4 The z-transform การแปลงแซด

4 The z-transformการแปลงแซด รศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เป้าหมาย • นศ รู้จักความหมายของการแปลง แซด • นศ เข้าใจประโยชน์และการนำการแปลงแซด ไปใช้งาน EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทำไมต้องแปลงแซด ? • เราใช้การแปลง DTFT เพื่อช่วยในการวิเคราะห์สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลาโดยใช้ • และยิ่งมีประโยชน์ ในการวิเคราะห์ในเชิงความถี่ • แต่ DTFT เป็นการแปลงที่ใช้กับสัญญาณ steady–state(เช่น cos และ sin ) แต่ใช้กับสัญญาณที่สำคัญบางอย่างไม่ได้ เช่น u(n) หรือ nu(n) • การแปลงแซด (Z-transform) ให้คำตอบได้ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Im Re การแปลงแซด (z-Transform) • สำหรับ สัญญาณ x(n) จะมีการแปลงแซดเป็น • z หมายถึง “ตัวแปรเชิงซ้อน” ซึ่งเราจะให้เป็น • ซึ่งมีความหมายถึง “ขนาด” และ “เฟส” EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การแปลงแซด (z-transform) (ต่อ) หาก “ขนาด” มีค่า เท่า หนึ่ง ( ) จะได้ เราจะได้ ว่า การแปลง z กลายเป็นการแปลงฟูเรียร์ การแปลงฟูริเยร์เป็นกรณีพิเศษ ของการแปลงแซด EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่าง 1 0.8 h(n) 0.7 0.6 n 1 -1 2 0 วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

คูณสมบัติการแปลงแซดที่สำคัญคูณสมบัติการแปลงแซดที่สำคัญ • การเลื่อน • การประสาน • การคูณ x(n) ด้วย n EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การแปลง z ผกผัน (Inversion of the z-Transform) • เพื่อแปลงกลับจาก โดเมนแซดไปเป็นโดเมนเวลา • พิจารณา • จัดอยู่ในรูป EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สูตรการแปลงที่สำคัญ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Delay • อิมพัลส์ ที่ถูก หน่วงเวลา EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สูตรการแปลงที่สำคัญ • การแปลงคู่คอนจูเกต (Conjugate pair) EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

โพลสามกรณี • โพลเป็นจำนวนจริงไม่ซ้ำค่า • โพลเป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ซ้ำค่า • โพลเป็นจำนวนซ้ำค่า • ใช้วิธี Partial Fraction Expansion (PFE) EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

1.โพลเป็นจำนวนจริงไม่ซ้ำค่า1.โพลเป็นจำนวนจริงไม่ซ้ำค่า ตัวอย่าง วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา C1 และ C2 • หา C1 • หา C2 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ได้ผลการแปลงผกผันแซดเป็นได้ผลการแปลงผกผันแซดเป็น EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

2.โพลเป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ซ้ำค่า2.โพลเป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ซ้ำค่า Y(z) แสดงโดย ตัวอย่าง วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา C1 =0 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา C2 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แทนค่า C1 และ C2 จาก ตารางที่ 4.1 ข้อ 14 หน้า 46 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

3.โพลเป็นจำนวนซ้ำค่า ตัวอย่าง วิธีทำ หา C1 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา C2 หา C3 แทน z=1 ตรงๆเลย ไม่ได้ (เพราะอะไร?) และ สังเกต การติดค่า C1 ไว้ ต้องแทน C2=2 ลงไปก่อน EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

จัดสมการใหม่เพื่อหา C3 ใช้ การหา สลับเทอม 2 กับ3 แทนค่า z=1ในขั้นตอนนี้ เทอม C1 จะหายไปเองเมื่อ z=1 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แทนค่าลงไป EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ประโยชน์ของ z-Transform • 1. ช่วยในการหาผลตอบสนองในโดเมนเวลาของระบบ • 2. ช่วยหาผลการประสาน • 3.ช่วยหาเอาท์พุทของ difference equation EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

1 ช่วยในการหาผลตอบสนองในโดเมนเวลาของระบบ ตัวอย่าง วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

2. ช่วยหาผลการประสาน ตัวอย่าง วิธีทำ เราทราบว่า EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา inverse z-transform แปลงกลับ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

3.ช่วยหาเอาท์พุทของ difference equation ตัวอย่าง การหมุนของดาวเทียมแสดงได้ด้วย = ตำแหน่งมุม(angular position) = ทอร์ก (Torque) จากตัวขับ ให้หา y(n) ที่ x(n) เป็น วิธีทำ แปลง z EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ได้ Transfer function ขยายออกเป็น เมื่อ คูณกลับด้วย z ตำแหน่งมุม y(n) หาได้จากการแปลง z ผกผัน EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ฟังก์ชันถ่ายโอน (Transfer function) เราเรียก H(z) ว่าเป็น ฟังก์ชันถ่ายโอน (Transfer function) โดยที่ ข้อกำหนด 1 y(n)เอาท์พุทของระบบ มีการแปลง z หรือROC ของ h(n) จะต้อง overlap กับ ROC ของ x(n) จึงจะมี Y(z) จากระบบ LTI ที่มีสมการความแตกต่างเป็น EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หรือเขียนเป็น H(z) เราได้ zk= ซีโร่ pk =โพล EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หาผลตอบสนองความถี่จากการแปลง z ถ้า ROC ครอบคลุม unit circle จะหาผลตอบสนองความถี่ของระบบได้ Transfer function Magnitude response Phase response EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Im(z) เวคเตอร์จากโพล ไป unit circle: pk Re(z) Unit circle zl แสดงเวคเตอร์จากโพลและซีโร่ไปยัง unit circle เวคเตอร์จากซีโร่ ไป unit circle: EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สำหรับสัญญาณ y(n) ตัวอย่าง วิธีทำ โพลซีโร่ พล๊อต ผลตอบสนองความถี่ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สรุป • หาผลลัพท์การแปลงแซดได้ในบางกรณีที่ใช้การแปลง DTFT ไม่ได้ • สมการการแปลงแซดให้ความหมายมากกว่าหนึ่งสัญญาณโดเมนเวลา โดยแตกต่างกันตาม ROC • การแปลงแซดช่วยหาผลลัพธ์สมการผลต่างได้ • การแปลงแซดช่วยหาผลตอบสนองความถี่ได้ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

4 The z-transform การแปลงแซด