제 5 장 암호학의 수학기초

1. 제 5 장 암호학의 수학기초 2007. 10 Network Security Lab Mun Hyung Jin

2. Part I. 정수론 Introduction to Number Theory

3. 목 차 1.1 소수 (Prime Numbers) 1.2 페르마정리와 오일러함수 (Fermat’s and Euler’s Theorems) 1.3 소수 판정 (Testing for Primality) 1.4 중국인 나머지 정리 (The Chinese Remainder Theorem) 1.5 이산대수 (Discrete Logarithms) 3

4. 1.1 소수 • 정수론을 통한 숫자 개념의 정리 • 공개키 암호 알고리즘의 기초적인 요소 • 직관적으로 이해가 어려울 때 예제로써 이해 4

5. 1.1.1 약수 • b|a이라면 b는a의약수(divisor) • 어떤 수 m에 대해 a=mb이면 b는(b≠0) a를 나눈다고 함. • 나눗셈에서 나머지가 0이면 b는 a를 나눈다고 말함. • 여기서 a, b, m은 정수 • 표기 • b|a는 b가 a를 나눈다는 기호로 사용 • 정수 b는 정수a의 약수다 또는 정수 a는 약수 b를 갖는다 예: 24의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 그리고 24이다. 2|24 , 3|24, 8|24 5

6. 1.1.1 약수(cont’) • 약수에서의 관계 • 만약 a|1 이라면, a = 1 임 • 만약 a|b 이고 b|a라면, a = b 임. • 어떠한 0이 아닌 b도 0을 나눔. (b|0) • 만약 b|g 이고, b|h 라면, 그 때 임의의 정수 m과 n에 대해 b|(mg+nh) 임. 만약 b|g라면, 그때 g는 어떠한 정수 g1에 대해 g = b × g1을 만족, 만약 b|h라면, 그때 h는 어떠한 정수 h1에 대해 h = b × h1을 만족. mg + nh = mbg1 + nbh1 = b×(mg1 + nh1) 따라서 b는 mg+nh를 나눈다. • 약수 관련 예 • b=7; g=14; h=63; m=3, n=2 • 7|14 와 7|63에 대해서 7|(3×14+2×63)이 성립하는가? 6

7. 1.1.2 소수 • 소수(prime Number) • 정수 p >1 이 만약 단지 약수들로써 1과 p만을 가진다면 p는 소수임. • 어떠한 정수 a>1은 다음과 같이 유일한 방법으로 인수분해 된다. • a = p1α1 p2α2 …. Piαi ; 여기서p1 < p2 < p3 < … < pi 는 소수이고 지수 qi > 0 • 예 : 91 = 7 × 13 ; 11011 = 7 × 112 × 13 • pk의 형태를 가지는 어떠한 정수는 단지 그것보다 작거나 같은 지수를 가지는 소수 pj에 의해 나누어질 수가 있음.(jk) • pi | pk 7

8. 1.1.2 소수(cont’) • 양의 정수의 표현 • 양의 정수의 표현을 0이 아닌 소수들의 멱 지수들로 목록화 • 예 : 12 = 22 × 31 ⇒ {α2 = 2, α3 = 1} 18 = 21 × 32 ⇒ {α2 = 1, α3 = 2} • 모든 p에 대해 a|b ⇒ ap bp • 예 : a=12; b=36 ⇒ 12|36 12 = 22 × 31; 36 = 22 × 32 ⇒ {a2 = 2, a3 = 1}, {b2 = 2, b3 = 2} ⇒ a2 = b2이고 a3 ≤ b3 임 8

9. 1.1.3 최대공약수 • gcd(a, b) : 정수 a와 b의 공동약수 중에서 제일 큰 공약수 최대공약수 • 양의 정수 c가 다음 조건을 만족한다면, c는 a와 b의 최대 공약수 • c는 a와 b의 약수임 • a와 b에 대한 임의의 약수는 c의 약수임 • gcd(a, b) = max { k : k는 k|a이고 k|b } • gcd(a, b) = gcd(a, -b)=gcd(-a, b)=gcd(-a, -b)=gcd(|a|, |b|) 9

10. 1.1.3 최대공약수(cont’) • 소수로 정수를 표현하는 경우 최대공약수 구하기 쉽다 • 예 : 300 = 22 × 31 × 52 18 = 21 × 32 × 50 gcd(300, 18) = 21 × 31 × 50 = 6 모든 p에 대해, k = gcd(a, b) ⇒ kp = min(ap, bp) • 최대공약수 찾기 • gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) gcd(55,22)=gcd(22, 55 mod 22)= gcd(22, 11)= gcd(11,0)= 11 gcd(18, 12)=gcd(12,6)=gcd(6,0)=6 gcd(11,10)=gcd(10,1)=gcd(1,0)=1 10

11. 1.1.4 서로 소 • 서로 소 : 정수 a 와 b 가 공통적으로 소수 인수를 가지지 못하면 a와 b는 서로 소임. • 공약수가 단지 1 뿐임. • gcd(a, b) = 1 이라면 a와 b는 서로 소. 8은 약수로서 1, 2, 4와 8을 가지며 15는 약수로서 1, 3, 5 그리고 15를 가지기 때문에 8과 15는 서로 소이다. 또한 1은 이 두 수들이 가지는 약수들의 목록들 중에서 유일하게 같은 수이다. 11

12. 1.2.1 페르마의 정리 • 페르마의 정리 p가 소수이고 a가 p에 의해 나누어지지 않는 양의 정수라면 ap-1 ≡ 1 mod p • (p-1) 숫자들 {a mod p, 2a mod p, ..., (p-1)a mod p}은 어떠한 순서에서의 숫자 {1, 2, . . . p-1}들이다. 이러한 숫자들을 같이 곱하면 a ×2a ×... ×((p-1)a) = (p-1)! ap-1 ≡[(a mod p) ×(2a mod p) ×… ×((p-1)a mod p)] mod p ≡(p-1)! mod p ==> ap-1 ≡ 1 mod p 12

13. 1.2.1 페르마의 정리(cont’) • 페르마 정리에 의해ap≡a mod p • p가 소수이고 a가 p에 의해 나누어지지 않는 양의 정수라면 • 예 : • p = 5, a = 3, 35 = 243 ≡ 3 mod 5 • p = 5, a = 10, 105 = 100000 ≡ 10 mod 5 ≡ 0 mod 5 13

14. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 φ(n) 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 1.2.2 오일러함수 • 오일러함수 φ(n) • n보다 작고 n과서로 소인 양의 정수의 개수; φ(1) =1 로서 정의됨 • 표 8.2 : n이 1 부터 30까지 일 때의 φ(n) • 소수 p에 대하여는 φ(p) = p – 1 • 서로 다른 소수 p와 q에 대하여,n = pq 일때, φ(n)=φ(pq)=φ(p)×φ(q)=(p-1)×(q-1) φ(21) = 12 = φ(3) ×φ(7) = 2 × 6 = (3-1) ×(7-1) = 12개 ==> {1,2,3,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20}의 정수 12개 14

15. 1.2.3 오일러의 정리 • 오일러 정리 : 서로 소인 모든 a와 n에대한 관계의 표현 aφ(n) ≡ 1 mod n • 오일러 정리의 다른 형태 aφ(n)+1 ≡ a mod n • RSA 알고리즘의 유용성을 증명하는 유용한 결과 15

16. 1.2.3 오일러의 정리(cont’) • 두 개의 소수 p와 q가 주어지고, 0 < m < n 인 정수 n= pq 와 m이 주어진다고 가정하면 m φ(n)+1 = m (p-1)(q-1) + 1 ≡ m (mod n) 16

17. 1.3 소수판정 • 매우 큰 수가 소수인지 판정하는 효율적인 방법의 부재 • Fermat’s Theorem 를 가지고 소수 판정에 이용 • < Algorithm >: TEST (n) is: 1. Find integers k, q, k > 0, q 홀수, so that (n–1)=2kq 2. Select a random integer a, 1<a<n–1 3. if aqmod n = 1 then return (“가능"); 4. for j = 0 to k – 1 do 5. if (a2jqmod n = n-1) then return(" 가능") 6. return (“합성수") • a 를 t번 선택을 하여 실험하여 얻은 결과가 소수 가능성은 1-4-t • t=10 소수가능성은 0.999999 17

18. 1.3.1 소수판정에 관한 예 • n=29 라면 1) n-1=28=(22) *7=(2k) *q. (k=2, q=7) 2) a=10 으로 선택 3) 10^7 mod 29=1 ? (17) No 4,5) j=0 이면 (107) mod 29 =28 ? (17) No j=1 이면 (102)*7 mod 29 =28? (28) Yes Return : 소수일수 있다.(가능성제시) 18

19. 1.3.1 소수판정에 관한 예(cont’) • n=29 라면 2) a=2으로 선택 3) 27 mod 29=1 ? (12) No 4,5) j=0 이면 (27) mod 29 =28 ? (12) No j=1 이면 (22)*7 mod 29 =28? (28) Yes Return : 소수일수 있다.(가능성제시) 즉 소수라고 판정할 수 있다 19

20. 1.3.1 소수판정에 관한 예(cont’) • n=221=13*17 라면 1) n-1=220=(22) *55 k=2,q=55 2) a=5으로 택 3) 5^55 mod 221=1 ? (112) No 4,5) j=0 이면 (555) mod 221 =220 ? (112) No j=1 이면 (52)*55 mod 221 =220? (168) No Return : 합성수이다.(composite) • 만약 a=21로 선택했다면 return 값이 inconclusive(확정적이 아닌) 가 나온다. • 즉 소수일수도 있다는 가능성을 제시한다. • 그러나 221는 합성수이다. 20

21. 1.3.2 Repeated Use of the Miller-Rabin Algorithm • Test (n) 이 “합성수” 로 리턴이 되면 n는 소수가 아니다. • 그러나 Test (n) 이 “가능”으로 리턴이 된다고 n이 소수라는 보장은 못한다. • a 를 택하여 반복할 때 반복횟수를 t로 놓으면 n이 소수일 가능성(확률)은 1-(1/4t)이다. • 즉 10번 반복해서 “가능”이라고 나오면 n 이 소수일 확률이 0.999999(99%)이다. 21

22. 1.4 중국인의 나머지 정리 • 정수론에서 가장 유용한 요소들 중의 하나는 중국인의 나머지 정리 • (CRT: Chinese Remainder Theorem) : modulo가 서로소인 쌍 모듈로의 나머지 집합들로부터 어떠한 범위 내에 있는 정수들을 재구성하는 것이 가능. Z10(0, 1, . . . , 9)에서 10개의 정수들은 modulo 2와 5(10의 서로 소인 소인수)의 두 나머지들로부터 재구성될 수 있다. 알려진 10진수 x 의 나머지들은 r2=0와 r5=3이라고 하자 ; 즉, x mod 2 = 0이고 x mod 5 = 3이다. 그런 까닭에 x는 Z10에서 짝수이다. 5에 의한 나눗셈에서 나머지는 3이다. 유일한 해는 x = 8이다. 22

23. 1.4 중국인의 나머지 정리 • CRT 기원 : '3으로 나누면 2가 남고 5로 나누면 3이 남고 7로 나누면 2가 남는 수 중에서 제일 작은 수는?' • 이 문제가 바로 중국인의 나머지 정리의 기원 • CRT란 연립 선형 합동식의 공통해를 찾는 문제에 대한 답. • 각 선형합동식의 법(moduli)은 쌍마다 서로 소인 가정. • 가우스(Gauss),오일러(Euler)가 정리를 많이 연구,이용 • 그 풀이의 아이디어는 3세기초 중국의 수학자인 순체(Sun-Tzu)가 쓴 책에 있는 위에 쓴 문제의 풀이에서 기원. 중국인의 나머지 정리: m1, m2, ..., mr이 양의 정수이면서 서로 소라고 하자. 임의의 정수 a1, a1, ...,ar에 대하여 다음 r 개의 합동식 x=ai (mod mi) (i=1,2,...,r) 은 공통해를 같고 서로 다른 두 해의 차이는 m1*m2*...*mr로 나누어 떨어진다. 23

24. 1.4 중국인의 나머지 정리 • 중국인의 나머지 정리 다른 예 • 6로 나누어 나머지가 1이고, 9로 나누어 나머지가 3인 수가 있는가? 질문의 답은 '없다'이다 • 위에서 알 수 있는 것은 m으로 나누어 나머지가 r , n으로 나누어 나머지가 s인 수는 r과 s를 d=gcd(m,n)로 나눈 나머지가 같지 않으면 해가 존재하지 않는다는 사실이다. • 이것의 역, 즉, r,s를 d로 나눈 나머지가 같으면 해가 존재하겠는가 하는 문제를 생각할 수 있는데, 중국인의 나머지 정리는 '해가 반드시 존재'하고, lcm(m,n)의 정수배 차이를 제외하고는 유일하다는 것을 말한다. 24

25. 1.5 이산대수 • 이산대수 • Diffie-Hellman의 키교환과 전자서명 알고리즘((DSA : DigitalSignature Algorithm)을 포함하는공개키암호 알고리즘에서 중요한개념 25

26. 1.5.1 Modulo n상에서 정수의 멱 • 오일러의 정리 : aφ(n) ≡ 1 mod n • 오일러 함수인 φ(n)은 n보다 작은 양의 정수이고 a 와 n 은 서로 소임. • 일반적인 표현 • am ≡ 1 mod n -- 식(8.11) • 만약 a와 n이 서로 소이라면, m=φ(n)을 만족하는 정수 m이 적어도 하나 존재(멱 지수라 부름) • 식 (8.11)을 만족하는 가장 작은 양의 멱 지수 m • a (mod n)에 대한 차수 • a가 (mod n)에 속한 멱 지수 • a에 의해 생성된 주기의 길이 26

27. 1.5.1 Modulo n상에서 정수의 멱(cont’) • 예 • modulo 19상에서 7에대한 멱 지수 71 = 77 mod 19 72= 49= 2×19 + 11= 11 mod 19 73 = 343 = 18× 19 + 1 = 1 mod 19 74 = 2401 = 126× 19 + 7 =7 mod 19 75 = 16807 = 884 ×19 + 11 = 11 mod 19 • 발견 사항들 • 73 = 1 (mod 19), 73+j = 737j = 7j (mod 19) • 3만큼의 차이가 나는 7에 대한 어떠한 두 멱 지수는 각각 (mod 19)에 있어서 합동(주기가 존재) • 주기의 길이는 7m = 1 (mod 19)를 만족하는 가장 작은 양의 멱 지수 m=3 임. 27

28. 1.5.1 Modulo n상에서 정수의 멱(cont’) • 발견 성질들 1. 모든 순열은 1에서 끝이 남 2. 순열의 길이는 φ(19) = 18 로 구분된다. 즉, 순열에 대한 전체 숫자는 표의 각 행에서 나타남 3. 어떠한 순열들은 길이가 18 이다. 이러한 경우에 있어서, 밑수 a는 modulo19 상에서 0이 아닌 정수들의 집합을 생성함. 그와 같은 각각의 정수를 modulus 19 의 원시 근(primitive root) 라고 부름 28

29. 1.5.2 지수 • 정수 b와 소수 p의 원시근 a에 대해 b ≡ ai mod p, 0 ≤ i ≤ (p-1)인 i 를 지수라 하며 inda,p(b) 로 표기 • inda,p(1) = 0, ∵ a0 mod p = 1 mod p = 1 • inda,p(a) = 1, ∵ a1 mod p = a 29

30. 1.5.3 이산대수의 계산 • y = gx mod p • g, x 그리고 p가 주어진다면, y를 계산하는 것은 쉬운 문제. • 그러나 y, g 그리고 p가 주어진다고 하더라도 x를 계산하는 것은 매우 어려운 문제. 30

31. Part II. 유 한 체Finite Fields

32. 목 차 2.1 군, 링, 체(Groups, Rings, and Fields) 2.2 모듈러 계산 (Modular Arithmetic) 2.3 유클리드 알고리즘 (Euclid’s Algorithm) 2.4 GF(p) 형태의 유한체 (Finite Fields of the Form GF(p)) 2.5 다항식의 계산 (Polynomial Arithmetic) 2.6 GF(2n) 형태의 유한체 (Finite Fields of the Form GF(2n)) 32

33. 2.1 Group, Ring, and Field 2.1.1Groups 2.1.2 Rings 2.1.3 Fields 33

34. 2.1.1 Group • Group(군)의 정의 : 집합과 연산 • 덧셈연산에 대하여 닫혀있다. • 덧셈연산에서 결합법칙이 성립. • 덧셈 항등원이 존재. (Identity) • a*e=a가 되는 e가 집합의 원소일 때 e를 항등원 • 덧셈 역원이 존재. (Inverse) • 각 원소 a 에 대하여 a*x=e 가 되는 x를 a 의 역원 • 예:Sn={permutation of integers} : group • 닫혀있고; 결합법칙 성립; 항등원: 항등함수;역원(Inverse element) : 역함수 • 유한군 (Finite Group) : 원소가 유한인 군 • Order of the group : 원소의 개수 34

35. 2.1.1 Group • 아벨리언 그룹(Abelian Group) • Group • 덧셈연산에서 교환법칙 (Commutative) 성립 • a+b=b+a, • 예 • (Z, *) : 그룹이 아니다. • Sn (n>2) : Abelian 그룹이 아니다. • 합성함수는 교환법칙이 성립하지 않는다. • (Z, +) : Abelian group 35

36. 2.1.1 Group • 순환그룹(Cyclic Group) • Group • 생성자(Generator)가 존재: 임의의 원소를 특정한 원소로 표현 가능할 때 그 원소를 생성자라 한다. • x ∈ G 에 대하여 x= ak (k는 정수) 일 때 a는 생성자이다. • 예 • (Z, +) : 순환그룹이다 • 임의의 n에 대하여 1로 표현이 가능하다 (n=n*1) • 생성자는 1이므로 (Z, +)=<1>로 표현 가능하다 • (A, *) : 순환그룹이다 (A= {-1,1}) • 1=(-1)*(-1) , -1=(-1) • 생성자는 -1이므로 (A, *)=<-1>로 표현 가능하다. 36

37. 2.1.2 Ring • Ring • Abelian Group • 곱셈에 대하여 닫혀있다. • 곱셈에 대한 결합법칙 a*(b*c)=(a*b)*c • 곱셈에 대한 분배법칙 a*(b+c)=a*b+a*c • 예 • M2(R) : ring • Abelian group; 곱셈에 대하여 닫혀 있고; A*B=2-squar matrix • Z : ring • Abelian group; 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 37

38. 2.1.2 Ring • 교환 가능한 링(Commutative Ring) • Ring • 곱셈에 대하여 교환법칙이 성립 • a*b=b*a • 예 • 정수 Z : commutative ring • M2(R) : 2-square matrices over R • commutative ring이 아니다. • A*B 와 B*A 가 같지 않다. 38

39. 2.1.2 Ring • Integral Domain • Commutative ring • 곱셈에 대한 항등원 : 1 • 0의 약수가 존재하지 않는다. • 즉, a*b =0 이면 a=0 이거나 b=0 이다. • 예 • Z : Integral Domain • M2(R) : Zero divisor 가 존재한다. • 즉, A*B=0 이지만 A , B 어느 것도 영행렬이 아니다. • 물론 commutative ring이 아니므로 Integral Domain도 아니다. 39

40. 2.1.3 Field • Field • Integral Domain • 곱셈에 대한 역원 존재 • 예 • 유리수 집합, • 정수 집합 Z : field 가 아니다. 40

41. 2.2 모듈러 연산 • a mod n 의 의미 : a 를 n 으로 나누었을 때의 나머지 • 예 : 11 mod 7 = 4 , -11 mod 7 = 3 , 10 mod 5 = 0 • (a mod n) ≡ (b mod n) 를 만족하면 a 와 b 는 congruent modulo n 라고 한다. • 표기 : a ≡ b (mod n) • 예 : 73 ≡ 4 ( mod 23) , 21 ≡ -9 (mod 10) • b|a ⇔ a=mb 를 만족하는 정수 m 이 존재 • 이때 b는 a의 divisor라 한다. 41

42. 2.2 모듈러 연산 • 합동식 • a b mod m, m | (a–b) • 완전 잉여계(complete residue system) • Zm = {0, 1, 2, , m –1} • 기약 잉여계(reduced reside system) • Zm* = {aZm| gcd(a, m) = 1} • Euler 함수 •  (m) = | Zm*| 42

43. 2.2 모듈러 연산 • 특성 • a|1 이면 a= 1 또는 -1 • a|b 이고 b|a이면 a = b 또는 a = -b • a 가 0이 아니면 항상 a|0 • b|g 이고 b|h 이면 임의의 수 m, n에 대하여 b|(m*g+n*h) • n | (a-b) 이면 a ≡ b (mod n) • a=0 (mod n) ⇔ n |a • a ≡ b (mod n) 이면 b ≡ a (mod n) • a ≡ b (mod n) 이고 b ≡ c (mod n)이면 a ≡ c (mod n) 43

44. 2.2 모듈러 연산 • Zn ={0,1,2,3, … ,(n-1)} ⇔ Z / n Z • 임의의 Z(정수)를 n으로 나누었을 때의 나머지 집합 • Z8에서의 덧셈 44

45. 2.2 모듈러 연산 Z8에서의 곱셈 Z8에서의 역원 45

46. 2.2 모듈러 연산 • 성질 • (a+b) ≡ (a+c) (mod n) 이면 b ≡ c (mod n) • a, n 서로 소이고 a*b ≡ a*c (mod n) 이면 b ≡ c (mod n) • 6*3 ≡ 6*7 (mod 8) ≡ 2 (mod 8) • Zn는 곱셈에 대한 항등원을 가진 commutative ring • n 이 소수일때 field가 된다. 이것을 GF(p)라 한다. 46

47. 2.2 모듈러 연산 • 양의 정수 n과 정수 a가 주어지고, a를 n으로 나눈다면, 다음과 같은 관계를 가지는 몫 q와 나머지 r을 얻는다. • a = qn + r 0 ≤ r〈 n; q = a/n •  x는 x보다 작거나 또는 같은 가장 큰 정수이다. • 선은 0에서 출발하고 있으며 n, 2n을 통과하여 qn까지 진행 • qn≤a 그리고 (q+1)n 〉a을 만족 • qn부터 a까지의 거리는 r이며, • q와 r의 유일한 값을 찾을 수 있다. • 나머지 r은 잉여(residue)라고 한다. 47

48. 2.2 모듈러 연산 a = 11; n = 7; 11 = 1 × 7 + 4; r = 4 a = -11; n = 7; -11 = (-2) × 7 + 3; r = 3 • a가 정수이고 n이 양의 정수라면, a mod n을 n으로 a를 나누었을 때의 나머지라고 정의 • 정수 a에 대해, 다음과 같이 표기 • a = a/n × n + a (mod n) 11 mod 7 = 4; -11 mod 7 = 3 • 만약 (a mod n) = (b mod n)이라면, • 두 개의 정수 a와 b는 modulo n에 대해 합동이라고 한다. • a ≡ b mod n으로 표기한다. 73 ≡ 4 mod 23; 21 ≡ -9 mod 10 48

49. 2.2 모듈러 연산 • a ≡ 0 mod n 이라면, 그때 n|a이다. • modulo 연산자의 속성 1) n|(a-b)라면 a ≡ b mod n 2) (a mod n) = (b mod n)은 a ≡ b mod n 3) a ≡ b mod n은  b ≡ a mod n 4) a ≡ b mod n과 b ≡ c mod n은 a ≡ c mod n a - b = = n × k ; a ≡ b mod n 23 - 8 = 15 = 5 × 3 ; 23 ≡ 8 (mod 5) -11 - 5 = -16 = 8 ×(-2) ;  -11 ≡ 5 (mod 8) 81 - 0 = 81 = 27 × 3 ;  81 ≡ 0 (mod 27) 49

50. 2.2 모듈러 연산 • 모듈러 산술연산(Modular Arithmetic Operation) 1) [(a mod n) + (b mod n)] mod n = (a+b) mod n 2) [(a mod n) - (b mod n)] mod n = (a-b) mod n 3) [(a mod n) × (b mod n)] mod n = (a×b) mod n 11 mod 8 = 3; 15 mod 8 = 7 1) [(11 mod 8) + (15 mod 8)] mod 8 = 10 mod 8 = 2 (11 + 15) mod 8 = 26 mod 8 = 2 2) [(11 mod 8) - (15 mod 8)] mod 8 = -4 mod 8 = 4 (11 - 15) mod 8 = -4 mod 8 = 4 3) [(11 mod 8) × (15 mod 8)] mod 8 = 21 mod 8 = 5 (11 × 15) mod 8 = 165 mod 8 = 5 50