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第一节　二重积分的概念

第一节　二重积分的概念. 第九章 二 重 积 分. 主讲教师：张世红 齐齐哈尔师范高等专科学校. y = f ( x ).  x i. f( x i ). B. y. A. O. x. 引例 1 ：曲边梯形面积. a. b. x i. → 取极限. 分割. → 近似代替. → 求和. 引例 2 ： 求变速直线运动的路程. 定积分的定义是：. 关于定积分定义的几点说明：. （ 1 ）所谓和式极限存在（即函数可积）是指不论对区间 [ a , b ] 怎样的分法和 x i 的取法，极限都存在且相等。.

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第一节　二重积分的概念

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Presentation Transcript

  1. 第一节　二重积分的概念 第九章二重 积 分 主讲教师：张世红 齐齐哈尔师范高等专科学校

  2. y = f (x) xi f(xi) B y A O x 引例1：曲边梯形面积 a b xi →取极限 分割 →近似代替 →求和

  3. 引例2：求变速直线运动的路程 定积分的定义是：

  4. 关于定积分定义的几点说明： （1）所谓和式极限存在（即函数可积）是指不论对区间[a,b]怎样的分法和xi的取法，极限都存在且相等。 （2）如果f(x)在[a,b]上连续或有有限个第一类间断点，那么定义中的和式极限一定存在。 （3）因为和式极限是由函数f(x)及区间[a,b]所确定的，所以定积分只与被积函数和积分区间有关而与积分变量的记号无关。即

  5. 定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

  6. 几何意义：

  7. z O y x 一、二重积分的定义 1.引例 例1曲顶柱体的体积. 设有一个立体，它的底是 xOy平面上的有界闭区域 D， 侧面是以 D的边界曲线为准线、 母线平行于 z轴的柱面， 它的顶部是定义在D上的二元非负连续函数z = f (x, y)所表示的连续曲面. 这个立体称为 曲顶柱体. D 试求该曲顶柱体的体积 .

  8. 步骤如下：

  9. 解 (1)分割. 将闭区域D 任意分成 n个小闭区域， 1, 2 , ··· , n , 　　　　　　　　　　　 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线、 它们的面积分别记作 i (i = 1, 2, ···, n) 作母线平行 z 轴的柱面. 这些柱面把原来的曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体.

  10. (2)近似. 在每个i中任取一点 (i , i)， 则以f(i , i) 为高、 以i为底的小柱体的体积f(i , i)i， 近似替代 第 i个小曲顶柱体的体积， 即 Vif (i,i)i .

  11. 当各小闭区域的直径中的最大值 时，和式的极限如果存在，此极限值就是所求曲顶柱体的体积 (3)求和. 得到原曲顶柱体体积的近似值， 将这 n个小平顶柱体的体积相加， 即 (4)取极限. 即

  12. y i (i , i) D O x 例2 平面薄板的质量. 设有质量非均匀分布的平面薄板（如图所示）在xOy平面上所占的区域为D，它的面密度(单位面积上的质量)为 D上的连续函数 r( x , y ). 求平面薄板的质量.

  13. 　将薄板(即区域 D)任意分成n 个小闭区域 1 , 2 , ···, n， 解 (1)分割. 　　并以 i ( i = 1,2,···,n)表示第i 个小闭区域的面积 . (2)近似． 因此当 i 的直径很小时， 由于r (x , y) 在D 上连续， 这个小闭区域上的面密度的变化也很小， 即其质量可近似看成是均匀分布的. 于是在 i 上任取一点 (i, i)， 第 i 块薄板的质量的近似值为

  14. 将这 n 个看成质量均匀分布的小块的质量相加得到整个平面薄板质量的近似值， (3)求和. 即 当 n个小区域的最大直径   0 时， (4)取极限. 上述和式的极限就是所求薄板的质量， 即

  15. (3)作和 2. 二重积分的定义 定义 设z = f (x, y)为有界闭区域D上的有界函数. (1)把区域 D 任意分成 n个小闭区域 i，其面 积为i (i = 1, 2, ···, n)； (2)在每个小闭区域i中任意取一点Pi(i, i)，

  16. 被积表达式 积分变量 积分区域 面积元素 积分和 被积函数 无论i怎样划分，Pi(i,i)怎样取，当各小闭区域的直径中的最大值→0时，若和式的极限存在，则此极限值为函数 f (x, y)在闭区域D上的二重积分， 记为 即

  17. 关于二重积分的几点说明： 1、如果被积函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分存在，则称f(x,y)在D上可积。 f(x,y)在闭区域D上连续时，f(x,y)在D上一定可积。 2、二重积分与被积函数与积分区域有关，与积分变量的表示法无关。

  18. 3. 二重积分的几何意义 当 f (x, y)≥0时，二重积分就表示曲顶柱体的体积； 当 f (x, y)≤0时，二重积分就表示曲顶柱体的体积的负值； 当 f (x,y)有正有负时，二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。

  19. 二、二重积分的性质

  20. 定积分的性质： 性质1 性质2

  21. 可以提到积分符号的外面去。 被积函数中的常数因子 性质 2 二、二重积分的性质 性质 1 有限个函数代数和的二重积分等于各函数的二重积分的代数和。

  22. 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 定积分的性质： 性质3

  23. ≤ ≤ 则 性质 4 如果在D上 二、二重积分的性质 性质 3如果把积分区域 D 分成两个闭子域 D1与 D2，即D = D1+ D2，则 这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 .

  24. 定积分的性质： 性质4 性质5 性质5的推论：

  25. 定积分的性质： 性质6 性质7（定积分中值定理）

  26. ≤ ≤ 二、二重积分的性质 如果在 D 上m ≤f (x, y) ≤M，(m,M为常数)，则 性质 5 式中，S为区域D的面积。

  27. 二、二重积分的性质 如果函数 f (x,y) 在闭区域 D 上连续，则在 D 上至少存在一点(, )，使 性质 6 (二重积分中值定理) 性质 7 如果D 的面积为S，则

  28. 练习： 1、在二重积分的定义中，最大的子域直径趋 近于0能否改成最大的子域面积趋近于0？

  29. 练习：

  30. 练习：

  31. y 1 O x 1 x + y=1 练习：

  32. y 1 x 3 5 O 1 练习：

  33. 练习：

  34. 小结： 1、学习用数学思想方法解决问题； 2、二重积分的概念、几何意义； 3、二重积分的性质

  35. 作业： 1、复习二重积分的概念和性质； 2、查找实际问题中有哪些问题可以用二重积分知识来解决

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