Operations Research

1. Operations Research Sonderfälle der Simplexmethode

2. LO-Aufgabe mit unbeschränkten Zielwert • Gegeben sei folgende LO-Aufgabe: • I Z = 2X1 + X2  max • II -X1 + 2X2 12 X1 – 4X2 4 -X1 + X2 2 • III X1, X2 0

3. LO-Aufgabe mit unbeschränkten Zielwert • Nach dem Einfügen der drei Schlupfvariablen ergibt sich folgendes Starttableau:

4. LO-Aufgabe mit unbeschränkten Zielwert • Und folgendes Endtableau: negativer Zielkoeffizient • Dies führt zu folgendem allg. Lehrsatz: • Steht über einem negativen Zielkoeffizienten kein positiver Koeffizient, so gibt es zulässige Lösungen, aber keinen maximalen Zielwert.

5. LO-Aufgabe mit unbeschränkten Zielwert • Grafisch betrachtet entsteht ein offener Zielbereich:

6. Minimierungsaufgaben • Zu jeder Maximierungsaufgabe gibt es eine entsprechende Minimierungsaufgabe. Die Lösungen sind ident, nur in ihrem Vorzeichen verschieden. Nebenbedingungen bleiben gleich!

7. Minimierungsaufgaben • Beispiel: Starttableau 2. Simplextableau Endtableau

8. Mehrfachlösungen • Weist eine Nichtbasisvariable den Wert Null auf, gibt es weitere optimale Lösungen. Bsp.: Starttableau 1. Endtableau Basis X2 weist den Wert Null auf, steht aber nicht in der Basis.

9. Mehrfachlösungen • Wird trotz aller positiver Zielkoeffizienten nach X2 weiteriteriert, kommt man zu einem weitern 2. identen Ergebnis. Probe durch Einsetzen in die Zielfunktion: Da Y2 als Nichtbasisvariable wieder den Wert Null aufweist kommt man durch weiteriterieren (Y2 als Pivotspalte) zu einem nächsten optimalen Ergebnis mit dem Wert Z = 4.

10. Zusammenfassende Fragen: • Woran erkennt man eine Basisvariable, woran eine Nichtbasisvariable? • Setzen Sie beide Ergebnisse aus dem Unterkapitel Mehrfachlösungen in die Zielfunktion • ein und überprüfen Sie die Lösungen.

11. Auflösung: Z = X1-X2 = 6-2 = 4 Z = X1-X2 = 7-3 = 4

12. Auflösung: • Grafische Darstellung: X1

13. Dualität der linearen Optimierung Zu jeder Maximierungsaufgabe gibt es eine entsprechende Minimierungsaufgabe! • Ist die ursprüngliche LO-Aufgabe lösbar, dann ist auch die entsprechende duale Aufgabe lösbar. • Die Zielwerte der beiden Aufgaben stimmen in diesen Fällen überein. • Die ursprüngliche Maximierungsaufgabe wird primale Aufgabe genannt. • Die zugehörige Minimierungsaufgabe, wird duale Aufgabe genannt.

14. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • (I) Z=X1 - X2 - 2X3  max • (II) +X1 + X2 - X3 >= 16 • 2X1 + X2 + X3 <= 30 • X1 +X3 >= 10 • (III) X1, X2, X3 >= 0 Vor der Formulierung der dualen Aufgabe werden alle Restriktionen durch Multiplikation mit (-1) zu Bedingungen umgewandelt. • (II) -X1 - X2 + X3 -16 • 2X1 + X2 +X3 30 • -X1 - X3 -10

15. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • Die umformulierte LO-Aufgabe wird in ein abgekürztes Schema geschrieben und anschließend in eine Minimierungsaufgabe umgewandelt:

16. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • Die Umformung in eine Minimierungsaufgabe erfolgt durch Tausch der Zielzeile mit der rechten Seite. Anschließend werden die zentralen Variablen spaltenweise transponiert:

17. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • Wieder mit (-1) multiplizieren um nur Bedingungen und die max-Form zu haben. Duale Aufgabe: Anschließend wird die Starttableau erstellt:

18. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • Da die rechte Seite neg. ist, weist der tiefste Wert auf die Pivotzeile: Zielzeile (F) Pivotzeile 30/-2=15 Berechnung der Quote: Niedrigste Wert weist auf die Pivotspalte.

19. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • Nach weiteren Iterationen ergibt sich folgendes Endtableau:

20. Übungsbeispiel 1 • Gegeben sei folgende LO-Aufgabe: • A.)Lösen Sie diese Aufgabe grafisch und schraffieren Sie den Bereich der zulässigen Lösungen.

21. Lösung 1 Z=5x1 + 4x2 = 5 x 2 + 4 x 2 = 18

22. Übungsbeispiel 2 • Gegeben sei folgende LO-Aufgabe: • A.)Lösen Sie diese Aufgabe grafisch und schraffieren Sie den Bereich der zulässigen Lösungen. • Zeichnen Sie den Vertreter der Zielgeradenschar ein und benennen Sie ihn mit a.

23. Lösung 2A

24. Übungsbeispiel 2b • B.) Benennen Sie in der Zeichnung die Eckpunkte mit A, B, … und geben Sie die entsprechenden Koordinaten an. • Wie lautet die Optimallösung und der maximale Zielwert.

25. Lösung B

26. Übungsbeispiel 2c • C.) Wie lautet Ihre Lösung falls die Zielfunktion Z = x1-x2max lautet? • Tragen Sie in Ihr Diagramm einen Vertreter der neuen Zielgeradenschar ein und benennen Sie Ihn mit dem Buchstaben b.

27. Lösung C Für Z=0 (Vertreter der Geradenschar)x1=x2 Alle Punkte der Strecke BC führen zum maximalen Z (C)Somit ergibt sich Zmax=7-3=4 (B) Zmax=6-2=4

28. Übungsbeispiel 2d • D.)Wie verändert sich die Lösbarkeit wenn Sie die Restriktion x1 + x2 <= 10 unter (II) weglassen?

29. Lösung D • D.)Es existieren Lösungen, aber keine mit einem maximalen Ziel. Durch den Wegfall der Geraden CD ist der Zielraum offen.

30. Übungsbeispiel 2e • E.)Formulieren Sie die duale Aufgabe unter Verwendung der zugehörigen echten Variablen.

31. Lösung E • E.) Umwandeln zu <= und spaltenweises transponieren: