第 8 章 自 旋 (Spin)

1. 第8章 自 旋(Spin) §8.1电子自旋态与自旋算符 §8.2 总角动量的本征态 §8.3碱金属原子光谱双线结构域反常Zeeman效应 §8.4 自旋单态与三重态

2. S 电子的自旋假设 N 实验依据 1.斯特恩-盖拉赫实验(Stern-Gerlach)(1922年) S 态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。 氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 氢原子磁矩只有两种取向 即空间是量子化的

3. 分析： 设原子磁矩为M，外磁场为B 原子在Z方向外磁场中的势能是 磁矩与磁场之夹角 原子 Z向受力 若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带 但是实验结果是：出现的两条分立线对应cos  = -1和 +1，处于 S 态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。

4. 3p3/2 3s1/2 3p D1 D2 3p1/2 5893Å 5896Å 5890Å 3s 2.碱金属原子光谱线的精细结构 钠原子光谱中的一条亮黄线 5893Å，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。 其它原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释

5. 电子自旋假设 Uhlenbeck 和 Goudsmit1925年根据上述现象提出了电子自旋假设 （1）每个电子都具有自旋角动量， 它在空间任何方向上的 投影只能取两个数值： （2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为： Note:电子的自旋角动量绝对不是来源电子自身的旋转，而是电子 的内在属性

6. 自旋磁矩在空间任何方向上的投影，只能取两个数值：自旋磁矩在空间任何方向上的投影，只能取两个数值： Bohr 磁子 回转磁比率 电子自旋回转磁比率 电子轨道回转磁比率 电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍

7. §8.1 电子的自旋态与自旋算符 8.1.1电子自旋态的描述 电子不只是具有空间的三个自由度，还有一自旋自由度 旋量波函数（二分量） 物理意义：

8. 旋量波函数的归一化条件 若粒子的哈密顿可表示成空间部分和自旋部分之和，则波函数 可分离变量 自旋态波函数的一般形式 分别代表 的概率。 自旋波函数的归一化条件

9. 特例：sz的本征态 本征值 简写为 α，β构成一组完备基，任意自旋态波函数可用其展开 则电子的旋量波函数(1)可以写成

10. 8.1.2 电子自旋算符， Pauli矩阵 1.自旋算符 自旋角动量的对易关系 引入无量纲的Pauli算符 则 或

11. 则有 由于自旋沿任何方向的投影只能取 则 由(11),(13)得 上面两式子相加可得反对易关系 反对易关系 由(11),(14)得

12. 由(13),(15)可写成 Pauli算符的厄米性： 练习1 证明 其中A,B是与σ对易的任何两个矢量 证明：

13. 显然利用上式子有 练习2 证明 设A与σ对易 证明： 另一等号类似证明

14. 2. Pauli表象(sz表象，σz表象) 在σz表象中， σz 的矩阵是 设 ，则根据 得 则 利用 得

15. 则 令 ，则 利用 得 取α=0，则得到Pauli矩阵

16. 则在Pauli表象中有 练习 令 可以证明有 所以 称为自旋z分量的升、降算符

17. §8.2 总角动量的本征态 1.总角动量 电子的轨道-自旋耦合 引入轨道-自旋耦合后，轨道和自旋角动量均不是守恒量，但 它们之和是守恒量。 总角动量 对易关系 令 可证明：

18. 则轨道角动量的平方仍是守恒量 2.总角动量的本征态 中心力场中电子的能量本征态可选一组相互对易的守恒量完全集(H, L2, j2, jz)的共同本征函数，而空间角度部分和自旋 部分的波函数可取(L2, j2, jz)的共同本征函数。 注： 在(θ, φ, sz)表象中，设(L2, j2, jz)的共同本征函数为：

19. (1)ϕ是L2的本征态 令 即 即ϕ1和ϕ2都是l2的本征态，对应的本征值都为C (2)ϕ是 jz 的本征态，则 即 则

20. 即ϕ1和ϕ2都是lz的本征态，对应的本征值相差 因此式(9)可写成 易见： (3)ϕ是j2的本征态，则

21. 在Pauli表象中有 其中 (13)代入(12)，并利用 可得到

22. 方程组(14)有非平庸解得充要条件是 解得 或写成

23. 将j=l + ½ 代入方程(14)得 将j =l- ½ (l≠0) 代入方程(14)得 将(18), (19)代入(10)，并利用归一化条件可得 对j=l + ½ 对j=l - ½ (l≠0)

24. (4)量子数的取值范围与本征值 本征值： 量子数的取值范围： 在(20a)中 共2j+1个

25. 在(20b)中 (因为m=l时，ϕ=0无意义) (因为m=-l-1时，ϕ=0无意义) 则 共2j+1个

26. 概括： (L2, j2, jz)的共同本征函数是ϕljmj, 本征值分别是 对

27. 对

28. 对 l =0的情况，不存在轨道自旋耦合，此时 相应的波函数是

29. 练习1 证明： 则

30. 练习2 解： 对

31. 则 同理可求

32. 练习3. 证明 证明： 则 所以 又因为 归一化 并利用

33. 可得 即 同理可证

34. 三种角动量的对比及其耦合 角动量 角量子数 磁量子数 对易关系 力学量完全集 共同本征函数

35. 本征方程

36. §8.3碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应§8.3碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应 8.3.1 碱金属原子光谱的双线结构 价电子的哈密顿为 选守恒量完全集 ，其共同本征函数是 代入能量本征方程

37. 则得径向方程 对于给定的屏蔽库仑场V(r),可分别解出上述方程，电子的能量 本征值与量子数(n,l,j)都有关系，是(2j+1)重简并 因此

38. 即j = l+1/2的能级高于j = l-1/2的能级，但由于轨道-自旋耦合 很小，这两条能级靠得很近。这就是造成光谱双线结构。 能级分裂 随原子序数Z的增大而增大。 Na原子的电子组态：

39. 8.3.2 反常Zeeman效应 正常Zeeman效应： 在强磁场中原子光谱发生分裂（一般为3条） 的现象，称为正常Zeeman效应。 不考虑电子的自旋，则在外场存在时电子的哈密顿量为 选 为守恒量完全集，其共同本征函数为 相应的能量本征值为 称为Larmor频率

40. 1 3p 0 -1 3s 0 m 就是屏蔽库仑场V(r)中粒子能量本征方程得本征值 该能级(2l+1)重简并，在外磁场的作用下，能级分裂成(2l+1)条 如Na原子最低两条能级在外场中的分裂 有外场 无外场

41. 反常Zeeman效应 考虑轨道和自旋磁矩与外场的相互作用，若外场很强，不考虑 轨道-自旋耦合，则哈密顿量为 选守恒量完全集 ，其共同本征函数是 相应的本征能量为

42. 显然，与不考虑电子的自旋时的能级相比，能级虽有变化，但 考虑到跃迁规则Δms=0，谱线的三分裂现象没有变化。 若外场很弱，自旋-轨道耦合不能忽略，此时加电子的哈密顿为 若忽略哈密顿中的最后一项，则守恒量完全集是 共同本征函数 能量本真值

43. 无外场时，能级Enlj是(2j+1)重简并；有外场时，能级分裂成无外场时，能级Enlj是(2j+1)重简并；有外场时，能级分裂成 (2j+1)条，偶数条，这就是反常Zeeman效应。

44. 钠黄线的反常Zeeman效应分裂

45. §8.4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态 1.(S2, Sz)的共同本征函数 设有两个电子自旋记为s1和s2，令两自旋之和为 显然有 令 则

46. 选(s1z，s2z)为对易自旋力学量完全集，则它们的共同本征选(s1z，s2z)为对易自旋力学量完全集，则它们的共同本征 函数为 显然它们也是Sz = s1z+s2z的本征态，本征值分别是 利用 可以证明

47. 令 则 可得

48. 上述方程有非平庸解得条件是 解得 代入方程(11)得: 则可得S2的另外两个归一化的本征函数为 令S2的本征值记为

49. 记(S2,sz)的共同本征函数为 的三个态为自旋三重态，而S=0, Ms=0的态为自旋单态 2.非耦合表象与耦合表象 非耦合表象： (s1z, s2z)的共同本征函数

50. 耦合表象: (s2, sz)的共同本征函数 可分离态与纠缠态： 由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果 能够表示为每个粒子量子态的直积，则成为可分离态，反之，称 为纠缠态。