1 / 35

Los 17 grupos cristalográficos planos

Los 17 grupos cristalográficos planos. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. Capítulo 2. Procedimiento general. Clasificaremos los grupos cristalográficos usando su retículo y grupo puntual. De G se obtienen T,J . De T se obtiene el retículo L.

dalton-nielsen
Download Presentation

Los 17 grupos cristalográficos planos

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Los 17 grupos cristalográficos planos Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. Capítulo 2. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2010-2011

  2. Procedimiento general • Clasificaremos los grupos cristalográficos usando su retículo y grupo puntual. • De G se obtienen T,J. • De T se obtiene el retículo L. • J debe ser un subgrupo del grupo de isometrías lineales que fijan L. • En algunos casos, hay varias posibilidades para G a partir de los mismos T y J. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  3. Retículo oblicuo • En este caso, las unicas isometrías lineales que dejan fijo el retículo son Id, Aπ • Los posibles subgrupos de {Id,Aπ} son • {Id} • {Id,Aπ} Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  4. (p1) Si el grupo de isometrías lineales es {Id}, G=T Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  5. (p2) Si J={Id,Aπ}, aparece una rotación de ángulo π Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  6. Retículo rectangular • Las isometrías lineales que son simetrías de un retículo rectangular son {Id,Aπ,B0,Bπ}. • Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a ser J, son: • {Id} (p1) • {Id,Aπ} (p2) • {Id,B0} • {Id,Bπ} (análogo al anterior) • {Id,Aπ,B0,Bπ} Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  7. (pm) J={Id,Bπ}, si Bπ viene de una reflexión en G (ídem con B0) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  8. (pg) J={Id,Bπ}, si Bπ no viene de una reflexión en G (y por tanto viene de una reflexión con deslizamiento) (id. B0) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  9. (pmm) J={Id,Aπ,B0,Bπ} y B0,Bπ vienen de reflexiones en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  10. (pmg) • J={Id,Aπ,B0,Bπ} y sólo B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  11. (pgg) J={Id,Aπ,B0,Bπ} y no hay reflexiones en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  12. Retículo rectangular centrado • Las isometrías lineales que son simetrías vuelven a ser {Id,Aπ,B0,Bπ}. • Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a ser J, son: • {Id} (de nuevo es (p1)) • {Id,Aπ} (p2) • {Id,B0} o {Id, Bπ} • {Id,Aπ,B0,Bπ} Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  13. (cm) J={Id,Bπ}. Se demuestra que Bπ viene de una reflexión de G. (sería análogo con B0) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  14. (cmm) J={Id, Aπ,B0,Bπ}. Se demuestra que B0,Bπvienen de reflexiones Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  15. Retículo cuadrado • Las isometrías lineales que dejan fijo el retículo son D4=< Aπ/2,B0>. • Los únicos casos nuevos que aparecen corresponden a los subgrupos • <Aπ/2> • D4 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  16. (p4) • J=<Aπ/2>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  17. (p4m) J=D4y B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  18. (p4g) J=D4 y B0 (o Bπ) no viene de una reflexión en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  19. Retículo hexagonal • Las simetrías del retículo en este caso son D6=<Aπ/3,B0> • Los únicos subgrupos que suponen casos nuevos son • <A2π/3> • <A2π/3,B0> • <A2π/3,Bπ/3> • <Aπ/3> • <Aπ/3,B0> Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  20. (p3) • J=<A2π/3>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  21. (p31m) • J=<A2π/3,B0> y B0 viene de una reflexión en G. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  22. (p3m1) • J=<A2π/3,B π/3 >. Por tanto, no hay reflexiones con eje paralelo al retículo. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  23. (p6) • J=<Aπ/3>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  24. (p6m) J=D6. Se puede demostrar que B0 viene de una reflexión. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  25. Teselaciones aperiódicas • Penrose: “darts” and “kites”. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  26. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  27. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  28. Prob 15: Hawaii Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  29. Prob 15: Egipto1 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  30. Prob 15: Egipto2 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  31. Prob 15: Alhambra Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  32. Prob 15: Tapiz persa Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  33. Prob 15: Asiria Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  34. Prob 15: Linóleo (EEUU) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

  35. Prob 15: China Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

More Related