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Storia degli Algoritmi

Storia dell’Informatica e del Calcolo Automatico Prof. ssa F. PERLA. Storia degli Algoritmi. ovvero dal sasso al microcircuito integrato. Fara Martuscelli Liliana Murino. Non tutti sanno che …. al-Khwarizmi.

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  1. Storia dell’Informatica e del Calcolo Automatico Prof.ssa F. PERLA Storia degli Algoritmi ovvero dal sasso al microcircuito integrato Fara MartuscelliLiliana Murino

  2. Non tutti sanno che … al-Khwarizmi Lo spirito dell’Aritmetica guarda dall’alto la disputa fra i nuovi “algorists” che operano con numeri scritti e i tradizionali “abacists” con i loro pallottolieri 1504 algebra al-Jabr algorismsalgorismusalgorithmus

  3. Algoritmi per le Operazioni Aritmetiche Le operazioni aritmetiche hanno origine da esigenze di tipo economico (Divisione Sumera). Gli algoritmi per le operazioni aritmetiche dipendono dai sistemi di numerazione. Molti considerano l’Aritmetica una cosa banale che i ragazzi imparano e i computer eseguono, ma scopriremo che l’Aritmetica è un argomento affascinante dalle molte interessanti sfaccettature. […] Il modo in cui facciamo aritmetica è strettamente legato al modo in cui rappresentiamo i numeri che trattiamo.Donald Knuth L’uso della scrittura evita la ripetizione delle stesse operazioni (BabilonesieEgiziani - Inverso, Duplation, Mediation).Diversi strumenti sono stati utilizzati, in epoche e luoghi diversi, a supporto dei calcoli (Divisioni –Arco Pitagorico e Abaco Cinese; Moltiplicazione – Tabelle, Napier’s bones). Rappresentazione delle frazioni in notazione decimale (Moltiplicazione – Simon Stevin). Operazioni aritmetiche con numeri binari (Leibniz).

  4. 2500 a.c.Divisione Sumera Le tavolette numeriche (trovate a Shuruppak) riguardano lo stesso problema, ovvero la suddivisione del grano di un granaio fra un certo numero di persone in modo tale che ogni persona riceve 7 silà di grano. 1 granaio = 2400 gur e 1 gur = 480 silà Sulle tavolette non c’è traccia del metodo utilizzato, però i risultati ottenuti sono diversi… Tavoletta 50 1.152.000/7 164571 con resto 3 Tavoletta 671 2400/7 342 (con resto 6 ignorato) 342 x 480 = 164160

  5. (2000-1650) a.c.Calcolo degli inversi Dato un numero x Questo algoritmo compare su una tavoletta babilonese (VAT 6505). Calcola l’inverso di y, y.Moltiplica y per z, otterrai t. Aggiungi 1, otterrai u.Calcola l’inverso di u, otterrai u.Moltiplica u per y. Otterrai v. L’inverso del numero x è v Dato un numero 4;10 Calcola l’inverso di 10, 6.Moltiplica 6 per 4, otterrai 24. Aggiungi 1, otterrai 25.Calcola l’inverso di 25, otterrai 2;24.Moltiplica 2;24 per 6. Otterrai 2;24. L’inverso di 4;10 è 2;24

  6. (2000-1650) a.c.Algoritmi aritmetici 1 1 4 28 1 1 1 56 2 8 1 1 3 2 2 1 1 1 4 112 16 1 1 1 1 2 4 4 1 1 2 2 Gli algoritmi egiziani Duplation e Mediation sono estratti dal Rhind Papyrus. Rhind Papyrus 2 1 1 1 x (2 + 23) 1 x 10 3 5 30 2 1 1 7 1 2 1 10 3 30 1 1 4 3 10 2 1 8 7 5 (1 + 1/5 + 1/10) + (2/3 + 1/30) 2 = (7 + 1/5) + (1 + 2/3 + 1/10 + 1/30) = 9 Totale Totale

  7. Tabelle di Moltiplicazione Arabia (13° sec., Ibn al-Banna; 15° sec. al-Kashi) Cina (1450, Wu Jing) – India … - Europa (1300 in Inghilterra  1478 (Treviso) e 1494, Luca Pacioli,Gelosia; 1617, Napier; 1885, Lucas-Genaille)

  8. M.E.Algoritmi Aritmetici: Ottimizzazioni 1 9 1 8 4 4 6 4 1 8 8 3 4 9 1 9 1 8 4 4 1 1 7 7 5 5 2 2 4 6 6 2 2 2 4 4 4 4 8 4 4 4 4 4 3 3 3 3 1 8 8 8 8 6 3 2 9 4 . 3 . 8 1 1 2 2 3 2 8 1 8 8 3 4 1 6 6 4 3 8 4 3 8 I Metodi di Moltiplicazione Translation e Semi-Translation (Ibn al-Majdi) compaiono già in alcuni manoscritti del MedioEvo (riduzione del numero di passi elementari distinti per eseguire un calcolo aritmetico). Passo 1: moltiplica le cifre della seconda linea (moltiplicando) per 4 e metti i risultati, uno sopra l’altro, nella giusta posizione, quindi aggiungi questi prodotti per ottenere il numero 1752 nella linea in alto. Passo 3: sposta il moltiplicando nuovamente di una posizione a destra, e ripeti il passo 2. TRASLAZIONE Passo 1: moltiplica le cifre della seconda linea (moltiplicando) per 4 e metti i risultati, uno sopra l’altro, nella giusta posizione, quindi aggiungi questi prodotti per ottenere il numero 1752 nella linea in alto.Passo 2: sposta il moltiplicando di una posizione a destra, scrivi il risultato intermedio 1752 sopra, nella giusta posizione, e ripeti la moltiplicazione, questa volta moltiplicando il numero sotto (moltiplicando) per 3. Passo 3: sposta il moltiplicando nuovamente di una posizione a destra, e ripeti il passo 2. SEMI-TRASLAZIONE Passo 1: calcola a2 e mettilo nella giusta posizionePasso 2: calcola 2a e 2ab; metti 2a sotto il numero x e 2ab sopra x nella giusta posizionePasso 3: calcola b2 e 2acPasso 4: calcola 2b e 2bcPasso 5: calcola c2Passo finale: addiziona i termini di ciascuna colonna sopra il numero x Passo 2: sposta il moltiplicando di una posizione a destra, scrivi il risultato intermedio 1752 sopra, nella giusta posizione, e ripeti la moltiplicazione, questa volta moltiplicando il numero sotto (moltiplicando) per 3. Passo 1: calcola a2 e mettilo nella giusta posizione 4 x 4 = 16 Passo 2: calcola 2a e 2ab; metti 2a = 2 x 4= 8 sotto il numero 438 e 2ab = 8 x 3 = 24 sopra 348 nella giusta posizione Passo 3: calcola b2 = 3 x 3 = 9 e 2ac = 8 x 8 = 64 Passo 4: calcola 2b = 2 x 3 = 6 e 2bc = 6 x 8 = 48 Passo 5: calcola c2 = 8 x 8 = 64 x2=10000a2+10002ab+100(b2+2ac)+102bc+c2 Passo finale: addiziona i termini di ciascuna colonna sopra il numero 348, ottieni 191844

  9. 1200. Semplice Divisione per differenze 100 180 20 4 900 180 100 = = = 10 10 90 + + + 8 8 8 8 2 2 1 8 8 1 8 9 2 2 8 2 1 9 1 8 4 1 2 1 8 1 2 2 20 = + Questo algoritmo compare in un manoscritto del 1200, tradotto da Michel Chaslesnel 1843. Si definiscono due tipi di numeri: digits e articles. L’algoritmo si applica solo nei casi in cui i divisori sono digits e i dividendi sono articles. (900 : 8) a.10n-1+(a(10-d)+b).10n-1+k d Start • Aggiungi il quoziente parziale a.10n-1 nella 4a riga • Metti nella 3a riga il nuovo dividendo, ovvero a.(10-d).10n-1 10 – d d dividendi quozienti 102 101 100

  10. 1592.Divisione sull’Abaco Cinese Algoritmo di divisione per 7, Suanfa tongzong. (1234:7) • sette-uno? + tre nella pos. inferiore (2) sette-due? + sei nella pos. inferiore (3) sette-tre? quattro resto due (4) sette-quattro? cinque resto cinque (5) sette-cinque? sette resto uno (6) sette-sei? otto resto quattro (7) >= sette? + uno nella pos. superiore

  11. 1585.Numeri scritti come Decimali 3 7 5 9            (0) (1) (2)           32   5    7           89   4    6 3 4 364 5 3 2 7 1 10 1000 100         195   4     2      1302   8    29313  26056 0 9 10000 3759 29137 1 2 2 (0)(1)(2)(3) (4) 10000 Simon Stevinintroduce un metodo di scrittura dei decimali, eliminando le frazioni (La Disme-DefinizioniII, III e IV) e fornisce un algoritmo per moltiplicare numeri decimali (La Disme-ProposizioneIII). unità, primo, secondo, terzo, quarto, …

  12. 1703.Aritmetica Binaria G. W. Leibnizscrive (The explanation of binary arithmetic) che secondo la leggenda cinese, il re Fohy (Fu Xi) introdusse la figura delle otto Cova che consiste di alcuni diagrammi con una forma particolare. Vantaggi dell’aritmetica binaria. ? 0 1 2

  13. I Quadrati Magici 13°-17° sec. (1) Scoperto nel 1956Inciso su placca di ferro con numeri arabi - del periodo dei Mongoli Arabi(13°-14° sec.)Bizantini(14° sec.)Europei(17° sec.) Marcatura delle celle Cornici Metodo di Moschopoulos (2) Diagramma del fiume Luo - della dinastia dei Song (960-1279) Melancholia di Albert Durer – incisione su legno del 1514

  14. 13°sec. Quadrati con Cornici Algoritmo di riempimento delle celle, cornice per cornice, (az-Zinjani). 1a cornice 10 45 44 7 11 12 46 9 19 34 17 20 35 41 2a cornice 3a cornice 8 18 24 23 28 32 42 4a cornice 49 37 29 25 21 13 1 48 36 22 27 26 14 2 47 15 16 33 30 31 3 4 5 6 43 39 38 40 S7 = 7(49+1)/2 = 175

  15. Le Cornici di Arnauld 1667. w a o b 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e e’ è ò o’ o 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 11 20 w 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 21 30 e 31 31 32 32 33 33 34 34 35 35 36 36 37 37 38 38 39 39 40 40 31 40 y è 41 41 42 42 43 43 44 44 45 45 46 46 47 47 48 48 49 49 50 50 41 50 a b y 51 51 52 52 53 53 54 54 55 55 56 56 57 57 58 58 59 59 60 60 51 60 61 61 62 62 63 63 64 64 65 65 66 66 67 67 68 68 69 69 70 70 61 70 71 71 72 72 73 73 74 74 75 75 76 76 77 77 78 78 79 79 80 80 71 80 81 81 82 82 83 83 84 84 85 85 86 86 87 87 88 88 89 89 ò 90 90 81 90 e’ o’ 91 91 92 92 93 93 94 94 95 95 96 96 97 97 98 98 99 99 100 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 20 50 40 96 95 41 10 31 71 80 11 7 2 3 4 9 8 1 Un quadrato magico con le cornici rimane un quadrato magico quando una o più delle sue cornici vengono rimosse. 11 99 50 10 92 41 81 12 88 14 86 85 17 83 19 30 22 33 74 48 28 77 43 79 1 69 23 64 36 35 67 78 32 100 98 49 76 47 55 56 44 25 52 3 40 59 38 57 45 46 54 63 42 61 26 70 39 75 34 66 65 37 62 21 72 58 27 53 73 24 68 29 93 82 13 87 15 16 84 18 89 8 60 2 51 97 5 6 94 91 9 90

  16. 14° sec. Marcatura delle Celle Ibn Qunfudh identifica 4 tipi di quadrati e relativi algoritmi. Quadrati con n celle dove n è divisibile per 4. In ogni riga [colonna] metà celle sono marcate e metà sono smarcate. 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13

  17. 14° sec. Procedimento per 2 e per 3 2 2 2 4 2 4 3 3 3 5 1 1 1 1 1 4 2 4 2 4 9 2 3 5 3 5 3 5 7 7 1 6 1 6 8 1 6 Manuel Moschopoulosdescrive due algoritmi. Il primo è relativo alla costruzione di un quadrato magico di ordine dispari (due versioni: procedimento per 2 e per 3; procedimento per3 e per 5). Il secondo è relativo a quadrati magici di ordine divisibile per 4 (tecnica marcatura delle celle di Ibn Qundfudh).

  18. 1612. Claude-Gaspard Bachet de Méziriac E’ una variazione dell’algoritmo di Moschopoulos. Dei piccoli quadrati vengono aggiunti ai lati di un quadrato ABCD da riempire; quindi si inseriscono i numeri in ordine lungo le diagonali (1,2,3,4,5; 6,7,8,9,10; …). A B C D

  19. 2 3 Metodi della Falsa Posizione A number must be chosen in which the proposed parts appear whole and this is to avoid fractional numbers, and not because it could not just aswell be done with another number but with more difficulty.Francès Pellos Compendion de l’abaco, 1942 A lance has a half and a third in the water and 9 palms outside. I ask you how long is it?x – 1 x – 1 x = 9 Francès Pellos – 1942 Sono algoritmi che usano un valore numerico per l’incognita per risolvere un problema. La loro origine è ancora incerta. La loro storia attraversa molti secoli e molte civiltà. Si distinguono in: Metodo semplice (un solo valore numerico) e Metodo doppio (due valori numerici). Babylonian Tablet La scelta del valore numerico (falsa posizione) è importante soprattutto per evitare problemi con le frazioni.

  20. 1800 a.c.MesopotamiaUNA FALSA POSIZIONE GEOMETRICA d = l2 + b2 = 40 d0 = = 75 1;15 l2 + b2 b = kl d = = 40 l l/l0 = b/b0 = d/d0 1 + k2 = d l02 b02 + + l = l0 x (d/d0)e b = b0 x (d/d0) d02 = l02 + b02 = 5625 1;33;45 Questa tavoletta mostra “chiaramente” l’uso di un algoritmo di falsa posizione per la risoluzione di unproblema geometrico. b = l – l/4 e b d l0 = 1 o [60] l0/4 = 15 l b0 = l0 – l0/4 = 45 b = ? 24 l = ? 32 l02= 1 o [602] l = l0 x (d/d0)= 60 x (32/60) = 32 b02 = 452 = 2025 33;45 b = b0 x (d/d0)= 45 x (32/60) = 24 d/d0= 1/75 = 48/60248 d x (1/d0)= 40 x (48/602) = 32/60 32

  21. 1800 a.c.Egitto - Rhind Papyrus x + 1 x = 15 4 I principali testi matematici dell’antico Egitto: Kahun Papyrus, Moscow Papyrus eRhind Papyrus (problema 26). x’ = 4 b’ = 5 b/b’ = 15/5 = 3 x = (b/b’) x’ = 3*4 = 12 12 + 3 = 15

  22. (206 ac-220 dc)Cina – Jiuzhang Suanshu Il capitolo 7 della “bibbia” cinese dell’aritmetica contiene il primo algoritmo sul metodo del doppio errore, o ying bu zu shu (problemi 18 e 19). 9x = 11y (10y + x) – (8x + y) = 13 (liang) “9 gold coins weigh as much as 11 silver coins. If, in each pile, one gold coin is replaced by a silver coin, and conversely, the gold pile becomes lighter by 13 liang. How much do a gold and silver coin weigh respectively?” x1 = 3 y1 = 2 + 5/11 x2 = 2 y2 = 1 + 7/11 1 jin = 16 liang e 1liang = 24 zhu 13 liang = 13/16 jin e1 = 12/11 – 13/16 = 49/16*11 jin e2 = 13/16 – 8/11 = 15/16*11 jin x = x1*e2 + x2*e1/e1 + e2 = 143/64 jin x = 2jin + 15/(16*4)jin = 2jin + 3/16jin +18/(16*24) jin = 2jin 3 liang 18 zhu …

  23. 12°secolo.India – Bhaskara Nel capitolo 3 del suo libro Lilavati, il matematico IndianoBhaskara tratta il Metodo semplice che chiama ista karma (operazione con un numero fissato). 1/10[5x - 1/3(5x)] + 1/3x + 1/2x + 1/4x = 70 - 2 “What is the number, which multiplied by five, and having the third part of the product subtracted, and the remainder divided by ten, and one-third, a half and a quarter of the original quantity added, gives two less than seventy? ax = b ax1 = b1 x1 = 3 b1 = 17/4 x = b*x1/b1 = (3*68)/17/4

  24. 9°secolo.Arabia – Qusta Ibn Luqa m z s o l t c k h u n i g a b d Il matematico arabo Qusta Ibn Luqaè stato il primo a fornire una dimostrazione geometrica del metodo del doppio errore. ad ag ab x x’ x” b–b” t = = = = do gt bh b b’ b” b–b’ area del rettangolo con diagonale ci b b” b’ x = lunghezza del segmento cn x’ x’ e” – x” e’ x” = x e” – e’

  25. 13°secolo.Il Metodo della Bilancia b x’ e” – x” e’ x’ e” – x” e’ e” e’ e” – e’ e” – e’ x” x’ x’ e” + x” e’ e” + e’ b e’ b x” x’ x” x’ e” e” e’ Il matematico arabo Ibn al-Bannainventò una tecnica grafica per sviluppare il metodo del doppio errore. errori per eccesso errori per difetto e’ per eccesso, e” per difetto x’(ax’) + (b - ax’)x’ x = ax’

  26. 1202.Fibonacci – Regola Elchatayn 5 livres 3 livres e’ – e” e” x” – x’ x – x” 12 deniers differenza delle moltiplicazioni 16sous 3sous 13 x” - x’ ( ) ( ) 2 1 3*12 7 + deniers = deniers x = x” + e” 2 sous + 2 sous + 5 less less 1 e’ – e” 5 5 3 8 differenza degli errori In Liber Abaci (capitoli 12 e 13) Fibonacci spiega la regola Elchatayn o regola dei due errori. 1 livre = 20 sous 1 sou = 12 deniers

  27. 1460.Francès PellosREGOLA DEL TRE E FALSA POSIZIONE SEMPLICE = = 3 + 1 3 + 1 6 + 1 4 + 1 2 2 2 3 x’ b’ = 2 = 14 REGOLA DEL TRE 14. 3 + 1/2 28 + 1 8 + 1 x = 49/2 = 24 + 1/2 21 6 = 7 2 3 + 1 2 In Compendium del l’abacoviene usato il Metodo semplice per sviluppare la regola del tre applicata ai numeri frazionari. ax’ = b’ x =?

  28. 1583.Christophore Clavius 2 2 23 5 35 36 15 32 42 33 42 21 y2 e1 – y1 e2 z2 e1 – z1 e2 x2 e1 – x1 e2 y = x = z = 3 1 121/2 101/4 e1 – e2 e1 – e2 e1 – e2 251/2 263/4 361/2 543/4 SOLUZIONE DI UN SISTEMA DI EQUAZIONI In Epitome Arithmaticae Practicae Clavius(capitoli 12 e 13) usa il Metodo del doppio errore per risolvere sistemi di equazioni lineari. x1 = 137 = y1 + z1y1 + 73 = 3(1 + z1) x2 = 3y2 + z2 = 38y2 + 73 = 3(3 + z2) y1 = 101/4z1 = 263/4e1 = 543/4 y2 = 121/2z2 = 251/2e2 = 361/2 x + 73 = 2(y+z)y + 73 = 3(z + x)z + 73 = 4(x + y) = 7 = 17 = 23

  29. Algoritmo di Euclide By 1950, the word algorithm was most frequently associated with ‘Euclid’s algorithm’. Donald Knuth The Art of Computer Programming, (v.I, p. 2) Rappresenta per i matematici il prototipo della procedura algoritmica. Usato non solo nella ricerca del massimo comune divisore (Euclide), ma anche, nella soluzione delle equazioni indeterminate (identità di Bèzout).Per il confronto di due rapporti(Al-Khayyàm); che sarà ancora più chiaro con lo studio delle frazioni continue (Eulero). Ma quelloche è stupefacente, è che questo algoritmo viene usato anche per determinare il numero delle radici reali di un’equazione algebrica(Metodo di Sturm).

  30. IIIo secolo a.c.Algoritmo di Euclide Le due proposizioni su cui si basa la procedura forniscono un metodo per determinare se due numeri sono primi fra loro(Proposizione 1) e se non lo sono, per determinare il massimo comune divisore, MCD (Proposizione 2). Queste due proposizioni sono contenute nel Libro VII di The Elements, che insieme ai Libri VIII e IX formano I Libri Aritmetici di Euclide che mettono le basi della Teoria dei Numeri. Il processo iterativo di ricerca del MCD è basato sulle ripetute sottrazioni fra il numero più grande e quello più piccolo.

  31. ?.Omar al-Khayyàm Nel IXo secolo, al-Mahani identifica l’uguaglianza fra due rapporti con il fatto che essi hanno le stesse sequenze di quozienti corrispondenti. a c = b d Il matematico arabo al-Khayyàm và oltre e identifica la diseguaglianza fra due rapporti. a c K = 1 2 3 4 = b d a 223 = 0, 3, 7, 10 b 71 355 c 0, 3, 7, 16 = d 113

  32. 1766.Etienne Bézout Nella ricerca delle soluzioni intere di un’equazione di primo grado ax – by = c, il caso particolare dove a e b sono numeri primi, è noto comeIdentità di Bézoutaxo – byo = 1. Bachet de Méziriac (1624) – dimostrazione laboriosa I manuali di Bézout hanno avuto un ruolo importante nell’insegnamento della matematica.Nella sua opera Cours d’Algèbre utilizza il seguente esempio 17x – 11y= 542,da cuil’ Identità di Bézouta*2 – b*3 = 1. Identità di Bézout e polinomi: AU + BV = 1.

  33. 1737.Leonhard Euler B A a C B b D C c E D d F E e G etc. L’approssimazione dei numeri per frazioni successive è alla base dei calcoli fatti dai primi matematici. Il primo esempio di numero specificato in questa forma è 4/pi(Lord Brouncker). Questa teoria viene enunciata da Eulero nel 18o secolo (Fractionibus continuis Dissertazio) e poi completata da Lagrange.

  34. 1835.Charles.-F. Sturm Nel 1815,Cauchy diede, per la prima volta, una soluzione completa al problema di determinare il numero delle radici di un equazione, ma il metodo è troppo complicato per avere un uso pratico. Nel 1835,Sturm spiega il suo metodo, abbastanza semplice, nella Mèmoire sur la résolution des équations numériques, che gli da la fama di fisico e matematico. Sturm utilizza nel suo metodo l’algoritmo di Euclide applicandolo ad un polinomio V e alla sua derivata V’. Dalle estensioni del teorema di Sturm hanno avuto origine diversi algoritmi e programmi di calcolo, come MACSYMA, REDUCE, MAPLE,e DERIVE.

  35. Dalla misura del cerchio al calcolo di pi And he made a molten sea, ten cubits from the one brim to the other: it was round all about, and his height was five cubits: and a line of thirty cubits did compassit round about The Bible, I Kings 7, 23 Fece un bacino di metallo fuso di dieci cubiti da un orlo all'altro, rotondo; la sua altezza era di cinque cubiti e la sua circonferenza di trenta cubiti La Bibbia, I Re 7, 23 48 Le diverse teorie di pensiero su pi si dividono in tre categorie: 1) fino al 17o secolo, viene usato un approccio geometrico(lunghezze o aree) – Archimedes, Jiuzhang Suanshu, Descartes; 2) l’avvento del calcolo infinitesimale cambia completamente il tipo di approccio (somme, prodotti, funzioni trigonometriche, approssimazioni per frazioni successive) – Leibniz, Euler; 3) studi più teorici sulla natura del numero pi, che viene approssimato con un numero sempre maggiore di cifre decimali. Lambert (1761) dimostra che è un numero irrazionale, e Lindemann (1882) che è un numero trascendente. Rhind Papyrus

  36. 287-212 ac.Archimede Il libro su La Misura del Cerchioconsiste di tre proposizioni. La primaproposizione stabilisce che A = r C . 2 La terza proposizione stabilisce che3d + d < C < 3d + d. 10 1 71 7 Per ottenere questo risultatoArchimede calcola i perimetri dei poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio.

  37. Area del cerchio – Jiuzhang Suanshu (220 ac – 206 dc) c d A = * 2 2 E’ la più importante e la più conosciuta di tutte le antiche opere matematiche cinesi; scritta durante la dinastia Han, contiene centinaia di algoritmi, fra i quali anche l’algoritmo che calcola l’area del cerchio (pi = 3). Verso la fine del terzo secolo il matematico Liu Huiottiene una migliore approssimazione di pi calcolando le aree di una sequenza dipoligoniregolari (di 6, 12, 24, 48, 96 e 192 lati) iscritti nel cerchio. L’astronomo e inventore Zu Chongzhi (nel quintosecolo) approssima pi a ; e Li Chunfeng (nel settimo secolo) trova la più utile semplificazione a . 355 113 22 7

  38. 1640.René Descartes p d La quadratrice d’Hippias La spirale di Archimede Con il Metodo degli Isoperimetri Descartes mostra come costruire, il diametro d di un cerchio che abbia lo stesso perimetro p di un quadrato dato, ovvero = pi. Il metodo si avvale del principio che, di tutte le figure piane di un dato perimetro, il cerchio ha l’area maggiore (problema degli isoperimetri). Questo cerchio rappresenta il limite di una sequenza di poligoni regolari di uguale perimetro e di lati (4,8,16,32,…), ovvero si ottiene producendo la sequenza dei diametri dei cerchi iscritti in questi poligoni regolari.

  39. 1673.G.W. Leibniz Francois Viète (1593) è il primo a rappresentare pi come un prodotto infinito. 2/pi John Wallis (1656) 4/pi 4/pi Lord Brouncker (frazioni successive) Leibniz definisce la sua formulaQuadratura Aritmetica

  40. 1748.Serie tan pi/6 = 1/ 3 arctan t = t – t3 + t5 – t7 + t9 - … 1 3 5 7 9 1 (-1)n 1 - + - … + + pi = 2 … 3.3 5.32 (2n + 1).3n 3 (-1)n (-1)n + = (2n + 1).22n+1 (2n + 1).32n+1 pi/4 = arctan (1/5) – arctan (1/239) pi J.Machin 4 n>=0 n>=0 Eulero studia la convergenza della serie di Leibniz. e arctan 1 = arctan (1/2) + arctan (1/3) M. De Lagny (1719)127 posizioni decimali 3,141592653589793238462643383279502884119716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651327230664708446 La 114a cifra dovrebbe essere 8! pi2/6, pi4/90, pi2/8, pi3/32, …

  41. I Metodi di Newton Esistono due versioni del metodo di Newton:Metodo della Tangente e Poligono di Newton (Soluzione Numerica di Equazioni) (Soluzione Algebrica di Equazioni). P(y) = 0 P(x,y) = 0 y = f(x) 1669 – Approssimazione di Newton 1690 – L’iterazione diRaphson (r. di ricorrenza) 1768 – Mourraille (c. iniziali)Lagrange (a. geometrico) 1818 – Fourier (convergenza) 1829 – Cauchy (r. complesse) Idea Moderna dei Frattali. …La Riga e Piccoli Parallelogrammi… 1850 – Caso generale Puiseux

  42. 1669.Isaac NewtonAPPROSSIMAZIONI LINEARI +6p +p 2 3 - 2y - 5 +6p +p 2 3 +p q q +q 3 +0 .001 2 3 +0 .03 +0 .3 +6p 2 +0 .06 +1 .2 +6 +1 +10 - 1 Total +q 2 0.061 +11 .23q +6 .3q 3 +q 3 + q 2 6 .3 + q 11 .23 +0 .061 Total +0 .0005416 +11 .162r - 0 .00004852 + s = r Il metodo di Newton per risolvere un’equazione polinomiale è un metodo per approssimazioni successive. y3 +8 +12p 2+p=y Nel 1669 Newton fornisceun nuovo algoritmo, cheillustra sull’esempioy3 -2y -5 = 0 -2p -4 -5 Total -1 +10p 0.1+q=p +10p Newton non fa uso esplicito della nozione di derivata. -1 -0.0054+r=q 2.09455148

  43. 1690.Joseph RaphsonFORMULE DI RICORRENZA Il metodo introdotto da Raphson semplifica il processo delle approssimazioni di Newton. x3 – bx + c = 0 an x = g f(an) an+1 = an + c + g3 – bg x = g + f’(an) b - 3g2 Più tardi Lagrange mostra che i due metodi sono praticamente uguali (algoritmo di Newton-Raphson).

  44. 1768.Jean-Raymond Mourraille P p M M B f’>0, f”>0 f’<0, f”>0 P p B B B M p p P P M f’>0, f”<0 f’<0, f”<0 CONDIZIONI INIZIALI Per la prima volta viene affrontato il problema della convergenza del metodo di Newton. Mourraille utilizza la rappresentazione geometrica(Metodo della Tangente) per spiegare il comportamento della sequenza iterativa prodotta dall’algoritmo di Newton.

  45. 1829.Augustin Louis CauchyCONVERGENZA Fourier (1818) prima in Question d’analyse algébrique, e poi in Analyse des équations déterminées (1831), è il primo cheaffronta il problemadella misura della convergenza. In Lecons sur le Calcul Différential, in una nota sulla determinazione approssimata delle radici di un’equazione f(x) = 0, Cauchyspecifica le condizioni iniziali,a partire dallederivate f’ ed f’’. f’(x) = 3x2 – 2, f’’(x) = 6x, a=2, i=-f(a)/f’(a)=0.1 Nel caso dell’equazione di Newton x3 -2x -5 = 0

  46. 1979.Radici Complesse Nel 1979 John Hubbard, matematico americano, si chiese che cosa sarebbe successo applicando il metodo di Newton per la risoluzione delle radici cubiche. i punti del piano sono “attratti” verso le tre soluzioni del sistema

  47. 1671.Poligono di Newton B x4 x4y x4y2 x4y3 x4y4 x3 x3y x3y2 x3y3 x3y4 ax... x2 x2y x2y2 x2y3 x2y4 B x xy xy2 xy3 xy4 0 y * y3 y4 y2 D A C * * * * bkxk = y P(x,y) aijxiyj * = A C i,j K>0 E Y6 – 7a2x2y2 + 6a3x3  v6 - 7v2 + 6 = 0 y = v La prima versione dell’algoritmo per ottenere le soluzioni algebriche di un’equazione algebrica P(x,y)=0. Y6 – 5xy5 + (x3/a)y4 – 7a2x2y2 + 6a3x3 + b2x4 = 0

  48. Risoluzione di Equazioni perApprossimazioni Successive Approximation, (in Mathematics) is an operation by which one approaches ever more closely to the value of a required quantity, without however ever finding the exact value. d’Alembert -The Encyclopédie Metodi per l’estrazione delle radici quadrate, (Metodi diHeron e Theondi Alexandria, Ibn al-Banna); Metodi numerici per la risoluzione di equazioni (Al-Tusi, Viète); Nel campo dell’astronomia al-Kashi usa questo processo per calcolare il valore di sen 1o, e Keplero per risolvere la sua equazione trascendentale; Metodi diBernoullidelle Serie Ricorrenti (Euler) e di Lagrange delle frazioni successive; Le tecniche di Ruffini, Budan e Horner per la trasformazione delle equazioni polinomiali.

  49. Valore Standard Heron è stato il primo a proporre unalgoritmo iterativo di approssimazione(Metrica, Schone - 1896). .. = + I° sec. a.c. Heron di Alexandria Come i Babilonesi(2000-1700 a.c.). hanno ottenuto questa formula? VAT 6598 – (6) = 26*5/6 = ? 1 A ( a + ) a /2 2

  50. A – a2 x = 2a 4500 A – a2 r = a + 2a A E H B G F I J D C 370 a.c. Theon di Alexandria Theon propone una versione geometrica di questo algoritmo iterativo (Commentary on Ptolemy’s Syntaxis). 2 a x ) r A ( + = = 67°4’ 55” a ax x ax x2

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