ریاضیات در شرق

1. ریاضیات در شرق

2. ریاضیات ملتهای هند

3. خصوصیت دستگاه شمار هندی 1. مبنا را عدد 10 می گرفتند. 2. تکامل اصطلاحات مربوط به نامگذاری توانهای10

4. دستگاه شمار 1.دستگاه شمار موضعی یا دهدهی 2.دستگاه شمار غیر موضعی

5. دستگاه شمار غیر موضعی 1. ارقام کهاروشتا 2. ارقام برهما 3. دستگاه لفظی 4. دستگاه الفبایی

6. ارقام کهاروشتا این ارقام در شرق افغانستان امروزی و شمال پنجاب از سده چهارم پیش از میلاد تا سده سوم بعد از میلاد کاربرد داشته است.در این دستگاه عددها از راست به چپ نوشته میشود و علامتهای منفردی برای عددهای 1،4،10،20،100 وجود دارد. / :1× : 4 د :10 З: 20 /ξ: 100

7. ارقام کهاروشتا / // /// ×/×//×///××× 1 2 3 4 5 6 7 8 د ЗЗЗЗЗ د 10 20 40 50 ЗЗЗЗЗЗ د ЗЗЗЗ 60 70 80 /ξ //ξ ///ξ /Зξ// //ЗЗЗξد× 100 200 300 122 274

8. ارقام برهما این ارقام در کنار رقمهای کهاروشتا به طور وسیعی به کار می رفت.این ارقام از چپ به راست نوشته می شوند و برای 1،10،100،1000 علامت خاصی داشتند. این ارقام بدون تغییر بیش از 1000 سال بکار رفت.

9. ارقام برهما

10. دستگاه لفظی در این دستگاه رقمها با کلمات مختلف بیان می شدند. ثبت اعداد بدین گونه به غنای زبان سانسکریت و به ذخیره لغات آن از جهت مترادفهای بسیار ،کمک فراوان کرد. 1230: آسمان(0)-زمانها(3)-لبها(2)-زمین(1) 325108 : زمانها(3)-لبها(2)-تیرها(5)-زمین(1)-آسمان(0)-خدایان(8)

11. دستگاه لفظی 0: خالی،آسمان،سوراخ،بیحد(بیش از 15 کلمه) 1: شروع،ماه،زمین،بدن،برهمن(بیش از 39 کلمه) 2: توام،چشمها،لبها،زوج(بیش از 30 کلمه) 3: مقاصد،آشتیها،زمانها،آتش(بیش از 26 کلمه) 4: اقیانوسها،طبقه ها،دورانهای صلح،مراحل زندگی،قسمتهای عالم(بیش از 29 کلمه) 5: تیرها،عناصر،اندامهای حسی،قهرمانان افسانه ای مهابهارات(بیش از 9 کلمه) 6: طعمها،قسمتهای بدن،رنگها(بیش از 16 کلمه) 7: کوهها،دانشمندان(بیش از 28 کلمه) 8: مارها،خدایان،آرشها(بیش از 26 کلمه) 9: الهه ها(بیش از 15 کلمه) 10: انگشتان،مظاهر خدای ویشنا(بیش از 10 کلمه)

12. دستگاه الفبایی برای تغییر دستگاه لفظی در آثار ریاضی و نجومی، دستگاه شمار الفبایی بوجود آمد. هندیها فقط در رساله های ریاضی و نجومی از آن استفاده می کردند. این دستگاه به چند طریق وجود داشت. یکی از آنها از 16 حرف صدادار و 34 حرف بی صدا درست شده است بنابراین اعداد طبق قاعده زیر معین میشدند: m + (n-1) 34 که n شماره ردیف حرف صدادار و m شماره ردیف حرف بیصدا است .

13. دستگاه الفبایی کا = 3 ( ک حرف سوم بیصدا و ا حرف اول صدادار) پس : m=3 و n=1 34(1-1)+3=3 چو=142 (چ حرف ششم بیصدا و او حرف پنجم صدادار) پس : m=6 و n=5 34(5-1)+6=142

14. شرایط دستگاه شمار دهدهی موضعی 1. حذف علامت واحد ردیف 2. بکاربردن علامت صفر برای ردیفهای خالی 3. قبول عدد 10 به عنوان مبنای دستگاه شمار 4. ضرب ردیف در کمیت نوشته شده در ردیف تمام این شرایط در سده های نخستین میلادی در هند وجود داشته است .

15. حساب حساب و قسمتی از جبر ما از هند سرچشمه گرفته است. در حساب برای عددهای صحیح و کسری 8 عمل اصلی وجود دارد: 1. جمع 2. تفریق 3. ضرب 4. تقسیم 5.مجذور 6.جذر 7.مکعب 8. کعب

16. حساب شریدهارا 1296*21=(1000+200+90+6)*21= 21000+4200+1890+126=27216 بهاسکارا 135*12=135(12+8)-135*8 135*12=135(12-2)+135*2

17. حساب کسرها از خیلی قدیم در هند شناخته شده بودند. مجموع سه کسر به صورت زیر نوشته میشد:

18. حساب تفریق را به وسیله نقطه یا صلیب کوچک می نوشتند :

19. حساب کسر مرکب را به صورت روبرو نشان میدادند یا

20. حساب ضرب و تقسیم نیز بدین صورت نوشته میشد : ضرب : تقسیم : یا

21. حساب ریاضی دانهای هندی مسایل مربوط به تصاعدهای حسابی و هندسی را حل میکردند. شریدهارا تعبیر هندسی تصاعد حسابی را به صورت ذوزنقه متساوی الساقینی که ارتفاع آن مساوی تعداد جمله های تصاعد است، داده است.

22. جبر دانشمندان هندی در زمینه جبر موفقیتهای زیادی بدست آوردند.قاعده حل معادله درجه 2 را تعمیم دادند،عددهای منفی و گنگ را وارد عمل کردند . برای مقادیر مجهول ، جمله ثابت معادله و توان ، علامتهایی قرار دادند.

23. جبر علامت مجهول: یا از هجای اول کلمه یاوات-تاوات ( به معنی اندازه ) علامت جمله ثابت معادله: رو از هجای اول کلمه روپا ( به معنی کامل ) علامتهای توان : وارگا(مربع) ، گهانا(مکعب) ، گهاتا(برای جمع توانها)

24. جبر 197x-1644y-z=6302 معادله بالا ، چنین نوشته میشد: یعنی 197x-1644y-z+0= 0x+0y+0z+6302

25. جبر براهماگوپتا برای نخستین بار عددهای مثبت و منفی را بکار برد. اعداد مثبت به عنوان دارایی و اعداد منفی را به عنوان قرض تلقی کرد. همچنین برای اولین بار در آثار آریابهاتای اول به معادلات خطی برخورد میکنیم. در نوشته های مهاویرا به مسایلی بر می خوریم که به دستگاه دو معادله دو مجهولی منجر می شود. روشی که امروز برای حل این دستگاه به کار می رود ، تفاوتی با روش مهاویرا ندارد.

26. جبر معادله های به صورت جزو معادله های درجه اول به حساب می آمد. به حل معادله کامل درجه دوم برای نخستین بار در نوشته های آریابهاتای اول بر می خوریم.

27. جبر جواب این معادله را آریابهاتا چنین میدهد:

28. هندسه نخستین اطلاعات مربوط به هندسه را می توان از رساله قانون طنابها بدست آورد که در حقیقت یک رساله دستی برای معماران در کار ساختمان محرابها و معابد است. بسیاری از این ساختمانهای هندسی بر مبنای قضیه فیثاغورث انجام می گرفت.

29. هندسه اثبات قضیه مربوط به مساحت مثلث

30. هندسه اثبات قضیه مربوط به مساحت دایره

31. مثلثات • در هند پایه های مثلثات به عنوان آموزش مقادیر مثلثاتی گذاشته شد. از توابع مثلثاتی سینوس، کسینوس، سینوس- معکوس برای آنها معلوم بود. • مقادیر مثلثاتی را تنها در ربع اول دایره مورد مطالعه قرار می دادند.

32. مثلثات • روابط بین توابع مثلثاتی:

33. مثلثات • نیلاکانتا دانشمند هندی قرن شانزدهم ، رشته بینهایتی را بدون اثبات میدهد : با فرض به ازاء خواهیم داشت :

34. مثلثات • بسط سینوس و کسینوس

35. ریاضیات ملتهای چین

36. تاریخ کسرهای اعشاری در چین مطالعه ی یکی از رساله های قدیمی چینی به نام”رساله ی ریاضی سون تسه زی “مربوط به سده ی سوم میلادی سال رسمی بوجود آمدن کسرهای اعشاری :1585 کاشانی و دانشمندان اروپایی کسرهای اعشاری به قیاس عدد شماری شصتگانی ساختند ، در حالی که در چین به طور مستقل و بدون استفاده از کسرهای شصتگانی بوجود آمد

37. تاریخ کسرهای اعشاری در چین روابط تقریبی برای ریشه های گنگ : a+1/(2b+1)<1,a^2+b<a+1/2b واحدهایی برای طول چی:تسون، فن، لی،هااو،میااو،هو، (اگر عددی در حد این واحد قابل بیان نبود،باقیمانده را با کسر متعارفی نشان می داد ،مثلا :9 تسون7فن 7لی 8هااو 5میااو8هو 10/9هو) واحد اصلی :چی =>کسر برابر است با :0.9778589 واحداصلی:تسون=>کسر برابر است با :9.778589

38. تاریخ کسرهای اعشاری در چین مسئله ی مربوط به مبادله غلات:7 دوی و 9 شه نو ارزن داریم آنها را با چقدر گندم می توانیم عوض کنیم؟ (50/(7دوی 9شه نو) )*21 1هو=10 دوی 1دوی=10 شه نو (واحد اصلی در چین دوی بوده که به تقریب مساوی 10.35 لیتر است.) شه نومعادل است با 0.1 واحد گنجایش می باشد.

39. تاریخ کسرهای اعشاری در چین ضریب تبدیل واحد حجم به واحد گنجایش:1چی 6تسون 2فن. این عدد عبارت استاز:حجم 1دوی از مایعی که ظرف مکعب مستطیل شکل به قاعده ی 1 چی مربع و ارتفاع 62/1چی را پر کرده باشد 1چژان=10 چی 1چی=10 تسون

40. تاریخ کسرهای اعشاری در چین تیرکی با اندازه ی نامعلوم وجود دارد.سایه ی آن را اندازه گرفته ایم،1چژان 5چی بدست آمده است.جدا از این دیرک ستونی قرار دارد که طول آن 1 چی 5 تسون است.سایه ی این ستون 5تسون است. طول تیرک چقدر است؟

41. تاریخ کسرهای اعشاری در چین جواب: 4چژان 5 چی X=ab1/a1 X=(1.5*0.15)/0.05=0.225/0.05=22.5/5=4.5

42. تاریخ کسرهای اعشاری در چین 1چی=1چی.1چژان 5تسون=1چی.5چی 5تسون=5تسون.1چژان 5فن 2تسون=25دهم تسون=5تسون.5چی

43. تاریخ کسرهای اعشاری در چین 15000000 دهقان وجود دارد که از انها 400000 سرباز انتخاب شده است.می خواهیم بدانیم از هر چند دهقان یک سرباز انتخاب شده است؟ جواب:37دهقان و5 فن (1فن=10/1تسون) (این جواب معادل است با”37عدد صحیح و 5دهم. ولی 5دهم دهقان نمیتواند وجود داشته باشد.) یکی دیگر از واحدهای غیر قا بل تقسیم “بو”می باشد که 1بو=6چی

44. تاریخ کسرهای اعشاری در چین دو مسئله دیگر از رساله ی سون تسه زی: کف اتاقی به شکل منحنی است که طول آن 639 بو و قطر آن 380 بو است.سطح کف اتاق چقدر است؟ مساحت قطاع (c/2)*(d/2) = درآن c طول قوس و d قطر دایره ی قطاع است. c/2=319.5 نصف طول قوس به روش سون تسه زی: 319 بو 5فن

45. تاریخ کسرهای اعشاری در چین مسئله ی شانزدهم این رساله: طنابی به طول5794 بو داریم. اگر با آن مربعی بسازیم ،طول ضلع مربع چقدر است؟ جواب:1448 بو 3چی. کسر اعشاری = 1448.5 بو

46. تاریخ کسرهای اعشاری در چین شان شی چژه: بزرگ کردن یک عدد یا ضرب آن در 10 توی (عقب کشیدن ):حرکت از ردیف مورد نظر به چپ.

47. تاریخ کسرهای اعشاری در چین مسئله ی 1:21پی کتان وجود دارد که 18000 تسیان می ارزد.قیمت یک چژان، یک چی،یک تسون از کتان به طور جداگانه چقدر است؟ جواب: چژان-4500 تسیان چی-450 تسیان تسون-45 تسیان

48. تاریخ کسرهای اعشاری در چین مقیاس واحد طول تسه زوچون –چژی : (16-)^10 8چی=1سیون. 2سیون=1چژان . 8چی=1ژن

49. تاریخ کسرهای اعشاری در چین برای تعیین حجم با شروع از سو: 1گه=10 شااو 1گوی=6سو 1شه نو=10گه 1تسو=10گوی 1دوی=10 شه نو 1چااو=10تسو 1هو=10 دوی 1شااو=10چااو

50. تاریخ کسرهای اعشاری در چین 1له ی=10شو 1چژو=10له ی 1لانو=24چژو 1تسه زین=16لانو 1تسه زیون=30 تسه زین 1 دوانیو=4تسه زیون برای وزن کردن با شروع از شو: