q = L ¼ K ½

1. q = L ¼ K ½ Considere una empresa con una tecnología representada por la función de producción y que enfrenta al precio w del factor trabajo y al precio r del factor capital. Encuentre los retornos a escala. Estime la demanda condicional del factor trabajo. Estime la demanda condicional del factor capital. Encuentre la función de costo total, costo medio y costo marginal. ¿Es posible que el costo total de largo plazo sea igual al costo total de corto plazo?¿por que ? (AVANZADO) Para encontrar los retornos a escala, buscamos el nivel de producción de la empresa si emplea t veces el factor capital y t veces el factor trabajo, donde t es mayor que 1. Por ejemplo, si t es 2, se trata de conocer el volumen de producción que se obtiene si se duplica el empleo de los factores de producción. La Producción que se obtiene en el largo plazo cuando se emplean K unidades de capital y L unidades de trabajo es q. La producción que se obtiene en el largo plazo cuando se emplean tK unidades de capital y tL unidades de trabajo es q ‘= (tL) ¼ (tK) ½ Ingrid Vianey Uscanga Contreras

2. q ‘= (tL) ¼ (tK) ½ = t ¼+½ (L) ¼ (K) ½ => q’=t ₃⁄₄ q. Pero Es decir si se incrementa el empleo de todos los factores t veces, la producción no crece t veces, sino t₃⁄₄ veces, y esta función de producción presenta retornos decrecientes a escala. Para encontrar la demanda condicional de cada factor, tenemos que encontrar el nivel de producción que minimiza costos. Y este nivel de producción se encuentra allí donde la tasa técnica de sustitución de factores, la pendiente dela recta isocosto, es igual al costo de oportunidad del factor capital, la pendiente de la recta de isocosto. Esto es así, particularmente porque la función de producción que estamos analizando es una función de producción regular, tipo Cobb Douglas. Y entonces la solución es interior. La tasa técnica de sustitución de factores es . Igualando este resultado con el costo de oportunidad del factor capital w/r se obtiene . Esta es una relación técnica entre la cantidad de trabajo, para niveles de producción que minimizan costos. Reemplazando este resultado en la función de producción de largo plazo, obtenemos TTSF = PMgL = K _ PMgK 2L _K = w_ => K = 2wL 2L r r Ingrid Vianey Uscanga Contreras

3. q= L ¼2wL½ r ypodemos despejar L en términos de q, . Esta expresión determina la cantidad de mano de obra necesaria cuando la empresa quiere producir q unidades minimizando los costos de producción, Es la demanda condicional del factor trabajo. Como el factor capital esta técnicamente asociado ala cantidad de trabajo mediante , conociendo la demanda de mano de obra, se obtiene la demanda condicional del factor capital. Para conocer las funciones de costos, tenemos que partir de las demandas condicionadas de factores. Las demandas condicionadas de factores son funciones de la producción. Si tomamos la demanda condicional de trabajo que acabamos de obtener, y la multiplicamos por el precio de la mano de obra, obtenemos el costo total de la mano de obra. Hacemos lo mismo para hallar el costo total del capital y obtenemos el costo total de producción. K = 2wL r L= q ₄/₃ 2w ⅔ r L= q ₄/₃ 2w ⅔ r Ingrid Vianey Uscanga Contreras

4. K = 2wL r CT = q ₄/₃ (3w) 2w ⅔ r (3w) 2w ⅔ r L= q ₄/₃ 2w ⅔ r CT = w q ₄/₃ 2w ⅔ +r 2wL r r Con el costo total de producción podemos hallar el costo medio de producción y el costo marginal. Veamos. EL costo total es CT = wL + rK , pero y , entonces . En esta expresión se relaciona el costo total de producción con el volumen de producción. Simplificando se obtiene . Observe que el componente es una constante. Si tomamos esta constante como a, la funcion de costo total ahora CT =aq ₄⁄₃ . Se trata de una función no lineal de costos totales. El costo total tiende a crecer a velocidad creciente cuando se incrementa la producción. Y este resultado es coherente con la presencia de rendimientos decrecientes a escala. El costo medio de producción es CMe= a q⅓ que también es una funcion no lineal y monótonamente creciente. Ingrid Vianey Uscanga Contreras

5. CMg = 4a q⅓ 3 El costo medio crece con la producción ratificando la presencia de retornos a escala decrecientes. El costo marginal se obtiene tomando derivadas del costo tota y se obtiene que sigue siendo una funcion no lineal monótona creciente pero que va por encima del costo medio. Finalmente, se trata de saber si la funcion de costo total en el corto plazo puede ser igual la funcion de costo total de largo plazo, y la respuesta es afirmativa. Pero, ¿bajo que condiciones es esto cierto? Los costos de corto plazo son costos de corto plazo porque el capital esta fijo en determinado valor. Si este valor es la demanda condicional del factor capital en el largo plazo, entonces el costo de corto plazo es el costo de largo plazo. Sin embargo, si este valor no es la demanda condicional de capital de largo plazo, el costo de corto plazo es mayor al costo de largo plazo. Y esto ocurre así porque en el corto plazo estamos trabajando con una cantidad inadecuada del factor capital que impide la minimización de costos en el largo plazo. Ingrid Vianey Uscanga Contreras