especificação da transformada Z, X(z), de uma sequência discreta x(n), a ROC deve ser dada, uma vez que x(n) não poderá ser encontrada se X(z) não tem a sua ROC especificada. • Exemplo - Considere duas sequências então É importante entender que X(z)  Y(z). • X(z) + ROC  x(n) única.

  13. Diferentes tipos de sequência - ROC • Duração Finita: , para • À direita: • À esquerda: • Bilateral:

  14. Outras Propriedades da ROC • ROC é um anel ou um disco centrado na origem do plano z complexo. • Uma seqüência discreta x[n] tem transformada de Fourier se somente se a ROC da transformada-Z de x(n) inclui o círculo unitário. • ROC não pode conter pólos. • ROC deve ser uma região conectada, isto é, não pode ter espaço vazios.

  15. Estabilidade e Causalidade • Função de Transferência : Se H(z) é a transforma Z de um sistema linear com resposta ao impulso unitário h(n), i.e., • Teorema: Um sistema linear com função de transferência racional é causal e estável se e somente se todos os pólos de H(z) estão localizados dentro do círculo unitário. Im    1 Re   Círculo unitário ROC

  16. Observação • Supondo que então h[n] pode ser escrito como • Claramente, a transformada-Z de converge se • então, H(z) converge para todo z tal que • Obs. A ROC de um sistema H(z ) causalinclui o círculo unitário.

  17. Prova : Suficiência • Suficiência: supondo que Então então e também então . Consequentemente H(z) é a função de transferência do sistema estável.

  18. Prova : Necessidade • Necessidade: (pela contradição) Supondo que existe um polo pi tal que | pi |>1. Claramente, o círculo unitário não está incluído na ROC de H(z). • Então, existe z0 com |z0|=1 tal que H(z0) não converge absolutamente. Uma vez que não existe tal z0 então a ROC não inclui o círculo unitário. • Então H(z) não é estável.

  19. Properties of Z-Transform Propriedades Sequência Transformada Z ROC 1. Linearidade: 2. Deslocamento no Tempo: 3. Multiplicação: 4. Diferenciação: 5. Conjugado: 6. Tempo Reverso: 7. Convolução: 8. Teorema do Valor Inicial:

  20. Transformada Z Inversa • Transformada-Z Inversa X(z) + ROC  x(n) única. • Métodos • Usando o Teorema do resíduo • Inspeção • Expansões por frações parciais • Pólos de primeira ordem • Pólos de m-ésimaordem

  21. Transformada Z inversa 1- Método de Inspeção: consiste simplesmente em reconhecer certos pares de transformadas, por exemplo: Dado que a transformada inversa de Se a ROC associada , então a transformada inversa é de 2- Método da expansão em frações parciais Consiste emescrever qualquer função racional como uma soma de frações parciais, de modo que para cada fração, a transformada Z inversa seja facilmente reconhecida.

  22. Suponha que X(z) é expressa como uma relação polinomial de z-1. ou equivalentemente o que indica que tais funções têm M zeros e N pólos. Além disso tem-se M - N pólos para z=0, se M >N e N - M zeros para z=0, se N > M. Isso significa que o número de pólos e zeros são sempre iguais, e não há pólos para X(z) pode ser escrito na forma. onde ck são zeros e dk pólos (não nulos) Se todos os M <N pólos são de primeira ordem, então:

  23. Multiplicando ambos os lados por (1 - dk z -1) e avaliando em z = dk Se então deve-se escrever: Se X(z) tem pólos de ordem múltiplos, e então a equação deve ser modificada. Em particular, se X(z) tem um pólo de ordem s em z=di. : Os coeficientes Cmpodem ser obtidos da equação

  24. Exemplo: Suponha que x[n] tem transformada Z dada por: A ROC de X(z) é mostrado na figura Como M = N =2, então X(z) pode ser escrito: A constante B0pode ser encontrada dividindo-se o numerador de X(z) pelo denominador

  25. Dessa forma X(z) é escrito como: Usando a tabela de transformada Z

  26. Soluções possíveis para X(z) Seqüência à direita Seqüência à esquerda Seqüência bilateral

  27. Aplicação das propriedades da transformada Z 1.Determine a transformada inversa de Rescrevendo X(z), tem-se Calculando a transformada inversa: Usando a propriedade:

  28. 2. Multiplicação por uma seqüência exponencial Dado que determinar a transformada Z de

  29. 3. Diferenciação de X(z) Exemplo: Consultando a tabela de transformada Z e usando a propriedade do deslocamento no tempo,tem-se Portanto, exemplo:

  30. 4. Tempo reverso Exemplo: determinar a transformada Z de Dado que: 5. Convolução de sequências - Exemplo Sejam Determine a transformada Z de Pela propriedade da convolução no tempo: Portanto:

  31. 6. Teorema do valor inicial Se x[n] é uma sequência à direita, isto é x[n]=0, para n < 0, então Exemplo: Quais das transformadas Z poderiam ser a transformada de uma sequência causal (sem resolver)

  32. Exemplo de Solução via Transformada Z • Problema: Dado que y(0)=1. Considere a equação diferença • Solução: Aplicando a transformada Z dos dois lados: • Direito = • Esquerdo = • Resolvendo: (pela expansão em frações parciais) • Transformada Z inversa

  33. Exemplo Considere um sistema LTI com entrada x[n] e saída y[n] que satisfaz a equação diferença: Determine todas as possíveis respostas do sistema ao impulso unitário h[n] .

More Related