Programmation logique

Programmation logique Lakhdar Saïs CRIL, Université d ’Artois sais@cril.univ-artois.fr http://www.cril.univ-artois.fr/~sais Maîtrise d ’informatique 2002/2003

Rappel de logique pour prolog • Logique des propositions • Logique des prédicats • Unification

Logique des propositions • Syntaxe On définit : • Les propositions : a, b, c, … • Les constantes : V et F • Les connecteurs : •  (conjonction) •  (disjonction) •  (négation) •  (implication) •  (équivalence)

Construction d’une formule • Une proposition est une formule • Si a et b sont des formules, alors a, a b, a  b, ab et a  b sont des formules

Logique des propositions Sémantique • Les formules sont interprétées dans {V,F} • On définit l’interprétation associée à chaque connecteur grâce aux tables de vérité

Tables de vérité desconnecteurs

Propriétés des formules • Une formule est valide si elle est toujours vraie (quelque soit l’interprétation) • Une formule est consistante s’il existe une interprétation dans laquelle elle est vraie. Elle est inconsistante dans le cas contraire • Problème : étant donnée une formule, est-elle valide ? consistante ? • Exemple : que dire de la formule (a  b) (b a)

Règles de transformation (1) • aa (loi du tiers exclu) • ((ab)  a)  b (modus ponens) • ((a  b) b) a (modus tollens) • (a b)  (b a) (contraposition) • a  a (double négation) • a  ba  b • a  b  (a  b)  (b  a) • aa  aa  a (idempotence)

Règles de transformation (2) • Lois de Morgan : • (ab)  a b • (ab)  a b • Commutativité et associativité de  et  • Distributivité de  par rapport à  et de  par rapport à 

Une énigme policière • Un meurtre a été commis au laboratoire, le corps se trouve dans la salle de conférences… • On dispose des informations suivantes : • La secrétaire déclare qu’elle a vu l’ingénieur dans le couloir qui donne sur la salle de conférences • Le coup de feu a été tiré dans la salle de conférences, on l’a donc entendu de toutes les pièces voisines • L’ingénieur affirme n’avoir rien entendu • On souhaite démontrer que si la secrétaire dit vrai, alors l’ingénieur ment

Formalisation en calcul des propositions • p: la secrétaire dit vrai • q : l’ingénieur était dans le couloir au moment du crime • r : l’ingénieur était dans une pièce voisine de la salle de conférences • s : l’ingénieur a entendu le coup de feu • t : l’ingénieur dit vrai

Résolution de l’énigme • Les informations de l’énoncé se traduisent par les implications : pq, q  r, r  s, t s • Il s’agit de prouver la validité de la formule : (p  q  q  r  r  s  t s)  (p t)

Démonstration (p  q  q  r  r  s  t s)  (p t) • La formule ne peut être fausse que si • (p t) est faux, soit p et t vrais • la prémisse est vraie, soit toutes les implications vraies • Comme t doit être vrai, s doit être faux, donc r faux, donc q faux, donc p faux, et il y a contradiction

Logique des prédicats • Syntaxe On définit : • Les constantes : V et F • Les connecteurs : , , ,  • Les variables : x, y, z, … • Les fonctions : f, g, h, … • Les prédicats : p, q, r, … dont ceux d’arité 0 : a, b, c, … • Les quantificateurs : ", $

Définitions • Terme : • Une variable est un terme • Une constante est un terme • Si t1, t2, …, tn sont des termes, alors f(t1,t2,…,tn) est un terme • Atome : • Si t1, t2, …, tn sont des termes, alors p(t1,t2,…,tn) est un atome humain(socrate) X tom mere(tom)

Construction d’une formule • V, F sont des formules • Un atome est une formule • Si F1 et F2 sont les formules, alors F1, F1F2, F1F2, F1 F2 sont des formules • Si F est une formule,  x F et x F sont des formules • Remarque : la logique des propositions est un cas particulier de la logique des prédicats humain(socrate) X. humain(X)  mortel(X)

Exemples de formules valides • "xA  $x A • "x A   $x A

Définitions • Littéral • Un atome est un littéral (positif) • La négation d’un atome est un littéral (négatif) • Une clause est une formule qui a la forme d’une disjonction de littéraux • Une clause concrète est une clause sans variable • Une clause de Horn est une clause comportant au plus un littéral positif • On peut toujours transformer une formule en un ensemble de clauses

Principe de résolution • C’est une règle d’inférence qui s’applique aux clauses • Principe sur des clauses concrètes : • G = G1 G2  …  Gn • H = G1  H2  …  Hm • K = G2  …  Gn  H2  …  Hm • K est le résolvant de G et H • G1 et G1 sont des littéraux complémentaires

Cas particuliers • P et P  Q se résolvent en Q (modus ponens) • G  H et H  K se résolvent en G  K (enchaînement) • Q et  P  Q se résolvent en P (modus tollens)

Utilisation • Le principe de résolution est une règle d’inférence saine, i.e. tout résolvant est une conséquence logique des deux clauses parentes • Pour appliquer le principe de résolution à des clauses non concrètes, on définit l’unification, afin de rechercher des littéraux complémentaires

Unification • Deux termes t1 et t2 sont unifiables s’il existe une substitution s des variables de t1 et t2 telle que s(t1) = s(t2) • Exemples : • pere(X,jean) s’unifie avec pere(Y,Z) si X|Y et jean|Z • pere(jean,mere(X)) s’unifie avec pere(Y,mere(pierre) si jean|Y et X|pierre

Exemple 1 • Les barbiers rasent tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes • Aucun barbier ne rase quelqu’un qui se rase lui-même • Le barbier se rase-t-il lui même ? • Montrons que si les deux premières assertions sont vraies, alors il ne peut y avoir de barbier

Formalisation • barbier(X) rase(Y,Y)  rase(X,Y) i.e.  barbier(X) rase(Y,Y)  rase(X,Y)(1) • barbier(X)  rase(Y,Y) rase(X,Y) i.e.  barbier(X)  rase(Y,Y)  rase(X,Y)(2) • barbier(b) (3) • On veux montrer (1) (2)  (3), i.e. réfuter (1) (2) (3)

Résolution • (3) et (1) se résolvent en (4) : rase(Y,Y)  rase(b,Y), i.e. rase(b,b) • (3) et (2) se résolvent en (5) :  rase(Y,Y)  rase(b,Y), i.e.  rase(b,b) • (4) et (5) se résolvent en la clause vide

Résolution + Unification: Exemple 2 1. sélectionner un littéral 1.)X prendre_parapluie(X) pleut(X) 2.) pleut(paris) 1’.) prendre_parapluie(paris) pleut(paris) 2’.) pleut(paris) 1’+2’) prendre_parapluie(paris) 2. Renommage non nécessaire 3. Pgu  = {X / paris} 4. appliquer  5. résolution

Résolution & prolog question 1) connaît_logique(X) bon_etudiant(X)  enseignant(Y,X)  logicien(Y) 2) bon_etudiant(david) 3) logicien(michel) 4) enseignant (michel,david) •  connaît_logique(Z) •  bon_etudiant(X)enseigant(Y,X) logicien(Y) • enseignant(Y,david) logician(Y) •  logicien(michel) •  {Z/X} {X/david} {Y/michel} Réponse = {Z/david}  connaît_logique(david) {}

Backtracking •  connait_logique(Z) •  bon_etudiant(X)enseignant(Y,X) logicien(Y) •  enseignant(Y,cécile)logicien(Y) •  enseignant(Y,david) logicien(Y) •  logicien(michel) •  1) connait_logic(X)bon_etudiant(X) enseignant(Y,X) logicien(Y) 2) bon_etudiant(cécile) 3) bon_etudiant(david) 4) logicien(michel) 5) enseigant(michel,david)  Retour arrière ! Pour essayer une autre clause

Suite à vos cahiers • Description de la résolution prolog • un premier programme prolog

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