Глава 1

1. Глава 1 Математическое описание непрерывных (аналоговых) изображений

2. ВВЕДЕНИЕ • Многие отрасли техники, имеющие отношение к получению, обработке, хранению и передаче информации, в значительной степени ориентируются в настоящее время на развитие систем, в которых информация имеет характер изображений. Изображение, которое можно рассматривать как двумерный сигнал, является значительно более емким носителем информации, чем обычный одномерный (временной) сигнал. Вместе с тем, решение научных и инженерных задач при работе с визуальными данными требует особых усилий, опирающихся на знание специфических методов, поскольку традиционная идеология одномерных сигналов и систем мало пригодна в этих случаях. В особой мере это проявляется при создании новых типов информационных систем, решающих такие проблемы, которые до сих пор в науке и технике не решались, и которые решаются сейчас благодаря использованию информации визуального характера. • Современные системы обработки изображений можно разделить на три класса: аналоговые (оптические), цифровые и аналогово-цифровые (оптико-цифровые). В аналоговых системах обработки изображений используются когерентные и некогерентные оптические вычислительные устройства. Цифровая обработка изображений предполагает использование ЭВМ. В гибридных оптико-цифровых системах используются ЭВМ и оптические процессоры.

3. 1. Аналоговые (оптические) системы обработки изображений Математическое описание непрерывных (аналоговых) изображений Изучение методов и систем обработки и анализа изображений начнем с рассмотрения математического аппарата, используемого при аналоговой (оптической) обработке. Для простоты будем во всех случаях описывать изображение, сформированные некоторой физической системой, с помощью функции . Для одноцветной системы функция представляет собой распределение яркости или какой-либо другой физической величины, связанной с яркостью. Для цветных изображений есть одна из координат цвета, которые пропорциональны интенсивностям красного (R), зеленого (G) и синего (В) цвета, смесь которых дает заданный цвет. Во многих системах воспроизведения изображений изображение не меняется во времени и переменная t может быть опущена (статические изображения). Мы в основном будем рассматривать именно такие изображения. Иногда для простоты изложения некоторые методы обработки и анализа демонстрируются для одномерных изображений f(x). Большое значение в обработке изображений имеют операция свертки и преобразования Фурье, относящиеся к классу интегральных преобразований.

4. 1.1. Свертка и ее свойства Если функцияf(x) абсолютно интегрируема, т.е. интеграл (1.1) конечен, а функция h(x) ограничена на интервале (- ∞, ∞), то существует функция (1.2) которая называется сверткой двух функций и. Переменная задает последовательность сдвиговфункции относительно. Подынтегральное выражение интеграла (1.2) равно произведению на перевернутую функцию ,сдвинутую относительно первой функции на величину . Если заменить на , то, изменив пределы интегрирования, получим (1.3) т. е. операция свертки является коммутативной. Другие свойства свертки рассмотрим в разделе, посвященном преобразованию Фурье.

5. 1.2. Обобщенные функции Достаточным условием существования свертки (и преобразования Фурье) является абсолютная интегрируемость исходной функции, т.е. конечность интеграла (1.1). Однако, эти преобразования можно рассматривать на совсем другом классе функций, а именно на классе функций с интегрируемым квадратом. Если существует интеграл (1.4) который иначе называется квадратом нормы функции и обозначается (1.5) то требование конечности нормы функции позволяет существенно расширить класс функций над которыми можно совершать преобразования свертки и Фурье. Введем понятие скалярного произведения двух функций и (перекрестная норма): (1.6) Если скалярное произведение функции на функциюсуществует, то (1.7) При переносе одной функции на величину , получаем (1.8) При сжатии одной из функций в а раз, имеем

6. (1.9) В трудах О. Хэвисайда, П. Дирака, С. Соболева, Л. Щварца обобщено понятие функции на так называемые сингулярные (пример - -функция) и “трудные” функции ( ,и др.). Если взять произвольную обобщенную функцию , то задание чисел (1.10) определенных для любой “хорошей” функции , достаточно, чтобы полностью определить свойства , не определяя ее непосредственно. Например, -функция определяется как (1.11) причем (1.12) Однако, -функцию можно определить, указывая на результат операции (1.13)

7. 1.3. Примеры обобщенных функций1.3.1.Обобщенная -функция Дирака для любой “хорошей” функции , т.е. функции, имеющей непрерывные производные всех порядков и финитной. К понятию обобщенной функции необходимо обращаться в следующих случаях: • исходная функция неинтегрируемая абсолютно; • исходная функция входит в класс сингулярных; • необходимо осуществить дифференцирование функций абсолютно интегрируемых, но имеющих разрывы. Обобщенная -функция Дирака определяется следующим функционалом: (1.14) Аналогичный функционал записывается для сдвинутой -функции : (1.15) Данную функцию можно интерпретировать как точечный источник света расположенный в точке . Вычислим (1.16) Отсюда следует неочевидное свойство: (1.17)

8. 1.3.2. Функция Хэвисайда По определению функция Хэвисайда, или единичная ступенька, имеет вид: (1.18) Вычислим производную функции Хэвисайда. Пусть некоторая функция непрерывна и обладает непрерывной производной. Построим функционал (1.19) Интегрируя по частям и учитывая, что функция обращается в нуль вне конечного отрезка, получим (1.20) Производная функции Хэвисайда определяется функционалом (1.21) откуда (1.22) Дальнейшие дифференцирование позволяет определить производные от -функции: (1.23) аналогично (1.24)

9. 1.4. Преобразование Фурье и его свойства Преобразованием Фурье функцииназываться функция (1.25) где интеграл понимается в смысле главного значения (1.26) Обратное преобразование Фурье функции F(w) определяется выражением (1.27) Достаточным, но не необходимым условием существования преобразования (1.25), является выполнение следующих условий: • функция должна быть абсолютно интегрируемой; • функция должна иметь конечное число разрывов, максимумов и минимумов в пределах любой конечной области; • функция не должна иметь разрывов 2 рода. Очевидно, что -функция не удовлетворяет третьему условию существования преобразования (1.25), а , , , – первому условию существования. Однако, для этих обобщенных функций можно, как мы увидим в дальнейшем, определить обобщенные фурье-образы, с которыми можно обращаться так же, как и с обычными.

10. 1.4.1. Свойства преобразования Фурье 1. Линейность Пусть - фурье-образы функций , а - произвольные комплексные числа, то фурье-образ функции , равен , т.е. линейной комбинации соответствующих фурье-образов. Это общее свойство для всех линейных преобразований. 2. Изменение масштаба Если а – действительное число, то (1.28) Пусть . Тогда Аналогично, если , то Окончательно: (1.29) При , .

11. 3. Теорема о переносе Если функцию сдвинуть на величину, то Фурье-образ новой функции окажется равным (1.30) Таким образом, при переносе функции на величину ее фурье-образ умножается на 4. Свойства симметрии Вычислим фурье-образ , т.е. функции, комплексно-сопряженной с Таким образом, (1.31) 5. Интегральная теорема Фурье Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье: (1.32) Покажем сначала, что для любых функций и , имеющих фурье-образы справедливо соотношение (1.33)

12. Действительно: Теперь, для любых , Можно записать При , получаем (с учетом абсолютной и равномерной по сходимости крайних интегралов) откуда следует, что

13. Поскольку – произвольная функция, то нормированный множитель так же произвольно может быть назначен. Мы будем полагать, что тогда (1.34) что и требовалось доказать. 6. Соотношение взаимности Если F(w) – фурье-образ функции , то (1.35) Это соотношение вытекает из равенства (1.36) 7. Дифференцирование по координате Выполним дифференцирование обеих частей равенства (1.37)

14. n раз по координате , получим (1.38) Осуществляя преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.38), получим (1.39) Рассмотрим функцию (1.40) Если , то (1.41) (1.42) Таким образом, (1.43) 8. Теорема свертки Фурье-образ свертки двух функций равен произведению их фурье-образов. Действительно, (1.44)

15. Осуществляя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.44) при = 0, получаем: (1.45) 9. Теорема автокорреляции Фурье-образ автокорреляционной функции равен квадрату модуля ее Фурье-преобразования. Действительно, (1.46) 10. Теорема Парсеваля Осуществляя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.46), получим: При , имеем (1.47)

16. 1.4.2. Преобразования Фурье обобщенных функций Основным соотношение, задающим свойства Фурье-образа обобщенных функций, является равенство (1.45), которое запишем в виде (1.48) Это соотношение является определением фурье-образа обобщенной функции . При этом функция входит в класс “хороших” функций. Вычислим, исходя из соотношения (1.48), фурье – образы некоторых обобщенных функций. 1. Обобщенная функция δ(х) Таким образом, (1.49) Применяя теорему взаимности к равенству (1.49), получим (1.50) Аналогично (1.51)

17. Применяем теорему взаимности к равенству (1.51), получим (1.52) 2. Гармонические функции coswox, sinwox Согласно формулам Эйлера Используя соотношение (1.52), легко находим (1.53) (1.54) 3. Знаковая функция sgn(x) Эта функция имеет вид (1.55) Очевидно, что (1.56) Производная функции Хэвисайда равна , поэтому (1.57) и отсюда получаем уравнение (1.58)

18. 1.5. Двумерное преобразование Фурье Для , очевидно, (1.59) Однако, распространить решение на точку нельзя, т.к. в этой точке может быть задана обобщенная функция, и такой обобщенной функцией является распределение Дирака. Легко проверить, что решением уравнения (1.58) является обобщенная функция (1.60) Тогда Пусть задана комплексная функция двух переменных . По определению преобразованием Фурье этой функции будет комплексная функция (1.61) Переменные называются пространственными частотами. Как и в одномерном случае справедливо обратное преобразование (1.62)

19. Соотношение (1.62) можно рассматривать как представление функции в виде линейной комбинации элементарных функций , а спектр Фурье как набор комплексных весовых множителей, на которые следует помножать каждую из элементарных функций, чтобы получить исходную функцию . Рассмотренные выше свойства преобразования Фурье, справедливы и в двумерном случае. В частности, если и - фурье-образы функций и , а, b – действительные числа, то (1.63) (1.64) (1.65) (1.66) (1.67) (1.68)

20. Пусть функция . Тогда, осуществляя в плоскостях координат и частот переход к полярным координатам по формулам: , , , , , , и учитывая, что якобиан перехода от декартовых координат к полярным равен r, получаем следующее выражение для фурье-образа функции : (1.69) Используя формулу для интегрального представления функции Бесселя первого рода нулевого порядка (1.70) получаем (1.71) Преобразование вида (1.71) называется преобразованием Фурье-Бесселя.

21. 1.6.Анализ линейных систем с помощью преобразования Фурье Для линейной системы, представляющей собой “черный ящик”, выходное изображение может быть получено в результате действия линейного оператора Т на входное изображение , то есть (1.72) Равенство (1.72) можно записать в виде (1.73) Функцию называют импульсным откликом системы. Теперь выходное изображение может быть представлено в виде интеграла суперпозиции (1.74) Линейная система называется пространственно-инвариантной, если . В этом случае интеграл суперпозиции становится интегралом свертки (1.75) Оптические системы, формирующие изображения, как правило, пространственно-инвариантны. Осуществляя преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.75) и используя теорему свертки, получаем

22. (1.76) где , , . Выполняя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.76), находим (1.77) т.е. изображение на выходе линейной системы может быть получено в результате обратного преобразования Фурье от произведения спектра входного изображения на частотную характеристику системы. Bal’t | 2006