§6 重积分的应用

1. §6 重积分的应用

2. 教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力．教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． 教学内容：曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式．

3. 曲面的面积 • 重心 • 转动惯量 • 引力

4. 一、曲面和面积 求由方程 所确定的曲面 S的面积 对区域 D作分割 T ,

5. 曲面面积的计算公式 先计算 Ai的面积.

6. 所以若曲面方程为 则该曲面的面积 S为

7. 说明: 如果曲面方程为 则曲面面积 S： 如果曲面方程为 则有公式：

8. 例1 求圆锥 在圆柱体 内那一部分的面积. 解 所求面积的曲面的方程为 所以

9. 被柱面 所截 例. 计算双曲抛物面 出的面积 A . 则 解: 曲面在xoy面上投影为

10. 二、重心 设空间有n个质点, 分别位于 其质量分别为 由力学知, 该质点组的重心坐标为

11. 设空间物体 V , 有连续密度函数 求 V的重心坐标. 采用 “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 可导出其 重心坐标公式. 将 V分成n小块, 在第 i 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的质点, 其质量为 此质点组的重心坐标就近似该物体 的重心坐标. 例如,

12. 令各小区域的最大直径 即得 同理可得 其中 m为物体 V的质量，

13. 则 其中 V表示区域 V的体积

14. 其面密度为 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, 则它的重心坐标为 则 (SD为 D的面积)

15. 和 例. 求位于两圆 之间均匀薄片的重心. 解:利用对称性可知 而

16. 三、转动惯量 质点 A对于轴 l的转动惯量 J 等于 A的质量 m 和 A与转动轴 l的距离 r的平方的乘积, 即 质点组的转动惯量等于各质点 的转动惯量之和, 故连续体的转动 惯量可用积分计算.

17. 设 为空间物体 V的密度函数，求 V对 z轴的转动惯量. 在该物体位于( x , y , z ) 处取一微元， 其体积记为 dV，质量为 从而 到 z轴的距离为 对 z轴的转动惯量为 因此该物体 对 z 轴 的转动惯量:

18. 类似可得: 对 x轴的转动惯量 对 y轴的转动惯量 对原点的转动惯量 一般说来，若 V中的点 ( x , y , z ) 到转动轴 l的距离为 则转动惯量为

19. 对坐标平面的转动惯量分别为 对 xy平面的转动惯量 对 yz平面的转动惯量 对 xz平面的转动惯量

20. 面密度为 如果物体 D是平面薄片, 则转动惯量的表达式是二重积分. 一般说来，若 D中的点 ( x , y ) 到转动轴 l的距离为 则转动惯量为

21. 例4 求密度均匀的圆环 D对于垂直于圆环面 中心轴的转动惯量 解 设圆环 D为 密度为ρ，则 D中任一点 于是转动惯量 ( x , y ) 与转轴的距离为

22. 例. 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 的转动惯量. 解: 建立坐标系如图, 设薄片的密度为ρ，则 半圆薄片的质量

23. 例6. 设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量 解 建立坐标系如图, 设球体为 密度为 k为比例常数. 切平面方程为 z = R , 则球体对于该切平面的转动惯量为

24. 四、引力 的物体 V对物体外质量为 1 的 求密度为 的单位质点 A的引力 设 A点的坐标为 在该物体位于( x , y , z )处取一 微元，其体积记为 dV，质量为 对质点 A的引力为

25. 其中 k为引力常数， 该引力在坐标轴上的投影为 于是所求力在坐标轴上的投影分别为

26. 所以

27. 例7. 求密度 ρ的均匀球体 V： 对位于点 的单位质量质点的引力. 解:利用对称性知引力分量