1 / 101

Sorozatok

Sorozatok. Készítette: Horváth Zoltán (2012). Tartalom. Sorozatok és megadásuk. Mértani sorozat és az n-dik tagja. Számtani sorozatok. Kamatos kamat, amortizáció. Számtani sorozat n-dik tagja és differenciája. Mértani sorozat első n tagjának összege.

amato
Download Presentation

Sorozatok

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Sorozatok Készítette: Horváth Zoltán (2012)

  2. Tartalom Sorozatokés megadásuk Mértani sorozat és az n-dik tagja Számtani sorozatok Kamatos kamat,amortizáció Számtani sorozat n-dik tagja és differenciája Mértani sorozat első n tagjának összege Számtani sorozat első n tagjának összege

  3. A természetes számok halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük.

  4. Sorozatok megadásának néhány módja • Tagok felsorolásával: • Egyik tag és a differencia megadásával: • Szabállyal: • Diagrammal:

  5. A következő sorozatnak írjuk fel néhány tagját, és ha lehet, ábrázoljuk grafikonon az összetartozó értékpárokat!

  6. A következő sorozatnak írjuk fel néhány tagját, és ha lehet, ábrázoljuk grafikonon az összetartozó értékpárokat!

  7. A következő sorozatnak írjuk fel néhány tagját, és ha lehet, ábrázoljuk grafikonon az összetartozó értékpárokat!

  8. I.Számtani sorozat Egy sorozat számtani, ha a második tagtól kezdve bármelyik sorozattag és az azt megelőző sorozattag különbsége állandó. Ez az állandó különbség a számtani sorozat differenciája: d. Írjunk fel általánosan 3 egymást követő tagot! A felírásból jól látszik, hogy a középső tag a szomszédos két tag számtani közepe: Általánosan: A sorozat e számtani közép tulajdonság miatt kapta a fenti elnevezést.

  9. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó,ezért a megadott sorozat növekvő számtani sorozat.

  10. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó,ezért a megadott sorozat növekvő számtani sorozat.

  11. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó,ezért a megadott sorozat csökkenőszámtani sorozat.

  12. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó,ezért a megadott sorozat konstansszámtani sorozat.

  13. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó,ezért a megadott sorozat konstansszámtani sorozat.

  14. Megállapítás • Ha a számtani sorozat differenciája pozitív, akkor a számtani sorozat növekvő. • Ha a számtani sorozat differenciája negatív, akkor a számtani sorozat csökkenő. • Ha a számtani sorozat differenciája zérus, akkor a számtani sorozat konstans.

  15. További következtetések • Ha a számtani sorozat differenciája pozitív, akkor a számtani sorozat alulról korlátos. • Ha a számtani sorozat differenciája negatív, akkor a számtani sorozat felülről korlátos. • Ha a számtani sorozat differenciája zérus, akkor a számtani sorozat korlátos.

  16. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEMszámtani sorozat.

  17. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEMszámtani sorozat.

  18. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEMszámtani sorozat.

  19. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEMszámtani sorozat, hanem MÁSODRENDŰ SZÁMTANI SOROZAT. Mivel az egymást követő sorozattagok különbségéből alkotott sorozat számtani sorozatot alkot.

  20. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEMszámtani sorozat, hanem MÁSODRENDŰ SZÁMTANI SOROZAT. Mivel az egymást követő négyzetszámok különbségéből alkotott sorozat számtani sorozatot alkot.

  21. Ábrázoljuk a következő sorozatot grafikonon! A grafikonon ábrázolt számtani sorozattagok értékei egy egyenesre illeszkednek.

  22. Ábrázoljuk a következő sorozatot grafikonon! A grafikonon ábrázolt számtani sorozattagok értékei egy egyenesre illeszkednek.

  23. Ábrázoljuk a következő sorozatot grafikonon! A grafikonon ábrázolt (mértani) sorozattagok értékei nem illeszkedik egy egyenesre.

  24. Számtani sorozat differenciája és az n-dik tag kiszámítása

  25. A számtani sorozat n-dik tagja Előző dia

  26. Egy számtani sorozat harmadik tagja 6, ötödik tagja 14. Határozd meg a sorozat tizedik tagját! A harmadiktagtól hány lépéssel lehetaz ötödik tagig eljutni? 5-3=2 , azaz két lépés kell, hogy aharmadik tagtól az ötödik tagig eljussak. A harmadiktagtól hány lépéssel lehetaz tizedik tagig eljutni? 10-3=7 , azaz hét lépés kell, hogy aharmadik tagtól az tizedik tagig eljussak. A sorozat differenciája 4, tizedik tagja 34.

  27. Egy számtani sorozat második tagja 5, ötödik tagja 15. Határozd meg a sorozat hetedik tagját! A másodiktagtól hány lépéssel lehetaz ötödik tagig eljutni? 5-2=3 , azaz három lépés kell, hogy amásodik tagtól az ötödik tagig eljussak. A másodiktagtól hány lépéssel leheta hetedik tagig eljutni? 7-2=5 , azaz öt lépés kell, hogy amásodik tagtól a hetedik tagig eljussak. A sorozat differenciája 10/3, hetedik tagja 65/3.

  28. Határozd meg a számtani sorozat n-dik tagját, ha az első tagja 5, differenciája pedig 3! Írjuk fel a számtani sorozat n-dik tagjának meghatározására vonatkozó összefüggést! Behelyettesítés után a következőt kapjuk: A sorozat n-dik tagja:

  29. Határozd meg a számtani sorozat n-dik tagját, ha az első tagja -15, differenciája pedig 2,4! Írjuk fel a számtani sorozat n-dik tagjának meghatározására vonatkozó összefüggést! Behelyettesítés után a következőt kapjuk: A sorozat n-dik tagja:

  30. Vizsgáljuk meg a következő számtani sorozatot!

  31. Általánosan: a középső tag mindig a szomszédos két tag, vagy a középsőtől mindkét irányba azonos távolságra vett értékek számtani közepe: Általánosan: A sorozat e számtani középtulajdonság miatt kapta a számtani elnevezést.

  32. Egy számtani sorozat harmadik tagja 20, hetedik tagja 40. Mennyi a sorozat ötödik tagjának értéke? Vegyük észre, hogy az ötödik tag a hetedik és a harmadik között helyezkedik el középen. Használjuk fel a számtani sorozat elnevezésére utaló tulajdonságát! A sorozat ötödik tagjának értéke: 30.

  33. Egy számtani sorozat tizedik tagja 20, tizenötödik tagja 40. Mennyi a sorozat huszadik tagjának értéke? Vegyük észre, hogy a tizenötödik tag a tizedik és a huszadik között helyezkedik el középen. Használjuk fel a számtani sorozat elnevezésére utaló tulajdonságát! A sorozat huszadik tagjának értéke: 60.

  34. Egy számtani sorozat harmadik tagja 4, ötödik tagja 40. Mennyi a sorozat első tagjának értéke? Vegyük észre, hogy a harmadik tag az első és az ötödik között helyezkedik el középen. Használjuk fel a számtani sorozat elnevezésére utaló tulajdonságát! A sorozat első tagjának értéke: -32.

  35. A számtani sorozat első n tagjának összege

  36. A számtani sorozat első n tagjának összege Írjuk fel az első 7 pozitív egész számot, és adjuk össze azokat! 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 Ez még akár fejben is könnyen megy… Most adjuk össze az első 100 pozitív egész számot! Írjuk fel ugyanezt csökkenő sorrendben is közvetlenül ez alá! 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = S100 + 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + = S100 1 2•S100 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101 = = 2•S100 101 10100 100 = 2•S100 • Vagyis: 5050 = S100 Adjuk össze a két egyenletet!

  37. Általánosan az n tagú sorozat összegképlete:

  38. Egy számtani sorozat harmadik tagja 50; a sorozat tizedik tagja 10-zel kisebb a nyolcadik tagjánál. Határozd meg a sorozat első tagját! Innen a sorozat differenciája meghatározható: / -a8 / :2 A sorozat első tagja a 60.

  39. Egy számtani sorozat harmadik tagja 50; a sorozat tizedik tagja 10-zel kisebb a nyolcadik tagjánál. Határozd meg a sorozat első tagját! / -a8 A sorozat első tagja a 60.

  40. Egy számtani sorozat nyolcadik tagja 72; a sorozat huszadik tagja 12-vel kisebb a huszonharmadik tagjánál. Határozd meg a sorozat első tagját! / -a23 A sorozat első tagja a 44.

  41. Egy számtani sorozat harmadik tagja 10. Mennyi az első öt tag összege? Írj példát ilyen sorozatra! A megoldáshoz használjuk fel a számtani sorozat számtani középre vonatkozó összefüggését! Eszerint: Vagyis: Innen: A sorozat első öt tagjának összege: 50. Példa ilyen sorozatra: Vagy:

  42. Egy számtani sorozat negyedik tagja 40. Mennyi az első hét tag összege? Írj példát ilyen sorozatra! A megoldáshoz használjuk fel a számtani sorozat számtani középre vonatkozó összefüggését! Eszerint: Vagyis: Innen: A sorozat első hét tagjának összege: 280. Példa ilyen sorozatra: Vagy:

  43. Egy számtani sorozat huszonnyolcadik tagja 28, kétszáznegyvenharmadik tagja 243. Mennyi az első kétszáznegyvenhárom tag összege? Először meghatározzuk a sorozat differenciáját! Ezután meghatározzuk a sorozat első elemét! A sorozat első kétszáznegyvenhárom elemének összege:

  44. Egy számtani sorozat ötödik tagja 40, a hetvenötödik tagja 180. Mennyi az első hetvenöt tag összege? Először meghatározzuk a sorozat differenciáját! Ezután meghatározzuk a sorozat első elemét! A sorozat első hetvenöt elemének összege:

  45. Egy számtani sorozat tagjai között az alábbi összefüggések állnak fenn: és Határozzuk meg a sorozat első tagját! Meghatározzuk a sorozat differenciáját! A sorozat első tagja a 19.

  46. Egy számtani sorozat tagjai között az alábbi összefüggések állnak fenn: és Határozzuk meg a sorozat első tagját! Meghatározzuk a sorozat differenciáját! A sorozat első tagja a 28.

  47. Mennyi a páratlan kétjegyű pozitív számok összege? Az egymást követő páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 11. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 99. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 45 tagból áll. 2475 a páratlan kétjegyű pozitív számok összege.

  48. Mennyi a páros kétjegyű pozitív számok összege? Az egymást követő páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 10. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 98. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 45 tagból áll. 2430 a páros kétjegyű pozitív számok összege.

  49. Mennyi a páratlan háromjegyű pozitív számok összege? Az egymást követő páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 101. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 999. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 450 tagból áll. 247500 a páratlan háromjegyű pozitív számok összege.

  50. Mennyi a páros háromjegyű pozitív számok összege? Az egymást követő páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 100. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 998. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 450 tagból áll. 243000 a páros háromjegyű pozitív számok összege.

More Related