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从最速降线问题谈起

从最速降线问题谈起. From the Problem of Brachistochrone. 方啸 物理科学学院. A. v 1. B. 最速降线问题 the Problem of Brachistochrone. 问题阐述 一个粒子仅在重力作用下由 A 点下降到 B ，那么沿着什么样的轨道用时最短？. 提要. 问题的阐述 问题的探索 问题的反思 问题的拓展. 圆弧！. A. B. 问题的探索. 1638 年，伽利略提到过这个问题. 问题的探索. 1696 年， Johann Bernoulli 首先正式提出了这个问题.

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从最速降线问题谈起

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Presentation Transcript

  1. 从最速降线问题谈起 From the Problem of Brachistochrone 方啸 物理科学学院

  2. A v1 B 最速降线问题 the Problem of Brachistochrone • 问题阐述 • 一个粒子仅在重力作用下由A点下降到B，那么沿着什么样的轨道用时最短？

  3. 提要 • 问题的阐述 • 问题的探索 • 问题的反思 • 问题的拓展

  4. 圆弧！ A B 问题的探索 1638年，伽利略提到过这个问题

  5. 问题的探索 • 1696年，Johann Bernoulli首先正式提出了这个问题

  6. 牛顿 莱布尼兹 罗比达 雅克比·伯努利 微积分方法 问题的探索

  7. v1 问题的探索 • 设曲线有y=y(x)的形式，P在A点初速度v1。 即求函数y(x)使得t[y(x)]取得最小值！

  8. 问题的解答 • 一般问题 • Euler-Lagrange方程： • 证明： • I的变分 • I取极值即I的变分为0： • 故有： 证毕。

  9. 问题的解答 • 一般问题 • Euler-Lagrange方程： • 如果 • 则： • 即 • 故：

  10. 问题的解答 • 对于此问题， • 可以解出曲线满足下述形式： • a,b均为积分常数

  11. 问题的解答 • 这是一种摆线：旋轮线

  12. 问题的解答

  13. 问题的反思 • 一类新的极值问题：一个函数的函数的极值问题 • 微积分：求y=x3-3x2的极值，求导dy/dx=0 • 对函数的函数可以求导？

  14. Euler Lagrange 问题的反思 • 欧拉和拉格朗日找到了此类问题的普遍解法，开辟了变分法的研究。

  15. 微积分 泛函分析 函数 以数为变量 泛函 以函数为变量 推广 微分 变分 问题的反思 极值条件：δt=0

  16. B A P M A’ 问题的拓展 • 几何光学的基本原理：费马原理 • 两点之间的光沿着所需时间为极值的路径传播。

  17. Thank you!

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