Árvores Equilibradas

1. Árvores Equilibradas • Sumário • Splay • B-tree • Vermelho-Preto • AA e BB • Multidimensionais • quaternárias • k-d • Pesquisa Lexicográfica • tries multivia • tries binárias • PATRICIA

2. Árvores Vermelho-Pretas • correspondem a uma transformação de árvores-B, em particular a de ordem 4 para uma representação em árvore binária de pesquisa • os filhos de um nó da árvore-B podem ser representados por uma lista ligada ou por outra estrutura, como as árvores binárias de pesquisa • os ramos desta, internos a um nó da árvore-B, são os ramos vermelhos e os ramos que ligam diferentes nós da árvore-B são os ramos pretos (a cor de um nó é a cor do ramo que lhe fica imediatamente acima; a raiz é preta) • a pesquisa e a travessia é a de uma árvore binária; inserção e apagamento leva em conta a cor; processamentos O(log n) Uma árvore vermelho-preta é uma árvore binária de pesquisa em que cada nó tem a cor vermelho ou preto e que satisfaz 1. Cada caminho simples da raiz até uma subárvore vazia passa pelo mesmo número de nós pretos (equilíbrio). 2. Se um nó é vermelho, então tem um pai e este é preto. - a condição 2 garante a identificação das subestruturas internas a cada nó

3. Árvore-B como Vermelho-Preta j f m s d u h g i e b k o w c p r t v x a l n

4. Transformação de nós b a b c a c T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4 a b a b T1 b a T3 T1 T2 T3 T2 T3 T1 T2

5. Inserção • genericamente, o algoritmo de inserção começa na raiz, compara as chaves para escolher a subárvore e é recursivo até encontrar uma subárvore vazia, onde cria um nó • o novo nó é vermelho, para garantir a condição preta (nas árvores-B a inserção também começava por ser num nó pre-existente) • se o pai do novo nó for preto, termina; se for vermelho, viola-se a condição 2; adia-se a correcção do problema; retorna-se indicação de estado de que se processou um nó vermelho • está-se agora no pai: se for preto, tudo bem; se for vermelho, anota-se no estado o problema, em conjunto com a indicação de o filho ser esquerdo ou direito • estamos no avô, que tem que existir e é preto; neste nível recursivo corrige-se o problema do neto: • se o tio for preto (ou não existir), basta fazer uma rotação simples ou dupla, para o lado do tio; • se o tio for vermelho, troca-se o pai e o tio para preto e o avô para vermelho • o problema recomeça, agora entre o avô e o bisavô, com a indicação de estado de nó vermelho; pode-se chegar a mudar a cor da raiz para vermelho, o que obriga a chamada exterior a repor a cor em preto

6. Repor condições de vermelho e preto avô pai pai tio T4 avô filho T3 filho tio T1 T2 T3 T4 Rotação à direita T1 T2 avô filho pai tio T4 avô pai filho Dupla rotação à direita T1 tio T1 T2 T3 T4 T2 T3

7. Repor condições de vermelho e preto avô avô pai pai tio tio filho T1 T2 T3 Mudança de cor filho T1 T2 T3 avô avô pai pai tio tio Mudança de cor T1 T2 T3 T1 T2 T3 filho filho

8. Árvores BB e AA • Árvore BB: B e Binária • vermelho-preto • cada nó tem no máximo 1 filho vermelho • Árvores AA como BB mas • só filhos direitos podem ser vermelhos • reduz casos de reequilíbrio • remoção: filho único de nó interno é vermelho (da condição VP); chave do nó a apagar é substituída pela menor da subárvore direita • em vez de cor, nível do nó • nível = 1 nas folhas • nível = nível do pai em nó “vermelho” • nível = nível do pai -1 em nó “preto”

9. Árvores AA • Propriedades • filho esquerdo tem nível 1 unidade abaixo do do pai • filho direito tem nível 0 ou 1 unidade abaixo do do pai • ligação ao filho direito: horizontal 30 70 15 50 60 85 5 10 20 35 40 55 65 80 90

10. Árvores AA - Equilíbrio • Desequilíbrio por ligação horizontal à esquerda • resolve com rotação à direita (skew) 2 5 10 X P X P A B C A B C • Desequilíbrio por ligação horizontal à esquerda • resolve com rotação à esquerda (split) 35 40 45 R X R G X G C C A B A B

11. Inserção em Árvores AA insere(Elemento x, Arvore t) if ( x < t.elemento) t.left = insere( x, t.left); else if (x > t.elemento) t.right = insere( x, t.right); else return t; t = skew(t); t = split(t); skew: rotação com filho esquerdo se t.left.level == t.level split: rotação com filho direito se t.right.right.level == t.level

12. Árvores AA - Inserir 3 30 70 2 15 50 60 85 1 5 10 20 35 40 45 55 65 80 90 depois de split em 35 depois de skew em 50 3 3 ... ... 70 70 2 2 ... ... 40 40 50 60 50 60 1 1 55 65 55 65 35 45 35 45

13. Árvores AA - Inserir depois de split em 40 3 70 30 50 2 ... 40 85 60 1 55 65 35 45 80 90 depois de skew em 70 3 70 30 50 2 ... 40 85 60 1 55 65 35 45 80 90

14. Árvores AA - Inserir depois de split em 30 4 50 3 70 30 2 15 40 85 60 1 5 10 20 55 65 35 45 80 90 Árvore aumentou 1 nível Crescimento é na raiz, à maneira das árvores B

15. Árvores AA - Remover • Nó que não é folha • tem filho direito (se tem filho esquerdo, pela condição de Vermelho-Preto) • pode substituir-se pelo menor da subárvore direita - este tem de estar ao nível 1 porque não pode ter filho esquerdo (é o menor) e se tiver filho direito é do mesmo nível • para remover, descer na árvore mantendo registo do nó a apagar e do mínimo • ao chegar ao fundo da árvore: substituir nó a apagar pelo mínimo e remover o mínimo • ajustar nós e seus níveis, e reequilibrar se necessário Ao apagar 1: . 2 passa a ser nível 1 . 5 passa a ser nível 1 Se 5 é nível 1, . 6 e 7 são nível 1 . Ligação a 3 é horizontal . 3 e 4 são de nível 1 5 2 1 3 4 6 7

16. Árvores AA - Remover 5 2 2 5 6 7 3 4 1 3 4 6 7 depois de skew em 5 (com 3) depois de skew em 5 (com 4) 3 2 2 3 4 5 6 7 5 6 7 4 depois de split em 2 depois de split em 4 3 3 2 4 5 6 7 2 5 6 7 4

17. Treaps • Características • Nó da árvore: 1 elemento, 2 nós filhos e a prioridade • Prioridade de um nó não inferior à do seu pai • Propriedades • nó de menor prioridade é raiz • colecção de elementos distintos com prioridades distintas: árvore é única • código simples • eficiência esperada O(log N) • Operações • Inserção: inserir folha e rodar para cima até satisfazer prioridades • Apagamento: pesquisar elemento, passar prioridade a , rodar para baixo até ser folha, apagar