Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Trigonometria

1. Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Trigonometria

2. O ARCOS e ÂNGULOS • Introdução B Arco AB A Ângulo central Equivalência:  rd = 180o

3. 2. Arcos côngruos • São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade. • A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2. • Forma geral: B A x =  + 2k

4. 3. Circunferência trigonométrica y B P + 1 A’ A O x 1 - B’

5. 4. Seno e Cosseno y B sen  P N  A’ A O x M cos  B’

6. 4. Seno e Cosseno y B 1 • Seno: • marcado no eixo Y • varia de –1 até 1  -1  sen  1 • sinal do seno: A’ A O x -1 B’

7. 4. Seno e Cosseno y B • Cosseno: • marcado no eixo X • varia de –1 até 1  -1  cos  1 • sinal do cosseno: A’ A -1 1 O x B’

8. 5. Tangente y t t // y B M P tg   A’ A O x B’

9. 5. Tangente Sinal y B A’ A O x B’

10. y /2 a x  0 O x 2 3/2 6. Redução ao 1º quadrante a) 2o quadrante a = ( - x) • sen ( - x) = sen x • cos ( - x) = - cos x • tg ( - x) = - tg x

11. y /2 a x  0 O x 2 3/2 6. Redução ao 1º quadrante b) 3o quadrante a = ( + x) • sen ( + x) = - sen x • cos ( + x) = - cos x • tg ( + x) = tg x

12. y /2 x  0 O x 2 a 3/2 6. Redução ao 1º quadrante c) 4o quadrante a = (2 - x) • sen (2 - x) = - sen x • cos (2 - x) = cos x • tg (2 - x) = - tg x

13. y x /2 y  0 x O x 2 3/2 7. Relações entre arcos complementares y = /2 - x sen x = cos y sen y = cos x

14. sen x II. tg x = cos x 1 cos x III. cotg x = = tg x sen x 8. Relações fundamentais I. sen2 x + cos2x = 1

15. 1 IV. sec x = cos x 1 V. csc x = sen x 8. Relações fundamentais continuação... VI. sec2x = 1 + tg2x VII. csc2x = 1 + cotg2x

16. - sec x csc x = y - 1 cot g x 9. Aplicações práticas 1. Sabendo-se que cos x = ½ , determine o valor de 2. Se x é um arco do 1º quadrante e tg x = 2, calcule o valor de A = sen x + cos x . 3. Demonstrar a identidade tg x + cotg x = tg x . csc2x

17. 10. Soma e diferença de arcos a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a

18. tg a + tg b e) tg(a + b) = - 1 tg a.tg b tg a - tg b f) = tg(a - b) 1 + tg a.tg b 10. Soma e diferença de arcos

19. 2.tg x c) tg(2a) = 2 - 1 tg2 x 11. Arcos duplos a) cos(2a) = cos2a – sen2a b) sen(2a) = 2.sen a.cos a

20. + x 1 cosx = ± a) cos 2 2 x 1 - cosx = ± b) sen 2 2 x 1 - cosx = ± c) tg + 2 1 cosx 12. Arcos metade

21. + - p q p q + = a) senp senq 2sen .cos 2 2 + p - q p q = b) senp - senq 2sen .cos 2 2 + - p q p q + = c) cosp cosq 2cos .cos 2 2 + - p q p q - = - d) cosp cosq 2sen .sen 2 2 13. Transformação de soma em produto

22. a) sen x = a ; • sen x = sen y • x = y + 2k • sen x = sen ( - y) • x = ( - y) + 2k 14. Equações trigonométricas y /2 a  0 y O x 2 3/2

23. 1 a) sen x = 2 3 b) sen (2x - ) = - 2 14. Equações trigonométricas ex. Resolva as equações:

24. b) cos x = a ; - £ £ 1 a 1 • cos x = cos y • x = y + 2k • cos x = cos (2 - y) • x = - y + 2k 14. Equações trigonométricas y /2  0 y a O x 2 3/2

25. 2 a) cos x = 2 14. Equações trigonométricas ex. Resolva as equações: b) cos 2x = 0

26. c) tg x = b ; b  IR • tg x = tg y • x = y + k 14. Equações trigonométricas t y /2 b y  0 O x 2 3/2

27. a) tg 3x = 14. Equações trigonométricas ex. Resolva as equações: b) tg (2x - ) = 1

28. d) Outras equações: 14. Equações trigonométricas 1) sen2x + 4cos x = - 4 2) cos (2x) + cos x = 0 3) 2sec x = cotg x + tg x ; x [ 0 , 2] 4) tg2x - 3tg x + 2 = 0 ; x [ 0 , /4 ] 5) 1 + cos x + cos(2x) = 0 ; x [- , ]

29. 15. Funções trigonométricas a) Função seno : f : IR  IR f(x) = sen x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.  x  IR  -1  sen x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]

30.  3 - 2  2 2 15. Funções trigonométricas a) gráfico : y - - - x  0 2 -

31. A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2 radianos. • Se f(x) = a + b.sen(cx + d)  período de f = p 2 c 15. Funções trigonométricas a) Função seno : Periodicidade : sen x = sen ( x + 2) Paridade : sen x = - sen (- x) • A função y = sen x é ímpar.

32. 15. Funções trigonométricas b) Função cosseno : f : IR  IR f(x) = cos x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.  x  IR  -1  cos x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]

33.  3 - 2  2 2 15. Funções trigonométricas b) gráfico : y - - - x  0 2 -

34. A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2 radianos. • Se f(x) = a + b. cos(cx + d)  período de f = p 2 c 15. Funções trigonométricas b) Função cosseno : Periodicidade : cos x = cos ( x + 2) Paridade : cos x = cos (- x) • A função y = cos x é par.

35. 15. Funções trigonométricas ex. Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais positivos, uma função periódica de período 3/ 2. • Determine c. b) Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3 , 5 ], determine a e b. c) Determine os valores de x onde f assume o seu valor máximo.

36. 15. Funções trigonométricas c) Função tangente : f : D  IR f(x) = tg x D = { x  IR / x  / 2 + k  } A função associa cada arco x, x  / 2 + k , da circunferência trigonométrica a um número real y = tg x. Im(f) = IR

37.  3 - 2  2 2 15. Funções trigonométricas c) gráfico : y - - x  0 2

38. A função y = tg x é periódica e tem período igual a  radianos. • Se f(x) = a + b. tg(cx + d)  período de f = p c 15. Funções trigonométricas c) Função tangente : Periodicidade : tg x = tg ( x + ) Paridade : tg x = - tg (- x) • A função y = tg x é ímpar.

39. 15. Funções trigonométricas ex. Determine o domínio e o período da função f(x) = tg (4x).