La valeur des flux monétaires actualisés

1. Chapitre 6 La valeur des flux monétaires actualisés

2. Concepts clés et apprentissage • Être capable de calculer la valeur capitalisée de flux monétaires multiples. • Être capable de calculer la valeur actualisée de flux monétaires multiples. • Être capable de calculer les remboursements de prêts. • Savoir calculer le taux d’intérêt d’un prêt. • Comprendre comment les prêts sont amortis et remboursés. • Comprendre les différentes cotations des taux d’intérêt.

3. Organisation du chapitre • Les valeurs capitalisées et actualisées de flux monétaires multiples • L’évaluation de flux monétaires constants : l’annuité et la perpétuité • La comparaison des taux : l’effet des intérêts composés • Les différents types de prêts et l’amortissement des prêts • Résumé et conclusions

4. Les flux monétaires multiples– Exemple 6.1 du livre • Vous croyez être en mesure de déposer 4 000 $ à la fin de l’année, au cours des trois prochaines années, dans un compte bancaire qui vous offre un taux d’intérêt de 8 %. Le solde de votre compte est actuellement de 7 000 $. Quel sera votre solde dans trois ans ?

5. Exemple 6.1 (suite) • Trouvez la valeur à l’année 3 de chaque flux monétaires et additionnez les montants obtenus. • Formule • Aujourd’hui (Année 0) : VC = 7 000 (1,08)3= 8 817,98 • Année 1 : VC = 4 000 (1,08)2 = 4 665,60 • Année 2 : VC = 4 000 (1,08) = 4 320 • Année 3 : valeur = 4 000 • Valeur totale dans 3 ans = 8 817,98 + 4 665,60 + 4 320 + 4 000 = 21 803,58 $

6. Les flux monétaires multiples – Valeur capitalisée – Exemple 1 • Supposons que vous investissez 500 $ dans un fonds mutuel aujourd’hui et 600 $ dans un an. Si le fonds rapporte 9 % annuellement, combien aurez-vous dans deux ans ? • Formule • VC = 500 (1,09)2 + 600 (1,09) = 1 248,05 $

7. Les flux monétaires multiples – Valeur capitalisée – Exemple 1(suite) • Combien aurez-vous dans 5 ans si vous ne faites aucun dépôt supplémentaire ? • Formule • Façon 1 : • VC = 500 (1,09)5 + 600 (1,09)4 = 1 616,26 $ • Façon 2 – utilise la valeur à l’année 2 : • VC = 1 248,05 (1,09)3 = 1 616,26 $

8. Les flux monétaires multiples – Valeur capitalisée – Exemple 2 • Supposons que vous prévoyez déposer 100 $ dans un compte l’année prochaine et 300 $ dans trois ans. Combien aurez-vous dans votre compte dans 5 ans si le taux d’intérêt est de 8 % ? • Formule • VC = 100 (1,08)4 + 300 (1,08)2 = 136,05 + 349,92 = 485,97 $

9. Les flux monétaires multiples – Exemple 6.3 du livre • On vous offre un investissement qui rapportera 200 $ à la première année, 400 $ après la deuxième, 600 $ après la troisième et 800 $ à la fin de la quatrième année. Vous pouvez obtenir un taux d’intérêt de 12 % pour d’autres investissements du même type. Quel montant êtes-vous prêt à payer pour cet investissement ?

10. 0 1 2 3 4 200 400 600 800 178,57 318,88 427,07 508,41 1 432,93 Les flux monétaires multiples – Exemple 6.3 du livre – Schéma temporel

11. Les flux monétaires multiples – Exemple 6.3 du livre(suite) • Trouvez la valeur présente de chaque flux monétaire et additionnez les montants obtenus. • Formules • Année 1 FM : 200 / (1,12)1 = 178,57 • Année 2 FM : 400 / (1,12)2 = 318,88 • Année 3 FM : 600 / (1,12)3 = 427,07 • Année 4 FM : 800 / (1,12)4 = 508,41 • Total VA = 178,57 + 318,88 + 427,07 + 508,41 = 1 432,93 $

12. Les flux monétaires multiples et l’utilisation d’un tableur • Vous pouvez utiliser les fonctions VA ou VC de Excel pour trouver la valeur présente ou la valeur future de flux monétaires multiples. • Ordonner correctement les données est d’une importance cruciale – on peut à ce moment les copier directement dans les formules. • Cliquez sur l’icône Excel pour un exemple.

13. Les flux monétaires multiples – Valeur actualisée – Exemple 1 • Vous étudiez présentement la possibilité de faire un investissement qui vous rapporterait 1 000 $ à l’année 1, 2 000 $ à l’année 2 et 3 000 $ à l’année 3. Si vous souhaitez un taux de rendement de 10 %, combien seriez-vous prêt à investir ?

14. Les flux monétaires multiples – Valeur actualisée – Exemple 1(suite) • Formule • VA = 1 000 / (1,1)1 = 909,09 • VA = 2 000 / (1,1)2 = 1 652,89 • VA = 3 000 / (1,1)3 = 2 253,94 • VA = 909,09 + 1 652,89 + 2 253,94 = 4 815,93 $

15. Décisions, décisions… • Votre courtier vous appelle pour vous faire part d’une opportunité d’investissement. Si vous investissez 100 $ aujourd’hui, vous recevrez 40 $ dans un an et 75 $ dans deux ans. Si vous demandez un taux de rendement de 15 %, devriez-vous saisir cette opportunité ? • Non – le courtier vous charge plus que ce que vous seriez prêt à payer.

16. L’épargne pour la retraite • On vous offre la possibilité de mettre de l’argent de côté pour votre retraite. Vous recevrez cinq paiements annuels de 25 000 $ chacun, commençant dans quarante ans. Combien êtes-vous prêt à investir aujourd’hui si vous exigez un taux de rendement de 12 % ?

17. L’épargne pour la retraite – Schéma temporel 0 1 2 … 39 40 41 42 43 44 0 0 0 … 0 25K 25K 25K 25K 25K Notez qu’à l’année 0, le flux monétaire = 0 (FM0 = 0) Les flux monétaires des années 1 – 39 sont de 0 Les flux monétaires des années 40 – 44 sont de 25 000 $

18. Quiz minute – Première partie • Supposons que vous étudiez la possibilité d’obtenir les flux monétaires suivants : Année 1 FM = 100 $ ; Années 2 et 3 FM = 200 $ ; Années 4 et 5 FM = 300 $. Le taux d’actualisation exigé est de 7 %. • Quelle est la valeur des flux monétaires à l’année 5 ? • Quelle est la valeur des flux monétaires aujourd’hui ? • Quelle est la valeur des flux monétaires à l’année 3 ?

19. Annuités et perpétuités • Annuité – Flux monétaire constant versé régulièrement sur une période donnée. • Perpétuité – Annuité dont les flux monétaires ne cessent jamais.

20. Annuités et perpétuités – Formules de base • Perpétuités : VA = C / r • Annuités :

21. Annuité – Exemple 6.5 du livre • Après avoir soigneusement révisé votre budget, vous déterminez que vous disposez de 632 $ par mois pour une nouvelle voiture sport. En consultant le site Internet de votre banque, vous apprenez que le taux d’intérêt est de 1 % par mois pour 48 mois. Combien pouvez-vous emprunter ?

22. Annuité – Exemple 6.5 du livre (suite) • Vous empruntez l’argent aujourd’hui et donc, vous devez déterminer la valeur présente. • Formule

23. Annuités et utilisation d’un tableur – Exemple • Les formules de valeurs actualisées et capitalisées dans Excel incluent un espace pour les annuités. • Cliquez sur l’icône Excel pour un exemple.

24. Quiz minute – Deuxième partie • Vous connaissez les paiements pour le remboursement d’un prêt et vous voulez savoir le montant qui a été emprunté. Devez-vous calculer la valeur présente ou la valeur future ? • À votre retraite, vous souhaitez recevoir 5 000 $ par mois. Si vous profitez d’un taux mensuel de 0,75 % et que vous prévoyez avoir besoin de l’annuité pendant 25 ans, de combien d’argent aurez-vous besoin au moment de votre retraite ?

25. Trouver le versement • Supposons que vous souhaitiez emprunter 20 000 $ pour l’achat d’une nouvelle voiture. Vous profitez d’un taux annuel de 8 %, composé mensuellement : (8 % / 12 = 0,66667 %). Si vous contractez un prêt de 4 ans, quel sera votre paiement mensuel ? • Formule • 20 000 = C [1 – 1 / 1,006666748] / 0,0066667 • C = 488,26 $

26. Trouver le versement et l’utilisation d’un tableur – Exemple • La formule pour le montant du paiement peut être trouvée dans Excel. • VPM (taux, npm, VA, VC) • Cliquez sur l’icône Excel pour un exemple.

27. Trouver le nombre de versements – Exemple 6.6 du livre • Vous avez manqué d’un peu d’argent à la fin de vos vacances de février et vous avez donc décidé d’utiliser votre carte de crédit pour un montant de 1 000 $. Vous êtes en mesure d’effectuer les versements minimaux de 20 $ par mois, mais pas davantage. Le taux d’intérêt de votre carte est de 1,5 % par mois. Combien de temps vous faudra-t-il pour rembourser les 1 000 $ ?

28. Trouver le nombre de versements – Exemple 6.6 du livre(suite) • Formule • Utilisez l’équation de base tout en vous souvenant de vos logarithmes. • 1 000 = 20 (1 – 1 / 1,015t) / 0,015 • 0,75 = 1 – 1 / 1,015t • 1 / 1,015t = 0,25 • 1 / 0,25 = 1,015t • t = ln (1 / 0,25) / ln (1,015) = 93,111 mois = 7,76 années • Et ce, seulement si vous ne chargez rien de plus sur votre carte de crédit !

29. Trouver le nombre de versements – Exemple 1 • Supposons que vous empruntez 2 000 $ à 5 % et que vous ferez des paiements annuels de 734,42 $. Combien de temps cela prendra-t-il avant que vous ne remboursiez votre prêt ?

30. Trouver le nombre de versements– Exemple 1(suite) • Formule • 2 000 = 734,42 (1 – 1 / 1,05t) / 0,05 • 0,136161869 = 1 – 1 / 1,05t • 1 / 1,05t = 0,863838131 • 1,157624287 = 1,05t • t = ln (1,157624287) / ln (1,05) = 3 ans

31. Annuités – Trouver le taux de rendement exigé sans avoir recours à un tableur Excel • Méthode d’essais et erreurs • Choisissez un taux d’intérêt et calculez la VA des paiements en vous basant sur ce taux. • Comparez la VA trouvée ainsi avec la valeur actuelle de l’emprunt. • Si la VA calculée > emprunt, alors le taux d’intérêt est trop bas. • Si la VA calculée < emprunt, alors le taux d’intérêt est trop élevé. • Ajustez le taux d’intérêt et répétez le processus jusqu’à ce que la VA soit égale au montant de l’emprunt.

32. Quiz minute – Troisième partie • Vous voulez recevoir 5 000 $ par mois pour les 5 prochaines années. Combien devez-vous déposer aujourd’hui si vous profitez d’un taux mensuel de 0,75 % ? • Quel est le taux mensuel requis si vous avez seulement 200 000 $ à déposer ? • Supposons que vous avez 200 000 $ à déposer et que vous profitez d’un taux de 0,75 % par mois. • Pendant combien de mois pourrez-vous retirer le versement mensuel de 5 000 $ ? • Combien pourrez-vous recevoir chaque mois pendant 5 ans ?

33. Valeur capitalisée des annuités – Exemple 1 • Supposons que vous épargnez pour votre retraite en déposant 2 000 $ par année dans un REÉR. Si le taux d’intérêt est de 7,5 %, combien aurez-vous dans 40 ans ? • Formule • VC = 2 000 (1 07540 – 1) / 0,075 = 454 513,04 $

34. Annuité de début de période – Exemple 1 • Vous épargnez pour l’achat d’une maison et vous déposez 10 000 $ par année dans un compte bancaire rapportant un taux de 8 % capitalisé annuellement. Le premier versement est fait aujourd’hui. Combien aurez-vous à la fin de l’année 3 ?

35. Annuité de début de période – Schéma temporel 0 1 2 3 10 000 10 000 10 000 32 464 35 061,12

36. Annuité de début de période – Exemple 1(suite) • Formule VC = 10 000 [(1,083 – 1) / 0,08] (1,08) = 35 061,12 $

37. Perpétuité – Exemple 6.8 du livre • Supposons que la Banque de Dépôt du Canada décide de vendre des actions privilégiées au coût de 100 $ par action. Une émission semblable d’actions privilégiées déjà en circulation coûte 40 $ par action et offre un dividende de 1 $ chaque trimestre. Quel dividende la Banque Nationale doit-elle proposer pour assurer la popularité de ses actions privilégiées ?

38. Perpétuité – Exemple 6.8 du livre (suite) • Formule perpétuité : VA = C / r • Tout d’abord, il faut déterminer le taux de rendement requis pour les actions déjà en circulation : • 40 $ = 1 $ / r • r = 0,025 ou 2,5 % par trimestre • Maintenant, nous pouvons déterminer la perpétuité en utilisant le taux de rendement trouvé précédemment : • 100 $ = C / 0,025 • C = 2,50 $ par trimestre

39. Perpétuité en croissance • Les perpétuités dont nous avons discuté précédemment constituent des annuités avec versements constants. • Les perpétuités en croissance sont des flux monétaires qui croissent à un taux constant et dont la croissance est infinie. • Formule des perpétuités en croissance :

40. Perpétuité en croissance – Exemple 1 • On anticipe que Hoffstein Corporation paiera un dividende de 3 $ par action l’an prochain. Les investisseurs anticipent que le dividende annuel augmentera de 6 % par année et ce, à perpétuité. Le taux de rendement exigé est de 11 %. Quel est le prix actuel de l’action ?

41. Annuité en croissance • Les annuités en croissance ont un nombre fini de flux monétaires croissants. • Formule des annuités en croissance :

42. Annuité en croissance – Exemple 1 • Gilles Lebouder s’est fait offrir un emploi rapportant 50 000 $ annuellement. Il prévoit que son salaire augmentera à un taux de 5 % par année jusqu’à sa retraite, dans 40 ans. Si le taux d’intérêt est de 8 %, quelle est la valeur actualisée de son salaire à vie ?

43. Quiz minute – Quatrième partie • Vous voulez disposer d’un million $ au moment de votre retraite, c’est-à-dire dans 35 ans. Si vous obtenez un taux de 1 % par mois, combien devrez-vous déposer mensuellement si le premier versement est fait dans un mois ? • Que se passe-t-il si le premier versement est fait aujourd’hui ? • Vous étudiez la possibilité d’acheter une action privilégiée qui rapporte des dividendes trimestriels de 1,50 $. Si votre taux de rendement exigé est de 3 % par trimestre, combien serez-vous prêt à payer pour cette action ?

44. Tableau 6.2

45. Le taux d’intérêt annuel effectif • Taux d’intérêt présenté comme s’il était calculé une fois par année. • Si vous voulez faire la comparaison entre deux investissements différents, vous devez calculer le taux d’intérêt effectif pour les deux options et utiliser ce critère à des fins de comparaison.

46. Taux nominal annuel • C’est ce taux qui est requis par la loi. • Par définition, le taux nominal = taux périodique  nombre de périodes par année • Conséquemment, pour obtenir le taux périodique, on réarrange l’équation du taux nominal : • Taux périodique = Taux nominal / Nombre de périodes dans une année • Vous ne devez JAMAIS diviser le taux effectif par le nombre de périodes par année. Cette façon de faire ne vous donnera pas le taux effectif.

47. Calcul des taux nominaux annuels • Quel est le taux nominal annuel si le taux mensuel est de 0,5 % ? • 0,5 (12) = 6 % • Quel est le taux nominal annuel si le taux semestriel est de 0,5 % ? • 0,5 (2) = 1 % • Quel est le taux mensuel si le taux nominal annuel est de 12 % composé mensuellement ? • 12 / 12 = 1 % • Pouvez-vous diviser le taux nominal annuel ci-dessus par 2 pour obtenir le taux semestriel ? NON !!! Il vous faut un taux nominal annuel capitalisé semestriellement pour trouver le taux semestriel.

48. Éléments à se rappeler • Vous devez TOUJOURS vous assurer que le taux d’intérêt et la période de temps sont assortis. • Si vous êtes en présence de périodes annuelles, vous avez besoin d’un taux annuel. • Si vous êtes en présence de périodes mensuelles,vous avez besoin d’un taux mensuel. • Si vous avez un taux nominal annuel composé mensuellement, vous devez utiliser des périodes mensuelles, ou ajuster le taux d’intérêt de façon appropriée si vous êtes en face de versements qui ne sont pas mensuels.

49. Calcul du taux annuel effectif – Exemple 1 • Supposons que vous puissiez obtenir 1 % par mois sur 1 $ investi aujourd’hui. • Quel est le taux annuel nominal ? 1 (12) = 12 % • Quel est le taux effectif ? • VC = 1 (1,01)12 = 1,1268 $ • Taux = (1,1268 – 1) / 1 = 0,1268 = 12,68 % • Supposons que vous investissiez votre dollar dans un autre compte rapportant 3 % trimestriellement. • Quel est le taux nominal annuel ? 3 (4) = 12 % • Quel est le taux effectif ? • VC = 1 (1,03)4 = 1,1255 $ • Taux = (1,1255 – 1) / 1 = 0,1255 = 12,55 %

50. Formule du taux effectif annuel Rappelez-vous que le taux nominal est celui qui est requis par la loi.