Logika

1. Logika Érettségi követelmények: A logika alapvető műveleteinek alkalmazása mindennapi problémák megoldásában. Állítások és tagadásuk megfogalmazása, azok igaz, hamis voltának eldöntése Az “és” ill. a “vagy” műveletek alkalmazása. Egyszerű következtetések, állítások és megfordításuk megfogalmazása. A definíció és a tétel különbözősége.

2. A logika tárgya, története A logika tárgya a helyes emberi gondolkodás fogalmainak, törvényszerűségeinek vizsgálata. • Antik kor - tradicionális logika (Arisztotelész, sztoikusok) • Középkor - skolasztikus logika • Újkor - a modern szimbolikus logika vagy formális logika (Bacon, Leibniz, Boole, Frege, Peano, Russell), • Huszadik század - általánosító elméletek (modális logika, intuicionizmus, fuzzy logikák, kvantumlogika, bizonyításelmélet; Tarski, Gödel). • Axiómák: nem bizonyítandó alapfeltevések (például „az egyenes szakasz végtelenül meghosszabbítható”). • Alapfogalmak(pont, egyenes); • Definíciók (például háromszög); • Tételek:a definiált fogalmak tulajdonságait írják le; • Sejtés: tétel, bizonyítás nélkül.

3. A kijelentés • Egyszerű kijelentések (nincs logikai művelet) • Süt a nap. • Kati Zalában született. • Minden ember halandó. • Van gyűrűs bolygó a Naprendszerben. • Összetett kijelentések (ítéletek):szerepelnek bennük logikai műveletek • Esik az eső és fúj a szél. • Kovács vagy Mészáros lőtt. • Paradoxonok: feloldhatatlan ellentmondást tartalmazó mondatok vagy szövegek. • Ez a mondat nem igaz.

4. Tagadás (negáció) NEM IGAZ, HOGY… Süt a nap. Nem süt a nap. Az autó fehér. Az autó nem fehér. Piroska sétál az erdőben. Piroska nem sétál az erdőben. A gyerekek szeretik a csokit. A gyerekek nem szeretik a csokit.

5. Konjunkció (ÉS) Kint esik az eső és fúj a szél. • A magyar nyelv ezt a kapcsolatot többféleképpen is kifejezheti: • Esik is, és fúj is. • Esik, de fúj is. • Esik, ugyanakkor fúj is.

6. ÉS 2 5 5.1 mintapélda Milyen számokra teljesülnek a következő egyenlőtlenségek együtt: 2x – 4  0 és x – 5  0? A kettő feltételnek egyszerre kell teljesülnie, azaz 5  x.

7. Diszjunkció (VAGY) A szemtanú mondja: az autó piros volt, vagy Suzuki.

8. Milyen számokra teljesül, hogy ? 6.1 mintapélda I. • lépés: zérushelyek (előjelváltások) meghatározása: • x – 4 zérushelye x = 4, ott vált előjelet. • 5 – x zérushelye x = 5, ott vált előjelet. 2. lépés: számegyenes készítése az intervallum végekkel és a számláló-nevező előjeleivel.

9. 6.1 mintapélda II. 3. lépés: leolvassuk, hogy milyen intervallumokon eltérő a számláló és a nevező. és kész a megoldás: x ≤ 4 vagy x > 5, intervallum jelöléssel: ]- ; 4 ]  ]5; [

10. 7.1 mintapélda Milyen feltételek mellett hamis a következő kijelentés: „esik az eső és fúj a szél” ? Megoldás: Az ÉS egyidejűséget fejez ki, ezért a megoldás: vagy nem esik az eső, vagy nem fúj a szél, vagy egyik sem. • Megjegyzés: • A fenti kijelentés tagadását kétféleképpen is felírhatjuk: • Nem igaz, hogy esik az eső és fúj a szél. • Nem esik az eső, vagy nem fúj a szél.

11. 7.2 mintapélda Mikor nem teljesül x-re, hogy 3  x < 5 ? A számegyenesről leolvasható, hogy x < 3, vagy x ≥ 5.

12. Igazságtáblák*, 7.3 mintapélda* 7.3 Mi lesz a logikai értéke a következő logikai kifejezésnek: (2  5) ÉS (4  5) VAGY (3  4) Megoldás: (2  5) ÉS (4  5) VAGY (3  4) = igaz ÉS igaz VAGY hamis = = igaz VAGY hamis = igaz

13. 7.4 mintapélda* A=igaz, B=hamis, C=hamis, D=igaz esetén mi lesz a logikai értéke az alábbi kifejezések: (A ÉS NEM B) VAGY NEM (NEM C ÉS D) ? Megoldás: kiértékeléssel (A ÉS NEM B) VAGY NEM (NEM C ÉS D) = = (igaz ÉS NEM hamis) VAGY NEM (NEM hamis ÉS igaz) = = (igaz ÉS igaz) VAGY NEM (igaz ÉS igaz) = = igaz VAGY NEM igaz = = igaz VAGY hamis = = IGAZ. Vagyis a kifejezés értéke IGAZ.

14. 7.5 mintapélda Minek a tagadása a következő mondat: Ma hétfő van, és nincs nyitva a bolt. Megoldás: Formálisan így fogható fel a mondat: A és B. Ez NEM A VAGY NEM B típusú mondat tagadása, vagyis az eredeti mondat így hangzott: Ma nem hétfő van, vagy nyitva van a bolt.

15. 7.5 mintapélda Írd fel a következő kifejezés igazságtáblázatát: NEM A VAGY (A ÉS NEM B) Megoldás:

16. Összefoglalás • Tekintsük át, miről volt szó ebben a modulban: • megtanultuk, hogy mi az a kijelentés, mik a logikai értékek; • pontosítottuk a tagadásról szóló ismereteinket; • összekapcsoltunk ÉS-sel és VAGY-gyal kijelentéseket, hogy új kijelentést kapjunk; • megvizsgáltuk, hogy milyen feladatoknál használható a konjunkció és a diszjunkció; • megtanultuk tagadni is ezeket.