Rekayasa Trafik

1. Rekayasa Trafik Bab 3. Distribusi Probabilitas Dr. Jusak STIKOM Surabaya

2. Variabel Acak (Random Variable) • Variabel acak dapat berupa qualitatif atau quantitatif. • Misalkan beberapa orang diminta untuk menjawab pertanyaan: “Program berita di televisi mana yang paling anda sukai: RCTI, Trans TV, Metro TV?” • Contoh di atas merupakan variabel qualitatif. • Karena kita tidak bisa memprediksi jawaban setiap orang, maka disebut variable acak qualitatif.

3. Variabel Acak (Random Variable) • Contoh variabel acak quantitatif adalah: • response dari pertanyaan dari sebuah survei “Berapa jam anda melihat televisi dalam satu hari?” • Berapa jumlah paket datang dalam 1 menit? • Berapa waktu antar kedatangan bit data dalam 2 menit? • Keuntungan menggunakan variable acak quantitatif antara lain: • Kuantisasi numerik semacam rata-rata dan standar deviasi dapat diterapkan. • Variabel acak juga dapat diklasifikasikan sebagai diskrit dan kontinyu.

4. Distribusi Probabilitas (Diskrit) • Untuk dapat menarik kesimpulan (inferensi) dari suatu populasi, kita perlu mengetahui probabilitas dari pengamatan setiap sampel. • Untuk itu, kita perlu mengetahui probabilitas yang berasosiasi dengan setiap variabel acak, misalkan . • Distribusi probabilitas , dihitung dengan cara mencari frekuansi relatif dari setiap nilai pada variabel acak . • Distribusi probabilits bilangan acak diskrit ditulis dengan yang berasosiasi dengan setiap nilai dari.

5. Distribusi Probabilitas (Diskrit) Contoh. Jumlah sisi gambar yang keluar dari pelemparan 2 buah koin sebanyak 2000 kali adalah:

6. Sifat-Sifat Variabel Acak Diskrit • Probabilitas yang berasosiasi dengan setiap nilai dari terletak antara 0 dan 1. • Jumlah probabilitas dari semua nilai dariadalah 1, • Probabilitas dari bilangan acak diskrit bersifat aditif. Misalnya, probabilitas dari atauadalah . • Contoh variabel acak diskrit: • Variabel acak dengan distribusi binomial • Variabel acak dengan distribusi geometri • Variabel acak dengan distribusi seragam (uniform)

7. Fungsi Probabilitas Massa • Fungsi probabilitas massa disebut dalam bahasa Inggris probability mass functions (pmf) didefiniskan sebagai: • Karena merupakan probabilitas maka berlaku: Dan

8. Contoh 1 Tentukan pmf untuk “jumlah keluar gambar dari tiga buah koin yang dilemparkan secara bersama-sama”. Ruang sample dari ketiga koin tersebut adalah (A=angka, G=Gambar): Maka

9. Contoh 1 Berdasarkan uraian di atas, probabilitas dapat dihitung: Gambar dari pmf di samping.

10. Contoh 2 Tentukan pmf untuk “jumlah keluar titik 1 atau 2, 3, 4, 5, 6 dari sebuah dadu yang dilemparkan sekali”.

11. Contoh 3 Di dalam sebuah rumah kost, 10 orang anggota memiliki masing-masing sebuah cordless phone. Jumlah orang yang menggunakan cordless phone pada saat yang sama adalah acak. Berapakah probabilitas bahwa lebih dari lima orang menggunakan cordless phone secara bersama-sama? Jawab: 6/11.

12. Variabel Acak Diskrit Poisson • Variabel acak Poisson sering digunakan memodelkan berbagai fenomena fisika seperti efek fotoelektrik, penurunan radioaktif dan kedatangan trafik data pada sebuah antrian transmisi. • Sebuah variabel acak dikatakan memiliki pmf Poisson dengan parameter , jika:

13. Variabel Acak Diskrit Poisson (2) • Gambar pmf dari variabel acak Poisson untuk nilai ditunjukkan dalam gambar di bawah ini:

14. Contoh 4 • Jumlah hit pada sebuah situs populer dalam interval waktu 1 menit diberikan oleh variabel acak Poisson. Tentukan probabilitas terdapat paling tidak 1 hit antara jam 11:00am dan 11:01am jika . Kemudian tentukan probabilitas terdapat paling tidak 2 hit dalam interval tersebut! • Jawab:

15. Variabel Acak Diskrit Geometri • Variabel acak diskrit geometri dapat digunakan untuk memodelkan jumlah paket dalam antrian sebuah router dengan jumlah memori tak terbatas. • Untuk nilai , terdapat dua macam pmf dari variabel acak diskrit Geometri, yaitu: atau

16. Variabel Acak Diskrit Geometri (2) • Gambar pmf dari variabel acak Poisson untuk nilai ditunjukkan dalam gambar di bawah ini:

17. Ekspektasi • Ekspektasi dari sebuah variabel acak dituliskan sebagai . • Nilai ekspektasi dapat disepadankan dengan nilai rata-rata. • Sebagai contoh, terdapat 10 buah bilangan: 5,2,3,2,5,-2,3,2,5,2 • Nilai rata-rata dari bilangan-bilangan di atas adalah 27/10=2,7. • Apabila bilangan-bilangan tersebut dinyatakan dalam frekuensi relatif didapatkan tabel berikut:

18. Ekspektasi (2) • Maka nilai ekpektasi adalah: • Karena itu ekspektasi atau rata-rata dapat dirumuskan sebagai:

19. Contoh (5) • Jumlah panggilan yang datang pada sebuah switch telekomunikasi mengikuti distribusi Poisson dengan laju kedatangan 10 panggilan per detik. Tentukan rata-rata dari panggilan untuk k=0, k=1, k=2 sampai k=5.

20. Moments • Moment ke- dari sebuah variabel acak (untuk ) didefinisikan sebagai . • Moment ke-1 disebut sebagai rata-rata, . Apabila kita misalkan , maka moment ke-2 atau seringkali disebut varian didefinisikan sebagai:

21. Contoh (6) • Jumlah panggilan yang datang pada sebuah switch telekomunikasi mengikuti distribusi Poisson dengan laju kedatangan 10 panggilan per detik. Tentukan varian dan standar deviasi dari panggilan untuk k=0, k=1, k=2 sampai k=5.

22. Variabel Acak Kontinyu • Variabel acak diskrit memiliki nilai tertentu seperti 0, 1, 2. Tetapi variabel acak kontinyu memiliki nilai tak terbatas, ada di semua titik dalam suatu interval. • Distribusi probabilitas variabel acak kontinyu seperti dalam gambar berikut:

23. Variabel Acak Kontinyu (2) • Distribusi probabilitas variabel acak kontinyu dalam sebuah interval dan adalah semua area di bawah kurva dengan interval antara dan .

24. Variabel Acak Kontinyu (3) Contoh. Gambar di bawah adalah distribusi tinggi dari personel tentara USA Army dengan jumlah sampel 24.404 orang (Mendenhall, Understanding statistic). Terdistribusi secara normal.

25. Variabel Acak Kontinyu Normal • Distribusi normal seringkali juga disebut sebagai distribusi Gaussian. • Total area dibawah kurva normal adalah 1. • Kurva normal adalah simetris terhadap rata-rata (µ). • Karena kurva ini berbentuk bel simetris, maka total area yang dibatasi oleh standar-deviasi () disekitar rata-rata selalu sama. Lihat Gambar.

26. Variabel Acak Kontinyu Normal (2) • Fungsi kepadatan probabilitas (probability density function/pdf) pada distribusi Normal untuk , didefinisikan dengan rumusan: Yang mana adalah akar positif dari dan disebut sebagai standar deviasi, sedang adalah rata-rata. Apabila distribusi normal memili nilai dan , maka distribusi semacam ini disebut sebagai distribusi normal standar. Distribusi normal secara umum dituliskan sebagai

27. Variabel Acak Kontinyu Normal (3) • Distribusi normal dengan berbagai macam nilai dan ditunjukkan dalam gambar berikut:

28. Variabel Acak Kontinyu Eksponensial • Fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari distribusi eksponensial dengan parameter , adalah: Pada saat nilai dari meningkat maka ketinggian kurva pdf akan naik sedangkan dan kurva akan menurun dengan cepat. Lihat Gambar.

29. Variabel Acak Kontinyu Eksponensial (2)

30. Ekspektasi dan Moments • Nilai Ekspektasi dan moments ke- untuk variabel aak kontinyu didefinisikan oleh rumusan berikut: Dan

31. Contoh Paket datang ke dalam sebuah router dengan kelajuan 5 paket setiap detik. Berapa probabilitas bahwa waktu antar kedatangan paket data adalah 1,5 detik!

32. Contoh 7 Di sebuahkotakecilkedatangan panggilan telepondapatdianggapterdistribusiPoissondenganrata-rata 3.2 panggilanper 30 menit. • Berapamenitwaktu rata-rata antarkedatanganpanggilandi kotatersebut? • Berapa probabilitas bahwa antar kedatangan panggilanada selang 1 jam atau kurang? • Berapa probabilitas bahwa dua panggilan datangdenganselangwaktukedatangan15 menitataulebih?