1 / 46

BAB III

BAB III. FUNGSI. Definisi. Fungsi didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa setiap satu anggota himpunan D berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan K ( lihat Gambar 3.1). K. K. D. D. . . (a). (b). Gambar 3.1.

brooklyn
Download Presentation

BAB III

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB III • FUNGSI

  2. Definisi Fungsididefinisikansebagaiaturanyang menetapkanbahwasetiapsatuanggotahimpunan D berpasangandengantepatsatuanggotahimpunan K (lihatGambar 3.1) K K D D   (a) (b) Gambar 3.1

  3. Anggota-anggotahimpunan D yang mempunyaitepatsatupasanganpadahimpunan K disebutdaerahdefinisiataudaerahasal (domain). Anggota-anggotapadahimpunan K yang merupakanpasangananggota-anggotahimpunan D disebutdaerahnilai (range). Sedangkansemuaanggotahimpunan K baik yang merupakanpasangandarianggotahimpunan D maupun yang bukandisebutkodomain. Kesimpulan Jadifungsisamasepertisebuahproses yang menghasilkantepatsatukeluaranuntuksetiapmasukantertentu.

  4. Jikaterdapatsuatuhubungan yang tidakmemenuhidefinisi Sepertitersebutdiatasmakahubungantersebutbukansuatu fungsitetapidisebutrelasi (lihatGambar 3.2). Sedangkanrelasidapatdimisalkansepertisebuahproses yang menghasilkanduakeluaranuntuksetiapmasukantertentu. K D  Gambar 3.2

  5. 3.2. Jenis-jenisfungsi • Secaragarisbesarfungsidapatdikelompokkanmenjadiduabagianutama, yaitufungsirildanfungsikompleks. Pembahasanmengenaifungsipadamaterikuliahinihanyamencakupfungsirilsaja. • 3.2.1 Menurutjumlahpeubahbebas • 3.2.1.1 Fungsipeubahbebastunggal • Fungsipeubahbebastunggaladalahfungsi yang hanyamempunyaisatupeubahbebas. Contoh 3.1 a) y = 2x + 3 b) y = x2 c) y = sin x d) x2 + y2 =r2

  6. 3.2.1.2 Fungsipeubahbebasbanyak • Fungsipeubahbebasbanyakadalahfungsi yang mempunyailebihdarisatupeubahbebas. Contoh 3.2 a) w = xy b) u = sin (x+y) c) v = cosxy d) t = xy+ z

  7. 3.2.2 Menurutcarapenyajiannya • 3.2.2.1 Fungsieksplisit • Fungsieksplisitadalahfungsidimanapeubahbebasnyaditulisataudisajikanpadaruastersendiri; terpisahdaripeubahtakbebasnya. b) y =x2–1 Contoh 3.3 a) y = x – 5 c) y = sin x d) y = (x-1)2 • Secaraumumfungsiekplisitditulisdalambentuk y = f(x)

  8. 3.2.2.2 Fungsiimplisit • Fungsiimplisitadalahfungsidimanapeubahbebasdantakbebasnyaditulispadaruas yang sama. • Contoh 3.4 • a) x + y = 0 • b) x2 + y2 = r2 Secaraumumfungsiimplisitditulisdalambentuk F(x,y) = 0

  9. 3.2.2.3 Fungsi parameter • Bentukumumdarifungsi parameter adalah: • x = f(t) ; y = g(t) ; t adalah parameter. Contoh 3.5 x = t2 – 1 y = t + 2 • Jikakitatinjaudarioperasi yang dilakukanterhadappeubahbebasnya, makafungsirildapatdibagiseperti yang ditunjukkanpadaGambar 3.3 berikut.

  10. FUNGSI RIL Fungsi Aljabar Transenden Rasional Irrasional Pecah Bulat Logaritma Hiperbolik Invers Trigonometri Invers Eksponen Trigonometri Hiperbolik

  11. 3.2.3 Fungsialjabar • Fungsialjabaradalahfungsi yang mengandungsejumlahoperasialjabaryaituoperasipenjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagiandanoperasipangkarrasional. Fungsialjabardapatdibagimenjadifungsirasionaldanirrasional. Selanjutnyafungsirasionaldapatdibagimenjadifungsibulatdanfungsipecah. • 3.2.3.1 Fungsirasional • Fungsirasionaladalahfungsi yang mempunyaibentuk P(x)/Q(x) dengan R(x) dan Q(x) adalahpolinomial-polinomialdan Q(x)  0. Selanjutnyajika Q(x) konstanmakafungsirasionaldisebutjugafungsipecah. Sedangkanjika Q(x) = konstanmakafungsirasionaldisebutfungsibulat.

  12. A. Fungsibulat Fungsibulatadalahsuatufungsirasionaldengan Q(x) = konstan. Sehinggafungsibulatdapatdisebutfungsipolinomialkarenabentuknyasamasepertibentukpolinomial. Suatufungsi yang mempunyaibentuk f(x) = anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1x + a0 (3.1) disebutfungsipolinomialderajad n. Koeffisien-koeffisien an, an-1, an-2,…,, a1, a0adalahbilangan-bilanganril, sedangkan masing-masingsukunyadisebut monomial. Pangkat n pada fungsipolionomialadalahbilanganbulattaknegatif.

  13. Fungsipolinomialdapatdikelompokkanmenurutjumlahsuku danmenurutderajatnya. • Berikutdiberikanbeberapacontohfungsi-fungsipolinomial.

  14. Fungsipolinomialdapatdikelompokkanmenurutjumlahsuku danmenurutderajatnya. • Berikutdiberikanbeberapacontohfungsi-fungsipolinomial.

  15. Fungsipolinomialdapatdikelompokkanmenurutjumlahsuku danmenurutderajatnya. • Berikutdiberikanbeberapacontohfungsi-fungsipolinomial.

  16. Fungsipolinomialdapatdikelompokkanmenurutjumlahsuku danmenurutderajatnya. • Berikutdiberikanbeberapacontohfungsi-fungsipolinomial.

  17. Fungsipolinomialdapatdikelompokkanmenurutjumlahsuku danmenurutderajatnya. • Berikutdiberikanbeberapacontohfungsi-fungsipolinomial.

  18. Fungsipolinomialdapatdikelompokkanmenurutjumlahsuku danmenurutderajatnya. • Berikutdiberikanbeberapacontohfungsi-fungsipolinomial.

  19. a. Penjumlahandanpenguranganfungsipolinomial Untukmelakukanoperasipenjumlahandanpengurangandari fungsipolinomiallangkah-langkah yang haruskitalakukan adalahmengelompokkansuku-suku yang mempunyaifaktor/ faktor-faktorpeubah yang sama. • Sebagaicontohsuku-suku 3xy dan -2xy adalahduafaktor yang samasehinggapadakeduasukutersebutdapatdilakukanoperasipenjumlahandan/ataupengurangan. Contoh lain dapatdilihatpadatabelberikut :

  20. Contoh 3.6 Tentukanjumlahdanselisihdarifungsi-fungsi, –2x2+ 5x + 7xy dan –3x3 –4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2 Penyelesaian Penjumlahan (–2x2+ 5x + 7xy ) + (–3x3 –4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2) = –2x2+ 5x + 7xy – 3x3 –4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2 = – 3x3 –2x2 –4x2– 3x2 y + 5x + x + 7xy +3xy – 2 = – 3x3 –6x2 + 6x – 3x2 y + 10xy – 2

  21. Pengurangan (–2x2+ 5x + 7xy ) – (–3x3 –4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2) = –2x2+ 5x + 7xy + 3x3 +4x2 – x + 3x2 y – 3xy + 2 = 3x3 –2x2 +4x2 + 3x2 y + 5x – x + 7xy – 3xy + 2 = 3x3 +2x2 + 4x + 3x2 y + 4xy + 2 b. Perkalian monomial • Untukmelakukanoperasiperkalianfungsi monomial berikutdiberikanbeberapahukum yang berlakuyaitu : • Hukum I : am . an = am+n ( 3.2 )

  22. Contoh 3.7 Selesaikanperkalian : 52.53 ; xa .xb ; xy2 .x3y Penyelesaian : 52.53 = 52+3 = 55 = 3125 xa.xb = xa+b xy2 .x3y = x.x3.y2 .y = x4 .y3 • Hukum II : [am]n= amn ( 3.3 ) • Contoh 3.8 • Selesaikan : [42]3dan [x3]4 • Penyelesaian : • [42 ]3 = 46 =4096 • [x3 ]4 = x12

  23. Hukum III : [ambn]k= amk.bnk ( 3.4 ) • Contoh 3.9 Selesaikan : [{7}{52}]3dan [x3y2]2 Penyelesaian : [{7}{52}]3 = 73 5 6 = 5359375 [x3y2]2 = x6 y4 • c. Perkalianfungsipolinomial • Prosesperkalianduafungsipolinomialdapatdilakukan • denganmengalikanmasing-masingmonomialnyadengan • bantuanhukumdistributif. Contoh 3.10 Selesaikanperkalian : 2x(x2 -5x+6) Penyelesaian : 2x(x2 -5x+6) = 2x3 -10x2 +12x

  24. Contoh 3.11 Selesaikanperkalian : (3x+2)(x2 -3x+2) Penyelesaian (3x+2)(x2 –3x+2) = 3x3 – 9x2 +6x+2x2 – 6x+4=3x3 –7x2 +4 • d. Perkalianistimewapolinomial Duabuahpolinomialdisebut binomial-binomial konjugatjika salahsatudari binomial tersebutmerupakanpenjumlahan, sedangkan yang lainnyamerupakanpengurangandariduabuah monomial. Sebagaicontoh (axm+byn) dan (axm–byn) adalah binomial-binomial konjugat (axm+byn)(axm– byn) = (axm)2 – (by)2 (3.5) • Contoh 3.12 Selesaikanperkalian (5x2+6) (5x2-6) Penyelesaian : (5x2+6) (5x2–6) = (5x2)2 –(6)2 = 25x4 –36

  25. e. Pemfaktoranpolinomial Memfaktorkanpolinomialberartimenulispolinomialmenjadi bentukperkalianantaraduapolinomialataulebih. Langkah- langkah yang harusdilakukanadalahsebagaiberikut, Tentukanfaktor yang samadarimasing-masing monomial dan selanjutnyakeluarkandarikelompoknya. • Sebagaicontohdapatdilihatpadatabelberikut.

  26. e. Pemfaktoranpolinomial Memfaktorkanpolinomialberartimenulispolinomialmenjadi bentukperkalianantaraduapolinomialataulebih. Langkah- langkah yang harusdilakukanadalahsebagaiberikut, Tentukanfaktor yang samadarimasing-masing monomial dan selanjutnyakeluarkandarikelompoknya. • Sebagaicontohdapatdilihatpadatabelberikut.

  27. e. Pemfaktoranpolinomial Memfaktorkanpolinomialberartimenulispolinomialmenjadi bentukperkalianantaraduapolinomialataulebih. Langkah- langkah yang harusdilakukanadalahsebagaiberikut, Tentukanfaktor yang samadarimasing-masing monomial dan selanjutnyakeluarkandarikelompoknya. • Sebagaicontohdapatdilihatpadatabelberikut.

  28. f. Pembagian monomial Pembagianduabuah monomial dapatdilakukandengan mengikutihukum-hukumberikutini. xm xn Hukum IV = xmx–n =xm – n (3.6) m (3.7) x y xm ym Hukum V = Hukum VI ( Pangkatnol) a0=1 ; a  0 (3.8) 1 am = a–m (3.9) Hukum VII

  29. Contoh 3.13 Sederhanakanfungsi Penyelesaian = x–12 y–8 y8 x12 –4 –4 = x3 y2 x3 y2 • g. Fungsikonstan Padacontohterdahulutelahdijelaskanbahwafungsipolinomial yang mempunyaiderajadnoldisebutfungsikonstandandapat ditulisdalambentuk y = f(x) = a0atau y = konstan ( 3.10 ) GrafikfungsikonstandapatdilihatpadaGambar 3.4 berikut.

  30. y y = a0 ; a0 > 0 x O y = a0 ; a0 < 0 Gambar 3.4 Grafikfungsikonstan

  31. h. Fungsi linier Fungsi linier adalahfungsipolinomial yang derajadsatu. Fungsi linier disebutjugapersamaangarisdanditulisdalambentuk : y = a1 x +a0 atau y = mx + n (3.11) Pers. 3.11 adalah pers. garis yang memotongsumbu x pada saat y = 0 danmemotongsumbu y padasaat x = 0. • Perhatikan pers. 3.11. Jika x = 0 maka y = n danjika y = 0 • maka x = - n/m. Jadidapatdisimpulkanbahwa pers. 3.11 • menunjukkansebuahgaris yang melaluititik-titik • (0,n) dan (-n/m,0). • Biasanyapersamaan 3.11 disebut pers. “Perpotongan-KemiringansebuahGaris (Slope-Intercept • Equation of a Line)”.

  32. Grafikpersamaan 3.11 ditunjukkanpadaGambar 3.5 berikut x (0 , n) (–n/m , 0) y O Gambar 3.5 Grafikfungsi linier

  33. Jikapersamaangarispada pers. 3.11 melaluititik (x1,y1) maka : y1 = mx1 + n  n = y1 – mx1 ( 3.12 ) Denganmensubstitusiharga n pada pers. 3.12 ke pers. 3.11 didapat : y – y1 = m(x – x1) atau y = m(x – x1) + y1 ( 3.13 ) Biasanyapersamaan 3.13 disebutpersamaan “Kemiringan-Titik sebuahGaris (Point-Slope Equation of a Line)”. Grafikpersamaan 3.13 ditunjukkanpadaGambar 3.6.

  34. x (x , y) (x1 , y1) y O Gambar 3.6 GrafikPersamaan 3.13

  35. Jikapersamaangaris 3.11 melaluititik (x2,y2), maka : y – y2 = m(x – x2) atau y = m(x – x2) + y2 (3.14) Jikapersmaan 3.15 dikurangpersamaan 3.13 makadidapat, y1– y2 x1– x2 y2– y1 x2– x1 y2– y1 x2– x1 y2– y1 x2– x1 y1 – y2 = m (x1 – x2) atau (3.15) = Denganmemasukkanharga m pada pers. 3.15 ke pers. 3.13 didapat : (3.16) (x– x1) atau (x – x1) + y1 y – y1 = y = Persamaan 3.16 adalahpersamaangaris yang melaluititik (x1,y1) dan (x2,y2) dandisebutpersamaan “Duatitikdarisuatugaris (two point equation of a line)” seperti yang ditunjukkanpada Gambar 3.7.

  36. x (x2 , y2) (x1 , y1) y O Gambar 3.7 GrafikPersamaan 3.16

  37. Kesimpulan : Dari uraiandiataspadatdisimpulkanbahwa : • Jikakemiringandantitikpotongsuatugarisdengan • sumbu x atausumbu y diketahuimakagunakanadalah • persamaan3.11, yaitu y = mx + n • Jikakemiringansuatugarisdiketahuidangaristersebut • melaluititiktertentu, misal (x1,y1), makagunakan pers. 3.13., • yaitu y = m(x – x1) + y1 • Jikasuatugarismelaluititik-titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka • gunakanpersaman 3.16. , yaitu y2– y1 x2– x1 (x – x1) + y1 y =

  38. Cara menggambargaris Bentukumumpersamaangaris : y = mx + n Buattabelsebagaiberikut : • Jika n  0 Jika n = 0 a adalahsembarangbilanganril

  39. Contoh 3.14 Sebuahgarismempunyaikemiringan (koeffisienarah) -1/3 danmemotongsumbu x pada x = 1. Tentukanpersamaan garistersebut! Penyelesaian : (gunakanpersamaan 3.11) Persamaangaris y = mx + n Karena m = -1/3, makapersamaangarismenjadi : y = -1/3 x + n Titikpotongdengansumbu x pada x = 1, maka y = 0. Denganmensubstitusikanharga x dan y kepersamaan 2.11 makadidapat n=1/3. Dengandemikianpersamaangaris menjadi: y = -1/3 x+1/3 Cara menggambarkangarislihatpetunjuk.

  40. Jadititik-titikkoordinatgaristersebutadalah (0,1/3) dan (1,0) y (0,1/3) (1,0) x O Gambar 3.8

  41. Contoh 3.15 Sebuahgarismempunyaikemiringan (koeffisienarah) 2 dan memotongsumbu y pada y = 3/2. Tentukanpersamaangaristsb! Penyelesaian : (gunakanpersamaan 3.11) Persamaangaris y = mx + n Karena m = 2, makapersamaangarismenjadi : y = 2x + n Titikpotongdengansumbu y pada y = 3/2, maka x = 0. Denganmensubstitusikanharga x dan y kepersamaan 3.11, didapat n=1. Dengandemikianpersamaangarismenjadi: y = 2x+3/2 Cara menggambarkangarislihatpetunjuk.

  42. Jadititik-titikkoordinatgaristsbadalah (0,3/2) dan (-3/4,0). y (0,3/2) (1,0) x O Gambar 3.9

  43. Contoh 3.16 • Sebuahgarismempunyaikemiringan (koeffisienarah) – 1 dan • melaluititik (–2,3). Tentukanpersamaangaristersebut! Penyelesaian (gunakanpersamaan 3.13) y = m(x – x1) + y1 m = -1 ; x1 = –2 ; y1 = 3 Persamaangaris yang dimaksudadalah :y = -1(x+2)+3= -x + 1

  44. Jadititik-titikkoordinatgaristersebutadalah (0,1) dan (1,0) y (0,1) (1,0) x O Gambar 3.10

  45. Contoh 3.17 Sebuahgarismelalui (-3,4) dan (5,2). Tentukanpersamaangaristsb.! Penyelesaian (gunakanpersamaan 3.16): = = – y2– y1 x2– x1 2– 4 5 +3 1 4 1 4 – = (x + 3) + 4 (x –13) (x – x1) + y1 (x + 3) + 4 y =

  46. y (0,13/4) (13,0) x O Gambar 3.11

More Related