LA CIRCUNFERENCIA SUS ELEMENTOS Y ÁNGULOS

1. LA CIRCUNFERENCIA SUS ELEMENTOS Y ÁNGULOS

3. Flecha o sagita N Q  Cuerda PQ Recta secante M P  A B Arco BQ T  Recta tangente Punto de tangencia Otros elementos de la circunferencia 

6. L R PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

7. P N M R Q 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

8. A B C D 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. Si : AB // CD  m AC = m DC

9. A C Cuerdas congruentes Arcos congruentes B D Las cuerdas equidistan del centro 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.

11. R r 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. d = Cero ; d : distancia

12. R r R r Distancia entre los centros (d) 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. d > R + r

13. Punto de tangencia R r R r Distancia entre los centros (d) 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. d = R + r

14. Punto de tangencia R r R d 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. d = R - r d: Distancia entre los centros

15. R r Distancia entre los centros (d) 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. ( R – r ) < d < ( R + r )

16. R r Distancia entre los centros (d) 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. d2 = R2 + r2

17. R r d 07.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. d < R - r d: Distancia entre los centros

18. A R  P  R B PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. AP = PB

19. A B R r r R D C 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes AB = CD

20. A D R r r R B C 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. AB  CD

21. Inradio b Circunradio a r R R c TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

22. b Cuadrilátero circunscrito c a d TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. a + c = b + d

23.    TEOREMA.- En todo cuadrilátero inscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de los ángulos opuestos son suplementarios Cuadrilátero inscrito  α +  = 180º  +  = 180º

24. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

25. Ángulo central Ángulo interior Ángulo inscrito Ángulo semi-inscrito Ángulos exteriores

26. A r C  r B  = mBA 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.

27. A B  C 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

28. A C  B 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.

29. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC. A  B C

30. D A  C B 5.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

31. A C  O B  + mBA = 180° 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

32. B C  O D A b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

33. B  O C A c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

34. Algunas propiedades importantes……. 1.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su punto de tangencia A P AB  OP B O 2.- Si de un punto ¨P¨ exterior a una circunferencia. Se dibujan 2 segmentos tangentes a la circunferencia llamados PA y PB , estos segmentos resultan congruentes A P PA  PB B

35. Algunas propiedades importantes…….. 3.- Todo diámetro perpendicular a una cuerda es simetral y bisectriz del ángulo del centro comprendido entre los extremos de la cuerda. A • AB  CD entonces: • CE  ED •  COE   EOD O C E D B 4.- En toda circunferencia a ángulos del centro congruentes le corresponden cuerdas y arcos congruentes. B A  O AB  CD  D C

36. Algunas propiedades importantes…….. 5.-En una circunferencia , cuerdas congruentes equidistan del centro. B A AB  CD  OE = OF O D C 6.- Los arcos comprendidos entre rectas paralelas o cuerdas paralelas son congruentes. A B AB // CD  arc AB  arc CD C D

37. g g g g 2g Algunas propiedades importantes…….. 7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales 90º 180º Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales

38. RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

39. Teorema 1 Si desde un punto exterior P se trazan dos rectas tangentes a la circunferencia PA y PB. Entonces al unir dicho punto exterior con el centro de una circunferencia O, se determina que m  1 = m  2 y que PB  PA.

40. Teorema 2 Al trazar dos secantes desde un punto exterior, el producto de un segmento secante con su respectivo segmento exterior es igual al otro segmento secante con su respectivo segmento exterior.

41. Teorema 3 Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante, entonces: El cuadrado del segmento tangente en igual al producto del segmento secante por el segmento exterior.

42. Teorema 4 Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia: El producto de los dos segmentos formados por una cuerda y el punto de intersección es igual al producto de los segmentos formados por la otra cuerda y el punto de intersección.

43. PROBLEMAS RESUELTOS

44. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco SR mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. Se traza la cuerda SQ Q P 50° 70º+x R X S Problema Nº 01 RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x Reemplazando: 2X En el triángulo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° Resolviendo la ecuación: 140° X = 30°

45. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco RQ se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR. Q mQR = 140° H S 70° X P 20° R Problema Nº 02 RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS m  S = 70º Por ángulo inscrito Se sabe que: mQsR = 220° 140° X = 40° Resolviendo:

46. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. Medida del ángulo interior A mBC = 50° B Medida del ángulo exterior x P C D Problema Nº 03 RESOLUCIÓN APD = x 130° 50° Resolviendo: X = 40°

47. En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco NA mide 54º. Calcule la mAPN. N M x x A P o B Problema Nº 04 RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x Dato: OM(radio) = PM 54° Luego triángulo PMO es isósceles Ángulo central igual al arco x Medida del ángulo exterior Resolviendo: X = 18°

48. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ. B 70° + mPQ = 180° mQP = 110° 70° Q P x C A R Problema Nº 05 RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: PRQ = x 110° Medida del ángulo inscrito: Resolviendo: X = 55°

49. A 70° X P B Resolución Problema Nº 06 Calcule la medida del ángulo “X”.

50. C A mBA=140º 70° X P B RESOLUCIÓN 220º 140º Medida del ángulo inscrito: Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 220º- 140º = x 2 X = 40º Resolviendo: