Wykład 5

1. Wykład 5 Zbiory uporządkowane Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

2. x  x Definicja jeśli xy i yx, to x=y jeśli xy i yz, to x  z Relację binarną  w zbiorze X nazywamy porządkiem (częściowym porządkiem) wttw jest to relacja zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X wraz z porządkiem  nazywamy zbiorem uporządkowanym. Ozn. <X,  > Przykład 1.<R,  > , 2.< P(X),  >, 3. <N, | > Uwaga Jeśli x  y i x  y, to piszemy x<y. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

3. 8 9 7 4 2 3 5 1 Diagramy Hassego powrót Diagramem Hassego relacji porządku  w X nazywamy graf zorientowany (skierowany) G= <V, E>, gdzieV=X oraz (y,x)E wttw nie istnieje z, takie że z x i z y i x z  y ( y jest bezpośrednim następnikiem x w sensie relacji ). KonwencjaZwykle nie rysujemy strzałek i jeśli x y i xy, to y znajduje się na grafie Hassego wyżej niż x. Przykład Relacja | w zbiorze {1,2,...9} jest relacją porządku Diagram Hassego Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

4. 000 001 010 011 100 101 00 01 10 11 01 e Diagram Hassego relacji r w zbiorze S* Przykład Niech S ={0,1}. W zbiorze S * definiujemy relację w1r w2 wttw istnieje zS *, że w1z = w2. UwagaNiektóre zbiory częściowo uporządkowane nie mają diagramu Hassego, np.: <R,  >. Każdy skończony zbiór częściowo uporządkowany ma diagram Hassego. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

5. Przykład Diagram Hassego pewnej relacji Z diagramu Hassego można odczytać pełną informację o opisanej relacji porządku. e f X={a,b,c,d,e,f}a  b a  c a  d b  e b  f c  f a  e a  f a  a b  b c  c d  d e  e f  f b c d a Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

6. Minima i maksima Niech  będzie relacją porządku w X. Element x nazywamy maksymalnym, jeżeli w X nie istnieje element y większy od x tzn. taki, że x < y. przykład Element x nazywamy minimalnym, jeżeli w X nie istnieje żaden element y taki, że y < x. Uwaga W diagramie Hassego relacji  elementy maksymalne znajdują się na górze a elementy minimalne na dole grafu. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

7. Definicje c.d. Jeżeli x  x0 dla wszystkich x X, to x0 nazywamy elementem największym zbioru X. Jeżeli x0  x dla wszystkich x X, to x0 nazywamy elementem najmniejszym zbioru X. Uwaga W zbiorze X może być więcej niż jeden element maksymalny lub minimalny ale jest co najwyżej jeden element największy i co najwyżej jeden element najmniejszy. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

8. Kresy Sup(A) Niech  będzie relacją porządku w X oraz niech A będzie podzbiorem X. Ograniczeniem górnym zbioru A w X nazywamy taki element x0  X, że x  x0 dla wszystkich x  A. Najmniejsze ograniczenie górne zbioru A nazywamy kresem górnym(supremum). Ograniczeniem dolnym zbioru A w X nazywamy taki element x0  X, że x0  x dla wszystkich x  A. Największe ograniczenie dolne zbioru A nazywamy kresem dolnym (infimum). Inf(A) Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

9. Przykład Rozważmy relacje  w N : x  y wttw x jest dzielnikiem y. Jest to relacja porządku. Sup(n,m)= najmniejsza wspólna wielokrotność liczb n, m Co jest kresem górnym zbioru {n,m}, tzn. sup{n,m}? Inf{n,m}=największy wspólny dzielnik A kres dolny? Tzn., inf{n,m} =? Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

10. Przykład Sześcian kolorów RGB Krata RG RB GB Dla dowolnych dwóch elem. istnieje kres górny i kres dolny. R G B Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

11. Porządek liniowy łańcuch • Relację binarną  w zbiorze X nazywamy porządkiem liniowym wttw  jest porządkiem częściowym oraz ma następującą własność spójności: dla dowolnych x, y  X, • albo x  y albo y  x albo x = y Przykład Zbiór liczb wymiernych jest liniowo uporządkowany przez relację niewiększości  . Co więcej jest to zbiór liniowo uporządkowany gęsto. Twierdzenie W każdym niepustym zbiorze liniowo uporządkowanym i skończonym istnieje element najmniejszy (pierwszy) i element największy(ostatni). Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

12. Porządek leksykograficzny Przykład Niech będą zbiory (X1, 1), (X 2, 2), ..., (X n, n), liniowo uporządkowne. Definiujemy relację w  produkcie (X1 X 2 .... ,X n) następująco: (x1, x2,...xn)  (t1,..., tn) wttw istnieje takie i, że x1 = t1,...,x2 =t2,...xi-1= ti-1, oraz xi itixi ti PrzykładXi ={0,1,...,9}dla i =1,2,...5 Wtedy 1234 51234612435 13245 23245 Tak zdefiniowana relacja jest relacją porządku liniowego w produkcie (X1 X 2 .... ,X n). Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

13. Porządek słownikowy Niech będzie dany alfabet S oraz pewna relacja  liniowego porządku w S. Rozważamy relację  w zbiorze słów S* zdefiniowaną następująco: a1a2...an b1... bm wttw n<m i a1 = b1, a2 =b2,...an= bn, albo istnieje takie i, że a1 = b1,a2 =b2,...ai-1= bi-1, oraz ai< bi kos  kosmita  kosmologia  kosmonauta  kosmos Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

14. Lemat Kuratowski (1922) - Zorn(1935)Jeżeli w zbiorze uporządkowanym X dla każdego łańcucha istnieje ograniczenie górne, to w X istnieje element maksymalny. Gödel 1940 niesprzeczność Cohen1963niezależność Aksjomat wyboru Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

15. Dobry porządek Relację binarną  w zbiorze X nazywamy dobrym porządkiem wttw  jest liniowym porządkiem oraz dla dowolnego niepustego podzbioru A zbioru X istnieje element minimalny. Przykłady (1) Zbiór <N,  > jest dobrze uporządkowany przez relację niewiększości  .(2) Każdy zbiór skończony, liniowo uporządkowany jest dobrze uporządkowany.(3) Zbiór liczb rzeczywistych nie jest dobrze uporządkowany przez relację niewiększości . Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK