Pilar Orús Báguena, Departamento de Matemáticas Universitat Jaume-I, Castellón (España)

1. Facultad de Matemáticas, Astronomía y Física Universidad Nacional de Córdoba, Argentina, 25-10-2010 La gestión del razonamiento natural de los alumnos, en clase de matemáticas: un problema didáctico Pilar Orús Báguena, Departamento de Matemáticas Universitat Jaume-I, Castellón (España) orus@mat.uji.es

2. Facultad de Matemáticas, Astronomía y FísicaUniversidad Nacional de Córdoba, Argentina, 25-10-2010 Agradecimientos • FaMAF, UNC • Grupo de investigación de Educación Matemática • La Universidad Jaume-I , ayudas a las estancia docentes, en América • A Mónica, Humberto y a Dilma, por acogerme y hacerme un hueco en sus clases y en sus vidas, durante este mes

3. INDICE Introducción • El Razonamiento Natural (RN) en clase de Matemáticas • Presentación y caracterización de una problemática didáctica • Propuesta de solución en el marco de la Didáctica de las Matemáticas • Necesidad de un cambio de contrato didáctico

4. INTRODUCCIÓN (1) La dificultad de transmisión y de adquisición de los contenidos matemáticos por parte de los alumnos: • Una constante en el proceso de enseñanza, aprendizaje y estudio de las Matemáticas • Ha llevado a muchos profesores e investigadores, a buscar métodos y recursos didácticos de todo tipo • Generalmente fuera del dominio de las matemáticas, por ser precisamente éstas el origen del conflicto.

5. INTRODUCCIÓN (2) En TEORÍA de SITUACIONES, BROUSSEAU (1986): • Define la Didáctica de las Matemáticas(DM) como: “ciencia que estudia los fenómenos y las condiciones de re-creación y difusión de los conocimientos matemáticos” • Produce una metodología propia que conduce a los investigadores a buscar en la naturaleza matemática de los contenidos • La dificultad de este proceso de re-creación y difusión de los conocimientos matemáticos, • Así como sus posibles soluciones En esta charla: un ejemplo

6. INTRODUCCIÓN (3) Siguiendo la metodología de la TSD analizaremos: • Una dificultad intrínseca a la propia enseñanza de las matemáticas • La gestión del R.N. de los alumnos en la relación didáctica, identificándose como un problema de contrato didáctico. • Una solución del problema, mediante la ingeniería didáctica • Basada en la utilizaciónde la “clasificación”, no como objeto matemático de enseñanza, sino como instrumento de resolución del problema didáctico.

7. Antes de avanzar: ¡contextualizar! Viñetas proporcionadas por M. Villarreal, para ilustrar “fenómenos didácticos” la clase de DM (21-10-10) : ¡Gracias Mónica y gracias Quino!

8. Siguen los apuros de las maestras, con Libertad … Pero Libertad está encantada …, aunque al final … ¡se desencantó!!

9. Geometría y realidad: ¡una pesadilla para Manolito! Pero … ¿y para las maestras?

10. I): El RN en clase de Matemáticas Presentación y caracterización de una problemática didáctica

11. Algunas consideraciones sobre el RN en la relación didáctica • BALACHEFF (1988): "Razonamiento como actividad intelectual de manipulación de informaciones para producir nuevas informaciones" • En la relación didáctica: • Las informaciones son los conocimientos/saberes personales (privados, públicos, oficiales) y • Los sujetos que pueden movilizarlos son: el alumno individual, el grupo clase y el enseñante. • RN: como funcionamiento no-formal del R • Designa el razonamiento personal del niño, elaborado en su lógica personal • Interpretado por WERMUS (1976) a partir de la modelización del pensamiento natural, basada en los llamados "predicados amalgamados" con "componentes contextuales", diferentes de los predicados y de las proposiciones de la lógica formal.

12. Trabajos sobre el RN en TSD • Este mismo problema ha sido abordado en la TSD en otros dominios, en las tesis de: • M.H. SALIN y R. BERTHELOT(1992): En relación con la gestión de los conocimientos espaciales y el dominio del espacio, de los alumnos en la enseñanza de la geometría. • J. BRIAND (1993): Respecto a la gestión de la capacidad de enumerar los conjuntos y el aprendizaje de la numeración. • Continuamos la investigación de un acceso diferente de los niños a la lógica, en el marco de la TSD, trabajo ya comenzado por J.M. DIGNEAU (1980), J. PERES (1979-1985-1989), C. MAUDET (1982).

13. Otros trabajos sobre el RN • R. DUVAL (1993) • Pone de manifiesto una aceptación general de la existencia de un modo de R.N.: "la existencia de un modo de R.N., que no se deja ni describir ni evaluar según los criterios lógicos canónicos es en la actualidad admitida de forma general”. • Señala el papel que juega el lenguaje ordinario, como expresión de dicho R.N. (siguiendo los trabajos de WITTGENSTEIN y de la escuela de OXFORD : • PERELMAN Y TOULMIN (1958) • Identifican el RN con “argumentación” (que es una visión más restrictiva que la que WERMUS le asigna: la argumentación como uno de los rasgos del pensamiento natural). • L. VIENNOT (1979) • Pone de manifiesto la existencia de RN que llama “R espontáneos”, y estudia el papel que juegan estos R de los alumnos, en el aprendizaje de determinados conocimientos de dinámica elemental.

14. Funcionamiento del RN en la RD • Lo solicita (implícitamente) de los alumnos en sus aprendizajes personales • No lo puede aceptar como “producto” de un conocimiento matemático • Lo utiliza para “enseñar”: Metáforas, comparaciones ... • Controla “cuando” y “como” se utiliza en la clase. • El profesor • El alumno • Lo utiliza en todas sus actividades escolares: • para producir sus respuestas personales • para “comunicar” sus razonamientos o sus conocimientos • No puede distinguir cuando lo utiliza ni él, ni el profesor

15. Funcionamiento del RN en la RD • El RN es inherente a las Matemáticas en la RD • El RN es necesario, pero no suficiente, para la producción de razonamientos matemáticos • El profesor no puede ocuparse directamente del RN, no es su objeto de enseñanza, pero tampoco puede dejar que los errores se “instalen” como correctos, sin corregirlos Es necesario • Pero no es un objeto a “enseñar”

16. La gestión del RN en la enseñanza de las Matemáticas • El RN no tiene ningún estatus en la RD • Chevallard (1985): lo identifica con un conocimiento proto-matemático necesario para el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas • Brousseau, (1988): lo caracteriza como un obstáculo cultural el PN, que junto con el dominio del espacio y la capacidad de enumerar los conjuntos, son conocimientos que el alumno necesita para realizar su aprendizaje, pero que no le son enseñados. El RN es responsabilidad del alumno La gestión del RN plantea un problema de contrato didáctico El RN no puede ser ignorado por el profesor cuando aparece como obstáculo

17. Algunas definiciones de la TSD (I) Contrato didáctico:Establece lo que está bajo la responsabilidad de cada actor de la situación didáctica, profesor y alumno • No es un contrato pedagógico general, • Depende de los conocimientos (matemáticos) en juego • Se puede apreciar a través de las rupturas de contrato Ingeniería didáctica: permite diseñar las situaciones didácticas y desarrollar los conocimientos del alumno, siempre que dicha elección se apoye en la teoría didáctica. • Diferenciación: didáctico, a-didáctico • Basada en la elección de las condiciones: de las variables de las situaciones didácticas y de las a didáctica

18. Una posible solución del problema: modificar el contrato didáctico Si el RN no tiene ningún estatus en la RD El RN: un problema de contrato didáctico • Buscar una solución • Cambiar el contrato didáctico del RN Cambiar el contrato didáctico del RN Darle un estatus al RN en la RD

19. Necesidad de un cambio de contrato didáctico II) Propuesta de solución en DM En el marco de la TSD Propiciar un cambio de contrato didáctico

20. Modificar el contrato didáctico a través de la ingeniería didáctica Intervenir en la práctica de los profesores, a partir de la ingeniería didáctica (familia de situaciones, didácticas y a-didácticas): • Proponiendo tipos de lecciones (situaciones) que permitan intervenir en el sentido de las adquisiciones de los alumnos. • Haciendo que estas situaciones conduzcan a una negociación del "estatus" de los RN de los alumnos.

21. Algunas definiciones de la TSD (II) Situación a-didáctica (específica de un conocimiento C) es toda situación de aprendizaje • Que por sí misma (sin apelar a razones didácticas y en ausencia de toda indicación intencional) • Produce un cambio de estrategias en el jugador, a través de las variables (dejando inoperantes las estrategias espontáneas del jugador). Variable didáctica: son las variables de una situación a-didáctica • Establecidas a priori • Controladas y controlables por el enseñante • Para modificar las estrategias de juego de los alumnos • Permitiendo el aprendizaje del conocimiento matemático en juego en la situación a didáctica

22. La ingeniería didáctica y el RN Necesidad de un campo común para la lógica utilizada en matemáticas y el RN, utilizados por los alumnos y los profesores: • Para poder representar ambos conjuntamente • Que permita apreciar las diferencias • Permite darle un “estatus” en la clase al RN • Haciendo “aparecer” algunos aspectos del RN en la relación didáctica • Esbozando su modo de funcionamiento Vamos a modelizar el RN, con ayuda del funcionamiento de la agregación de datos, (Análisis Tipológico o Clasificatorio).

23. El análisis tipológico: un instrumento matemático • Todo tratamiento de la información: • Obliga a establecer categorías que reúnen los objetos o individuos que poseen rasgos o características comunes, oponiéndolos a los otros que no poseen esas características, o que tienen características diferentes. • El método del análisis tipológico: • Reagrupa los objetos ”fuertemente similares" entre ellos en un mismo grupo • Separa los objetos ”relativamente diferentes” en grupos diferentes • De modo que objetos pertenecientes a grupos diferentes, son suficientemente diferentes para no pertenecer al mismo grupo.

24. El análisis tipológico: un instrumento matemático • Todo análisis tipológico, como tratamiento de la información, comporta en general las cinco etapas siguientes: • Recogida de datos, consistente en describir cada uno de los objetos retenidos, con ayuda de varias características. • Cálculo de proximidades entre todos los pares de objetos con ayuda de un índice apropiado, teniendo en cuenta el conjunto de características de cada par. • Constitución de grupos. • Interpretación de los resultados, donde se describe cada uno de los grupos formados. • Validación de los resultados, donde se determina la calidad de la clasificación obtenida en relación con el problema planteado inicialmente.

25. 5 Etapas del Análisis Tipológico, Chandon & Pinson, 1977

26. El análisis tipológico: un modelo de la actividad clasificatoria • Clasificar objetos o individuos es una de las actividades fundamentales del ser humano: • reconocer objetos • designarlos por un nombre • reconocer sus atributos esenciales • diferenciarlos a partir de sus diversas características, etc. • Es el fundamento de la aprehensión y de la interpretación de la realidad y del lenguaje que nos permite comunicar esta comprensión • Es la iniciación a una metodología científica socialmente muy utilizada: botánica, zoología, mineralogía,…

27. La tabla de datos: instrumento de negociación del RN en la RD La tabla de datos binarios: • Campo común de representación, para la lógica (tablas de verdad)y el RN, utilizados por los alumnos y los enseñantes: • Permite apreciar las diferencias • Permite clasificar y comparar estas clasificaciones con otras clasificaciones ya existentes (botánicas, o clasificaciones jerárquicas elaboradas por programas estadísticos informáticos). Funciona como un objeto transicional (WINNICOTT, 1971): como "objeto intermediario entre la realidad interna propia del individuo y el medio exterior, un objeto que permite el paso a la objetividad."

28. La tabla de datos en“El Juego del viaje” Tabla elaborada por el Grupo de CM2A (11/12 años). Resultado de una de las experimentaciones realizadas en la Escuela “J. Michelet “ de Burdeos (Francia) Curso 88/89.

29. La tabla de datos, en la educación primaria Las situaciones de estudio que hemos utilizado, con alumnos de 11/12 años, en Francia, ilustran algunos de los usos más habituales de la agregación de datos: • La clasificación de plantas • La toma de decisión en función de los gustos y de las elecciones personales, la hemos abordado en dos aspectos: • El aspecto semántico con "El juego de la agencia de viajes." • El aspecto formal con "El juego de coalición" que simula los modos de toma de decisión en una sociedad democrática.

30. La tabla de datos en“El Juego del viaje” Ejemplos de funcionamiento de los diversos tipos de razonamiento (no coincidentes) • Operaciones Lógicas y cuantificadores (todos, “casi todos”,...) • Implicación: ¿C8  C7? , ¿C7  C8? • RN no verificaLey de Simplificación • “marchas en montaña”¬() “montaña” • “marchas en montaña” = P. Amalgamado • Clasificación: • Inscribirse en Viaje con los criterios C2,C3, C11, C12. • “Haber dicho que si a todos”: (C2  C3  C11  C12) • “Haber dicho que si al menos a tres de los criterios” • Partición (clases-conjuntos), de alumnos, en función de los criterios C2, C3, C11.

31. Árbol de clasificación del Juego del Viaje C2: ir a comp. deportivas ALUMNOS C3: jugar al tenis C2 No C2 C11: jugar al fútbol C3 No C3 C3 No C3 No C11 No C11 No C11 No C11 C11 C11 C11 C11 {Alumnos /No C2C3  C11} No Ir a comp. Deportivas Jugar al tenis Jugar al futbol TrabInv

32. Utilización en las situaciones didácticas: precisiones, límites (I) El conjunto de las situaciones didácticas propone hacer funcionar, a nivel de la acción, las tres primeras etapas del análisis tipológico La recolección de datos que describen los sujetos u objetos mediante varias características o criterios, y que se representan en una tabla de doble entrada (o matriz); El cálculo de proximidades (o distancias) entre los pares de sujetos (u objetos), teniendo en cuenta los criterios de cada par comparado; o de los criterios, en función de quien los verifique La construcción de grupos, si bien en cada una de las situaciones se dan ligeras variaciones, en las etapas a franquear.

33. Utilización en las situaciones didácticas: precisiones, límites (II) El conjunto de las situaciones didácticas también permite, a nivel de la acción, las dos últimas etapas del análisis tipológico • 4ª y 5ª etapas: representación interpretación y validación de las clasificaciones obtenidas • Proponiendo a los alumnos, para su reconocimiento e interpretación, clasificaciones ya existentes: • Un árbol de clasificación jerárquica realizado por el ordenador (utilizando un programa estadístico CHIC, basado en el indice de LERMAN) a partir de los mismos datos con que los alumnos habían manipulado en las etapas anteriores del juego. • Las clasificaciones botánicas de las plantas, de diversos textos y enciclopedia.

34. El análisis tipológico: un útil para la investigación en TSD (I) • El “Juego de la agencia de viajes” es la situación fundamental que modeliza en TSD, • Mediante la ingeniería didáctica • El diseño de la familia de situaciones didácticas y adidácticas propuestas • Basadas en el concepto matemático del Análisis Tipológico • El programa informático es utilizado, como un medio de ayuda en la decisión que deben tomar en el juego (validación de la clasificación): • Reconocer el árbol de clasificación resultado del programa • Aceptar o rechazar el resultado, en función de su adecuación a la situación planteada.

35. El análisis tipológico: un útil para la investigación en TSD (II) La "Clasificación de plantas“ • Origen de la investigación: salida al bosque, recolecta de plantas, y “voluntad” de clasificar las plantas • Se jugó primero el Juego del Viaje, para introducir el funcionamiento de la tabla y el sentido de la clasificación • De un problema de docencia a un problema de investigación: (salida al bosque, recolecta de plantas, y “voluntad” de clasificar las plantas) • Las etapas 1ª y 2ª: supuso un intenso trabajo en botánica, para redefinir los criterios de las plantas, y atribuirlos (o no) todos ellos, a todas y cada una de las plantas diferentes • Las etapas 4ª y 5ª, representación interpretación y validación de las clasificaciones obtenidas. Son propuestas a los alumnos para su reconocimiento y comparación, varios tipos de clasificaciones : las que los niños han hecho y dos clasificaciones botánicas ya existente

36. BIBLIOGRAFÍA: Lógica, Clasificación y Tratamiento de la Información 1. Investigación realizada, en enseñanza Primaria, (1986/1992) en l’Université de Bordeaux-I. Publicada por el I.R.E.M. de Bordeaux-I. Colección "Études en didactique des Mathématiques" • Dirigida por el profesor Guy BROUSSEAU • ORÚS P. (1986): “L'enseignement des méthodes de classification. Proposition d'une ingénierie pour le cours moyen". DEA • ORÚS P. (1992): “La place du raisonnement naturel des élèves dans la négociation didactique: rôle possible d'une initiation à l'analyse classificatoire dans la scolarité obligatoire”. Tesis Doctoral 2. Investigación realizada, en enseñanza Secundaria, en Castellón, España: • PITARCH I. (2002): “Estudio sobre la viabilidad y el interés didáctico del tratamiento de la información en la ESO”. DEA, Universidad Jaume-Castellón.

37. Trabajos sobre modelización de la PN: WERMUS (1976): Essai de représentation de certaines activités cognitives à l'aide des prédicats avec composantes contextuelles. Archives de Psychologie nº 171, Genève. WERMUS, H. (1977): Essai de développement d'une prélogique à partir des foncteurs partiels. Archives de Psychologie, nº 174, Genève. PIAGET et J. MONTANGERO: Contradictions issues des fausses symétries de l'inclusion. Recherches sur la contradiction. 2 Les relations entre afirmations et negations". (PUF, Paris) Sobre Análisis Tipológico: CHANDON, J.L, PINSON, S. (1981): Analyse typologique. Théories et applications. (MASSON, Paris) BIBLIOGRAFÍA

38. Trabajos sobre un acceso diferente de los niños a la lógica, en el marco de la TSD: DIGNEAU, J.M. (1980): Création d'un code à l'école maternelle, étude d'un saut informationnel. Memoire de D.E.A. Université de Bordeaux-I (IREM de Bordeaux). MAUDET, C. ( 1982): Les situations et les processus de l’apprentissage d’une notion logique. Thèse de 3ème. Cycle en Didactique des Mathématiques. Université de Bordeaux-I (IREM de Bordeaux) J. PERES (1979-1985-1989): Documentos del COREM y la escuela J. MIchelet BIBLIOGRAFÍA

39. Continua … TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN, LÓGICA Y ESTADISTICA en la Enseñanza Secundaria ObligatoriaAlgunos datos de Castellón, España

40. Estudio sobre la viabilidad y el interés didáctico del tratamiento de la información en la ESO. Trabajo de Investigación Tercer Ciclo. Presentado por : Irene Pitarch Andrés Dirigido por : Pilar Orús Báguena Departamento de Matemáticas Universitat Jaume I de Castellón Julio, 2002.

41. TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN, LÓGICA Y ESTADISTICA en la ESO (I) • Aprovechar las características del tratamiento de la información y el interés que suscita en distintos ámbitos de la sociedad actual • Análisis exploratorio de datos • Teoría matemática de la comunicación • Teoría de la información • Posibilidad de incorporar métodos deductivos • No habituales en el currículum • En los métodos estadísticos tradicionales del currículum de matemáticas de la ESO). Analizar el razonamiento de los alumnos de la ESO, utilizando simultáneamente: • tratamiento de la información (datos). • trabajo lógico (oper. lógicas / conjuntistas). • estadística descriptiva (elemental).

42. Cuestionario Q como una situación a-didáctica Específica de los conocimientos matemáticos de la situación: E. Descriptiva Tratamiento de datos A. Multivariante A. Tipológico T de Conjuntos Lógica C. de Predicados

43. El cuestionario Q: Presentación • El cuestionario Q consta de: • Consigna: instrucciones que se les entrega a los alumnos para presentarles la situación del trabajo, la tabla de datos y las preguntas que deben contestar. • Tabla de datos: matriz booleana (valores binarios, 0-1) de dimensión 15x20, que representa los datos de una encuesta con 15 preguntas contestada por 20 personas (sólo SI=1; NO=0). • Preguntas del cuestionario: éstas hacen referencia a los resultados de una encuesta, plasmados en la tabla de datos. • Tema de la encuesta adaptado a la ESO: • “Gustos sobre la música”: seleccionados de una encuesta realizada a 50 jóvenes entre 15 y 20 años.

44. La tabla de datos T de la encuesta de Q

45. Las preguntas de Q (1) Q1¿Al joven H le gusta el jazz? Q2.¿A cuántos jóvenes les gusta el flamenco? Q3.¿Cuántos tipos de música le gustan al joven Q? Q4. ¿Hay algún tipo de música elegida por todos los jóvenes? En caso afirmativo, indica cuáles: Q4.1. ¿Hay otras? En caso afirmativo, indica cuáles Q5.Los jóvenes entrevistados ¿prefieren la música heavy o la música ska? Q6. ¿Hay algún joven a quien le guste todos los tipos de música? En caso afirmativo, indica su nombre: Q7. ¿Existe alguna música más preferida que la música punk? Q7.1. Si hay alguna, indícala y razona tu respuesta. Q8.Los jóvenes H y O, ¿prefieren el mismo tipo de música? Q9.¿A qué porcentaje de los jóvenes entrevistados les gusta la música rap? Q10. Si consideramos - escoger la música máquina- como una variable estadística, ¿qué frecuencia absoluta dirías que tiene en esta distribución estadística? Q11. ¿Y qué frecuencia relativa tendría la variable estadística de la pregunta anterior?

46. Contesta, razonando todas tu respuesta: Q12.Los jóvenes R y N, ¿tienen el mismo gusto por la música? Porque Q13.¿Cuántas diferencias hay entre las respuestas de los jóvenes C y E? Porque Q14.Encuentra, si puedes, tres parejas de jóvenes a quienes les guste el mismo tipo de música. Q15.¿A cuántos jóvenes les gusta a la vez el flamenco y la música pop? Porque Q16.¿En cuántas respuestas de la encuesta están de acuerdo los jóvenes C y J? Q17.A todos los jóvenes que les gusta la música dance ¿también les gusta el hardcore? Q18.A todos los jóvenes que les gusta el hardcore ¿también les gusta la música dance? Porque Q19.¿A cuántos jóvenes no les gusta ni el flamenco ni el pop? Porque Q20.El joven I ¿a quien se aproxima más en su gusto musical, al joven F o al joven D? Q21.A los jóvenes entrevistados ¿les gusta más la música heavy, el jazz o el reggae? Porque? Las preguntas de Q (2) IP

47. ALGUNOS RESULTADOS DE LA EXPERIMENTACIÓN (CS-2000) • Lectura y tratamiento de T: éxito favorable, con aprox 97% • Recuentos, comparación de filas/columnas, explícitamente: • éxito superior al 73 % • disminuye al combinarlas con operaciones más complejas • Operaciones lógicas: • cuantificadores (, ): ~90% éxito ( más dificultades primer ciclo ESO). • conector disyunción: del 92% (2 variables) al 62% (3 variables) • conector conjunción y negación: 51% de éxito, más dificultad en 1r ciclo, confusión con las frecuencias/ coausencias/copresencias. • Implicación lógica: bajo porcentaje de éxito, sobretodo en 1r ciclo. • Conceptos elementales de estadística: frecuencias: • bajos resultados de éxito (inferior al 39%), destacando 1r ciclo de ESO • Tratamiento de diferencias/coincidencias de criterios: • mejor éxito en reconocimiento de identidad, baja cuando se exigen diferencias entre copresencias y coausencias.

48. Arbol de similaridad entre los jóvenes de la tabla T • Q14: Indices de correlación 1, entre los jóvenes H-O y B-L-P. • Son columnas idénticas: estos jóvenes tienen los mismos gustos musicales entre ellos. Forman clases significativas de agregación. • En Q16: Mejor correlación entre C-J que entre H-I • Mejor nivel de agregación en el árbol (2 copresencias y 8 coausencias).