Propuesta de investigación doctoral Ruth Diamant

1. Propagación de ondas elctromagnéticas en medios con índice de refracción estratificado, representación de amplitud y fase. Propuesta de investigación doctoral Ruth Diamant 1

2. Contenido • Objetivo • Motivación • Introducción • Representación de amplitud y fase • Resultados • Conclusiones 2

3. Objetivo El presente trabajo propone una nueva forma de tratar la propagación de la luz en medios transparentes, con índice de refracción estratificado, mediante la representación de amplitud y fase. La intención es no caer en aproximaciones “abruptas” o “graduales” sino resolver las ecuaciones de forma estricta, recurriendo a métodos numéricos principalmente. 3

4. Motivación • Trabajo con películas delgadas durante la licenciatura y la maestría 4

5. Motivación • (1999) La propuesta de Manuel Fernández de trabajar con la ecuación de Ermakov para modelar luz propagándose en medios con índice de refracción variable (medios estratificados). Específicamente el rango “difícil”, cuando esa variación ocurre en una distancia del orden de la longitud de onda. Ecuación tipo Ermakov-Pinney-Milne, donde A es la amplitud del campo eléctrico, z la dirección de propagación, ko el número de onda en el vacío, nel índice de refracción y Q un invariante. 5 (Hay dos artículos ya)

6. Introducción Ecuaciones de Maxwell Comenzando con las ecuaciones de Maxwell y considerando lo siguiente: 1. Se asume que el material es isotrópico. 2. El material involucrado tiene un comportamiento magnético lineal. 3. La permeabilidad magnética m puede depender de la posición pero es independiente del tiempo 4. El material tiene respuesta lineal también al campo eléctrico. 5. La permitividad epuede depender de la posición pero es independiente del tiempo. 6. La conductividad es despreciable. 7. No hay cargas libres. , , ,

7. Introducción Si además asume lo siguiente: • El medio es estratificado, es decir μ(z)y ε(z). • 2. Se consideran ondas propagándose en el plano yz con el campo eléctrico paralelo al eje x, es decir se asume una polarización lineal y transversal eléctrica “TE”. tenemos: 3. Ahora se aplica sucesivamente la separación de variables y el campo queda: Donde wes la frecuencia temporal de la onda, y a es otra constante de separación que se puede relacionar con el ángulo de la propagación de la luz.

8. Introducción Pero U(z) debe satisfacer: Donde el índice de refracción es Para la polarización transversal magnética se sigue un procedimiento similar, H juega el papel de E, μ el de ε y viceversa. Se puede hacer un cambio de variable para convertir la ecuación anterior a una que no tenga término a primer orden. Entonces F debe cumplir:

9. Representación de amplitud y fase La ecuación para F es equivalente a la del oscilador armónico unidimensional dependiente del tiempo ODE Lineal Homogénea No autónoma I k02N 2 Si se escribe a F, que es una función compleja de z, en términos de su amplitud A y su fase q: Se pueden desacoplar las ecuaciones para A y q, mediante un invariante Q: ODE NO Lineal Homogénea No autónoma II III La relación entre las soluciones a las ecuaciones del tipo I y II ha sido objeto de estudio desde hace tiempo. Las ecuaciones I y II forman lo que se llama un par de Ermakov.

10. Representación de amplitud y fase 1880 V. P. Ermakov, Univ. Isv. Kiev 20 1930 W.E. Milne, Phys. Rev. 35 863-867. 1950 E. Pinney, Proc. Am. Math. Soc. 1 681-681. 2002 N. Froman. Physical Problems Solved by the Phase-Integral Method. Cambridge University Press. Aplicaciones varias: Oscilador armónico dependiente del tiempo Cosmología hamiltoniana de “minisuperespacios” Mecánica cuántica Etc.

11. Representación de amplitud y fase ¿Se puede resolver fácilmente la ecuación e interpretar la solución? Empecemos por resolverla para el caso más simple y conocido, el medio homogéneo, entonces es constante y la solución general es: donde A es el módulo de dos ondas que se contra propagan

12. Representación de amplitud y fase Si la ecuación para la amplitud se puede adimensionalizar, Podemos formular entonces una ecuación adimensional: Otro fenómeno muy conocido y simple es el de la interfase abrupta de un dieléctrico (coeficientes de Fresnel), en particular vamos a escoger el caso de la incidencia normal (a= 0) y materiales no magnéticos (m’ = m’’ = 0) . Si queremos simular una interfase entre aire y vidrio, el perfil para n debe ser: Es importante introducir condiciones iniciales convenientes para la interpretación de la solución, o sea, para calcular el coeficiente de reflexión r.

13. Resultados Para modelar una interfase gradual se puede usar un un perfil de tangente hiperbólica: Fernández-Guasti M., Gil Villegas A., Diamant R., Ermakov Equation Arising from Electromagnetic Fields Propagating in 1D Inhomogeneous Media, Revista Mexicana de Física ,46, 6, p. 530-538, Mexico, 2000.

14. Resultados Soluciones numéricas Al aumentar el valor del parámetro D, disminuye el coeficiente de reflexión. http://demonstrations.wolfram.com/LightPropagationAtSoftInterface/

15. Resultados Reflectividad para un perfil de tangente hiperbólica, como función del grosor de la interfase. 4 R % 3 Tangente hiperbólica perfil de Epstein 2 1 0 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 en longitudes de onda D Hay un perfil de n que también simula una interfase gradual que tiene solución analítica, el llamado perfil de Epstein. La solución se encontró mediante series hipergeométricas.

16. Resultados tanh arctan erf 1.4 linear cubic n 1.2 1.0 D z l z c -0.25 0.00 0.25 en longitudes de onda Z tanh arctan erf Cubic Linear

17. Resultados 4 R % 3 tanh arctan erf linear 2 cubic 1 0 0.0 0.7 1.4 D en longitudes de onda

18. Resultados 0.3 R % tanh arctan erf 0.2 linear cubic 0.1 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 en longitudes de onda D

19. Resultados n Reflexión sobre el segundo plano de juntura Onda incidente Reflexión sobre la parte gradual Reflexión sobre el primer plano de juntura z Diamant R. and Fernández-Guasti M.,Light propagation in 1D inhomogeneous deterministic media: the effect of discontinuities, Jurnal of Optics A: Pure and Applied Optics, volume 11, number 4, 045712, IOP Publishing Ltd, UK, 2009. DOI: 10.1088/1464-4258/11/4/045712

20. Resultados Reflexión y transmisión de luz debido a una película delgada (incidencia normal) Incidente Transmitida Reflejadas n3 > n2 n3 < n2

21. Resultados

22. Resultados 1.3 A = 0.2 r d 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 -2 -1 0 1 2 en longitudes de onda Interfase abrupta aire-vidrio En fase Z Fuera de fase

23. Resultados 1.5 n 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 z en longitudes de onda Línea horizontal con tangente hiperbólica Índice de refracción creciente

24. Resultados

25. Resultados 1.02 A d 1.00 0.98 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 Camino óptico en longitudes de onda Cambio de fase de

26. Resultados 1.5 1.5 1.5 1.4 1.4 1.4 Primera derivada discontinua Segunda derivada Segunda derivada 1.3 1.3 1.3 discontinua discontinua 1.2 1.2 1.2 1.1 1.1 1.1 1.0 1.0 1.0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 1.5 1.5 1.5 1.4 1.4 1.4 Tercera derivada discontinua Cuarta derivada 1.3 1.3 1.3 Tercera derivada discontinua discontinua 1.2 1.2 1.2 1.1 1.1 1.1 1.0 1.0 1.0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Ejemplos de perfiles de índice de refracción con discontinuidad en sus derivadas Índice de refracción Z en longitudes de onda

27. Resultados Diferencia de fase entre la onda incidente y la reflejada en el plano de la juntura Derivada discontinua de orden más bajo La derivada discontinua de orden más bajo es creciente La derivada discontinua de orden más bajo es decreciente n(z) es discontinua 0 0

28. Resultados • Se han obtenido más resultados modelando también: • Películas delgadas sencillas, con interfases graduales • Monocapas de partículas esféricas y transparentes • Multicapas de dieléctricos con interfases graduales Conclusiones • La representación de amplitud y fase permite describir la propagación de luz en medios estratificados, sin hacer aproximaciones previas relacionadas con qué tan gradual o abrupto es el cambio de índice de refracción. • La solución a la ecuación de la amplitud se encuentra fácilmente para varios casos, aún siendo esta ecuación no lineal. • La interpretación de estas soluciones es franca. 28