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导数的概念

导数的概念. 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。. 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念 —— 导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。. 导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。. 重点. 导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式

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导数的概念

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  1. 导数的概念 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。

  2. 导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。 重点 导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导 难点 导数的实质，用定义求导，链式法则

  3. 基本要求 ①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质 ②会用定义求导数 ③熟记求导基本公式 ④牢固掌握链式法则 ⑤掌握隐函数和参量函数求导法 ⑥理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法 ⑦弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用 一阶微分的形式不变性

  4. 一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得

  5. 上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t 0的瞬时速度定义为 速度反映了路程对时间变化的快慢程度

  6. 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放

  7. 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 如图, 极限位置即

  8. 二、导数的定义 定义

  9. 即 其它形式

  10. 关于导数的说明： ★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质 ★ ★

  11. ★ ★

  12. 注意: 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. 播放

  13. ★ 单侧导数 1.左导数: 2.右导数: ★

  14. ★ ★

  15. 三、由定义求导数（三步法） 步骤: 例1 解

  16. 例2 解

  17. 例3 解 更一般地 例如,

  18. 例4 解 特别地

  19. 例5 解 特别地

  20. 例6 解

  21. 切线方程为 四、导数的几何意义与物理意义 1.几何意义

  22. 法线方程为 切线方程为 法线方程为 切线方程为 法线方程为

  23. 例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为

  24. 2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.

  25. 五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证

  26. 0 注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 连续函数不存在导数举例 例如,

  27. 1 0 例如,

  28. 1 －1/π 1/π 0 例如,

  29. 例8 解

  30. 六、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 不连续,一定不可导. 6. 判断可导性 直接用定义; 连续 看左右导数是否存在且相等.

  31. 思考题

  32. 思考题解答

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