Stabilność II

1. Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli związane jest z jednorodnym równaniem stanu, którego rozwiązanie zależy wyłącznie od warunku początkowego - stabilności zewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu w ujęciu wejście - wyjście

2. Rozpoczniemy od ogólniejszego przypadku

3. Definicja SII.1. jest systemu Stan równowagi taka, że  Stabilny, jeżeli dla danego dowolnego istnieje odpowiednia  Niestabilny, jeżeli nie jest stabilny taką, że  Asymptotycznie stabilny, jeżeli jest on stabilny i można wybrać W szczególności, dla danego dowolnego istnieje chwila czasowa dla której odpowiadająca jej trajektoria spełnia  Globalnie asymptotycznie stabilny, jeżeli jest on stabilny i dla dowolnego stanu początkowego zachodzi oraz istnieje chwila W szczególności, dla danego dowolnego taka, że czasowa

4. takie, że oraz  Ekspotencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałe  Globalnie eksponencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałe oraz takie, że dla wszystkich warunków początkowych zachodzi globalna asymptotyczna stabilność asymptotyczna stabilność niestabilność stabilność

5. Dla przypadku jest punktem równowagi punkt

6. Definicja SII.2. jest systemu Stan równowagi taka, że dla dowolnego stanu  Stabilny, jeżeli istnieje skończona dodatnia stała dla odpowiadającej mu trajektorii stanu, zachodzi początkowego  Niestabilny, jeżeli nie jest stabilny istnieje  (Globalnie) asymptotycznie stabilny, jeżeli dla dowolnego dla odpowiadającej mu trajektorii stanu takie, że dla dowolnego stanu początkowego zachodzi  (Globalnie) ekspotencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałe oraz , dla odpowiadających im trajektorii takie, że dla wszystkich warunków początkowych stanu zachodzi

7. Twierdzenie SII.1. jest systemu Stan równowagi  Stabilny, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy mają niedodatnie części rzeczywiste i geometryczna krotność którejkolwiek wartości własnej mającej zerową część rzeczywistą jest równa jej krotności algebraicznej  (Globalnie) asymptotycznie stabilny, wtedy i tylko wtedy, gdy każda wartość własna macierzy ma ujemną część rzeczywistą

8. Analiza energetyczna stabilności Przykład 1: system mechaniczny Model systemu wejście - wyjście: Model przestrzeni stanu: , prędkość Naturalny wybór zmiennych stanu: przemieszczenie masy przemieszczania masy

9. Model przestrzeni stanu: Stąd Podstawiając do modelu we - wy Postać równań stanu modelu przestrzeni stanu

10. Postać równania wyjścia modelu przestrzeni stanu Wejście systemu Postać macierzowa: Różniczkowe równanie stanu Algebraiczne równanie wyjścia

11. System drugiego rzędu, jedno wejście, jedno wyjście p = q = 1, n = 2 Rozważmy stabilność wewnętrzną – zerowe wejście Jednorodne równanie różniczkowe

12. Zmienne stanu przykładu związane z energią układu x1 – energia potencjalna zgromadzona w sprężynie (przemieszczenie) x2 – energia kinetyczna poruszającej się masy (prędkość) Całkowita energia systemu Właściwości:  całkowita energia systemu jest dodatnia we wszystkich punktach przestrzeni stanu takich, że  całkowita energia systemu osiąga minimum równe zero w stanie równowagi

13. Dla oceny wartości funkcji energii wzdłuż trajektorii stanu systemu policzmy pochodną po czasie mamy Dla zerowej wartości współczynnika tłumienia Przypadek 1: - całkowita energia systemu pozostaje stała wzdłuż dowolnej trajektorii Wniosek: ma miejsce wieczysta przemiana energii potencjalnej zgromadzonej w sprężynie i kinetycznej zgromadzonej w poruszającej się masie

14. To pokazuje, że dla tego przypadku stan jest stabilnym stanem równowagi Zachodzą następujące nierówności co wskazuje, że istnieje ograniczenie na normę trajektorii wskazujące na sposób doboru stałej  z Definicji stabilności SII.2

15. Wyniki symulacji: Wartości własne Parametry - zerowa część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej Warunek początkowy Zmienne stanu

16. Energia całkowita systemu

17. Przypadek 2: Jednorodne równanie stanu - przemieszczenie - prędkość Wniosek: Zdążanie energii całkowitej systemu do zera, dla dowolnej trajektorii stanu, przy czasie zdążającym do nieskończoności powinno odpowiadać asymptotycznej zbieżności tej trajektorii do stanu równowagi Punkt równowagi

18. Zdążanie energii całkowitej systemu do zera oznacza, że dla dowolnego , że dla istnieje Wykorzystując uprzednio ustalone granice dla co potwierdza, że asymptotycznie stabilnym stanem równowagi

19. Wyniki symulacji: Wartości własne Parametry - ujemna część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej Warunek początkowy Zmienne stanu

20. Energia całkowita systemu

21. Przypadek 3: Zwiększanie się energii całkowitej systemu wzdłuż jakiejkolwiek trajektorii dla której prędkość masy nie jest tożsamościowo równa zeru Zwiększanie się energii całkowitej systemu wzdłuż jakiejkolwiek trajektorii różnej od Jednorodne równanie stanu - przemieszczenie - prędkość Punkt równowagi Wniosek: Zwiększanie się energii całkowitej systemu dla dowolnej trajektorii stanu dla dowolnego stanu początkowego różnego od stanu równowagi powoduje, że trajektoria ta oddala się nieskończenie od stanu równowagi przy czasie zdążającym do nieskończoności

22. Wyniki symulacji: Wartości własne Parametry - dodatnia część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej Warunek początkowy Zmienne stanu

23. Energia całkowita systemu

24. Wniosek z przykładu: stabilność punktu równowagi może być określona bezpośrednio z w oparciu o pochodną po czasie funkcji energii całkowitej systemu liczoną wzdłuż trajektorii stanu systemu Obliczanie tej pochodnej po czasie może być interpretowane jako liczenie następującej funkcji zmiennych stanu której wartość liczona wzdłuż trajektorii stanu systemu równa się

25. Analiza stabilności Lapunova Źródła: spostrzeżenie, że wnioski na temat stabilności stanu równowagi mogą być wyciągnięte z analizy tzw. funkcji energetycznej systemu Dla systemu rozważana jest funkcja rzeczywista posiadająca ciągłe pochodne cząstkowe względem każdej ze zmiennych stanu i która jest dodatnio określona, tzn.:

26. wzdłuż trajektorii Dla analizy pochodnej czasowej funkcji stanu systemu definiuje się

27. Twierdzenie bezpośredniej metody Lapunova Twierdzenie SII.2. jest systemu Stan równowagi ujemnie półokreślona; to znaczy dla wszystkich  Stabilny, jeżeli w otoczeniu trajektorii ujemnie określona; to znaczy  Asymptotycznie stabilny, jeżeli w otoczeniu dla wszystkich trajektorii

28. Nas interesuje szczególnie asymptotyczna stabilność Dla niej, podsumowując możemy podać twierdzenie Twierdzenie SII.3. jest systemu Stan równowagi taka, że  Asymptotycznie stabilny, jeżeli istnieje funkcja Lapunova pozostaje słuszne w otoczeniu

29. Przykład 3: system nieliniowy Rozważamy system Propozycja funkcji Lapunova Zachodzi oczywiście Policzymy

30. Zatem jest słuszne dla dowolnego otoczenia Stan jest globalnie asymptotycznie stabilny Przykład 4: system nieliniowy Rozważamy system Propozycja funkcji Lapunova

31. Zachodzi oczywiście Policzymy Zachodzi oczywiście Ponadto dla otoczenia punktu równowagi Zachodzi Stan jest lokalnie asymptotycznie stabilny

32. Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę