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Movimento oscilat ó rio e Caos

Movimento oscilat ó rio e Caos. Do mais simples para o mais complicado. MHS  Amortecimento  Não linearidade  Caos. Nas aulas anteriores. {. Hoje. Movimento Harmônico Simples. Na penúltima aula: Pêndulo simples. . Movimento Harmônico Simples. Hoje: pêndulo

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Movimento oscilat ó rio e Caos

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Presentation Transcript

  1. Movimento oscilatório e Caos

  2. Do mais simples para o mais complicado ... • MHS •  • Amortecimento •  • Não linearidade •  • Caos Nas aulas anteriores { Hoje

  3. Movimento Harmônico Simples Na penúltima aula: Pêndulo simples 

  4. Movimento Harmônico Simples • Hoje: pêndulo • não-linear sen()   forçado FDsen(Dt) • amortecido -b d/dt 

  5. Decompondo PR=T FR=0 F= P+Fext +Famort Mas s=l

  6. P=-mg sen() Fext=FDsen(Dt) Famort=-b d/dt Tomando FD/ml e q b/ml

  7. Juntando 1 equação diferencial não-linear não-homogênea de 2a ordem Solução desconhecida!

  8. Aplicar o Método de Euler-Cromer Transformar 1 equação diferencial de 2a ordem em 2 equações diferenciais de 1a ordem

  9. Como aplicar o Método de Euler-Cromer? 2 equações de 1a ordem

  10. Iterando  Igual a aulas anteriores i+t= i+ i+1t

  11. Iterando 

  12. Iterando  i+t= i– (g/l)senit-qit+sen(Dti) t diferente das aulas anteriores

  13. O programa Inicializa 0=... e 0=... { i+t= i- (g/l)senit -qit+sen(Dti) t Itera (até n) i+t= i+ i+1t Print, write ... Imprime

  14. Testando o programa l =1m g = 9,8 m/s2 t= 0,04 s 0= 0 = 0 q= 0 0=0,2 rad sen(0)=0,199  sen(0) 0

  15. Rodando o programa 0=0,2 rad sen(0)= 0,199  sen(0) 0 Ok !

  16. Amortecimento Sub-crítico crítico

  17. Amortecimento

  18. l =9.8 m g = 9,8 m/s2 Força externa =2 t= 0,04 s 0= 0 0= 0.02 q= 0.625 = 0.0 transiente

  19. Força externa q= 0.625 = 0 = 0.5 = 1.2 transiente

  20. l =9.8 m g = 9,8 m/s2 Força externa t= 0,04 s q= 0.5 0= 0 0= 0.02 CAOS!

  21. Força externa l =9.8 m g = 9,8 m/s2 t= 0,04 s 0= 0 0= 0.02 q= 0.5

  22. Caos Um sistema pode obedecer às leis determinísticas da física e ainda assim ter seu comportamento não predizível devido a uma extrema sensibilidade às condições iniciais Esse sistema é dito caótico

  23. Trajetória no espaço de fase 0= 0.02 q= 0.5 = 0.5 Sem caos

  24. Trajetória no espaço de fase 0= 0.02 q= 0.5 = 1.2 Tf=60s Caos

  25. Caos Tf=360s

  26. Sensibilidade às condições iniciais = 0.5 (t=0)=0.001  ~ et ~-0.25 < 0

  27. Expoente de Liapunov = 1.2 (t=0)=0.001  ~ et > 0

  28. Caos =0.5 Sem caos < 0 =1.2 > 0 Caos  > 0.5  < 1.2 Transição:= 0

  29. Bifurcação • Para cada  (FD) calcula-se (t) • Depois de 300 períodos (transiente vai a zero) • Até 400 períodos • Pegar  para t em fase com a força externa: Dt=n

  30. Bifurcação

  31. Referência • Computational Physics Nicholas J. Giordano

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