بسم الله الرحـــــــمن الرحيم

1. بسم الله الرحـــــــمن الرحيم درس في : تمثيل البيانات (Number Representation) د. عبد المالك بولعراس قسم هندسة و علوم الحاسب كلية الهندسة جامعة قطر a.boularas@qu.edu.qa الملتقى العالمي الثالث في ممارسة علوم الحاسب باللغة العربية CSPA '06

2. أهداف الفصل عند الانتهاء من الفصل تكون قادرا على فهم و: • تمثيل النظم العددية. • تنفيذ عمليات التحويل ما بين نظم عددية مختلفة لأعداد صحيحة و كسرية. • تمثيل الأعداد الصحيحة السالبة في مختلف الطرق المستخدمة. • استخدام طريقةIEEE Standard 754لتمثيل الأعداد بالفاصلة العائمة.

3. محتويات الفصل • أهمية تمثيل البيانات. • النظم العددية.(Number Systems) • التحويلات. • تمثيل الأعداد الصحيحة.Natural NumbersRepresentation)) • تمثيل الأعداد السالبة. ِ(Signed IntegersRepresentation) • تمثيل الكسور بطريقة الفاصلة العائمة Floating pointRepresentation))

4. أهمية تمثيل البيانات • من ضمن خصائص الحاسبات الآلية هي التطبيقات العديدة في مجالات شتى. • من أجل تنفيذ تلك التطبيقات, يحتاج الحاسب الآلي إلى طريقة محكمة لتمثيل البيانات المقدمة إليه للمعالجة. • يناسب استعمال النظام الثنائي لتمثيل البيانات في الحاسبنظرا لكون الحاسب جهاز إلكتروني يعمل بالكهرباء • الإنسان يستخدم النظام العشري و يتعامل مع الحروف و الرموز • تجرى عمليات تحويل من النظام العشري إلى النظام الثنائي و العكس

5. النظم العددية (1) • هناك طرق عديدة لتمثيل الأعداد باستعمال الوضعيات المرقمة في أساس مابخلاف الترقيم الروماني. • النظام العشري (decimal) هو عبارة عن نظام عددي أساسه 10 و يستعمل الأرقام , من 0, 1, 2, 3... إلى 9 , يعني 10 أرقام. • الأعداد المكتوبة في هذا النظام هي عبارة عن جمع لحاصل ضرب للرقم في الأساس (هنا 10) أس رقم الوضعية الموجود فيها.

6. النظم العددية (2) • مثلا إذا كان لدينا عدد: 1235.58 في النظام العشري • هو عبارة عن أربعة أرقام عن يسار العلامة العشرية (الفاصلة) و رقمين عن يمينها • ترقيم الوضعيات يبدأ عن يسار الفاصلة ابتداء من صفر و صاعدا (0,1,2,3) إلى آخر وضعية • و عن يمين الفاصلة يكون ترقيم الوضعيات من -1 , -2, إلى آخر رقم

7. النظم العددية (3) يكتب العدد 1235.58 كالتالي: 3 210 -1-2 (1235.58 (10 = 8×10-2+ 5×10-1+5×10+0 + 3×10+1 + 2×10+2 + 1×103+

8. التحويلات • تحويل الأعداد الصحيحة من النظام العشري إلى أي نظام عددي آخر أساسه ’س’. • تحويل الأعداد الصحيحة من أي نظام عددي إلى النظام العشري. • تحويل الأعداد من النظام الثنائي إلى النظام الثماني و السادس عشر و العكس. • تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي. • تحويل الأعداد الكسرية من أي نظام عددي إلى العشري.

9. تحويل الأعداد الصحيحة من النظام العشري إلى أي نظام عددي آخر أساسه ’س’. طريقة التحويل: نضع ثلاثة أعمدة. • في العمود الأول نضع العدد في النظام العشري و نتائج القسمة للعدد على الأساس ’س’. • في العمود الثاني نكتب أساس النظام المحول إليه ’س’. • في العمود الثالث نضع بواقي القسمة المتكررة للناتج على الأساس. • نتوقف عندما يكون ناتج القسمة 0 . نكتب عمود البواقي من الأسفل إلى الأعلى على السطر من اليسار إلى اليمين.

10. تحويل الأعداد الصحيحة من النظام العشري إلى أي نظام عددي آخر أساسه ’س’ مثال 1 حول العدد (96)10 إلى نظيره في النظام الثنائي (2). (96)10 = (1100000)2

11. تحويل الأعداد الصحيحة من النظام العشري إلى أي نظام عددي آخر أساسه ’س’ مثال 2 حول العدد (15790)10 إلى نظيره في النظام السادس عشر (16). (15790)10 = (DAE3)16

12. تحويل الأعداد الصحيحة من النظام العشري إلى أي نظام عددي آخر أساسه ’س’ مثال 3 حول العدد (727)10إلى نظيره في النظام الثماني (8). (727)10= (1327)8

13. تحويل الأعداد الصحيحة من أي نظام عددي إلى النظام العشري الطريقة الأولى: • يكتب العدد في أساس ’س’ على شكل جمع لحواصل ضرب أرقام العدد في الأساس ’س’ أس رقم الوضعية التي هي فيها. نتيجة عملية الجمع هي العدد في النظام العشري. • إذا كان لدينا العدد (1258)س . تفصيله يكون كالتالي: (1258)س = 8 × س0 + 5 × س1 + 2 × س2 + 1 × س3 • نتيجة عملية الجمع هو نظير العدد في النظام العشري.

14. تحويل الأعداد الصحيحة من أي نظام عددي إلى النظام العشري مثال 1 حول العدد (11001)2 إلى النظام العشري. (11001)2 = 1 × 2+0 + 0 × 2+1 + 0 × 2+2 + 1 × 2+3 + 1 × 2+4 = 1 + 0 + 0 + 8 + 16 = 25 = (25)10

15. تحويل الأعداد الصحيحة من أي نظام عددي إلى النظام العشري مثال 2 حول العدد (A12F)16 إلى النظام العشري. (A12F)16= F × 16+0 + 2 × 16+1 + 1 × 16+2 + A × 16+3 = 15 × 1 + 2 × 16 + 1 × 256 + 10 × 4096 = 15 + 32 + 256 + 40960 = 41263 = (41263)10

16. تحويل الأعداد الصحيحة من أي نظام عددي إلى النظام العشري مثال 3 حول العدد (1257)8 إلى النظام العشري. (1257)8 = 7 × 8+0 + 5 × 8+1 + 2 × 8+2 + 1 × 8+3 = 7 × 1 + 5 × 8 + 2 × 64 + 1 × 512 = 7 + 40 + 128 + 512 = 687 = (687)10

17. تحويل الأعداد الصحيحة من أي نظام عددي إلى النظام العشري (الطريقة الثانية) الطريقة الثانية:هي عملية ضرب وجمع متكررة كالتالي: • نضرب صفر في الأساس و نضيف له الرقم الموجود في أقصى اليسار للعدد. • نضرب الناتج في الأساس و نضيف له الرقم الموالي متجهين نحو اليمين. • نعيد العملية السابقة حتى نصل إلى آخر رقم. • الناتج المحصل عليه هو نظير العدد في النظام العشري.

18. تحويل الأعداد الصحيحة من أي نظام عددي إلى النظام العشري (الطريقة الثانية) مثال 1 حول العدد (1257)8 إلى نظيره في النظام العشري. • الخطوة الأولى: 0 × 8 + 1 = 1 • الخطوة الثانية: 1 × 8 + 2 = 10 • نعيد العملية: 10 ×8 + 5 = 85 • نعيد العملية: 85 ×8 + 7 = 687 • نتوقف عند هذا العدد و هو النتيجة المطلوبة أي :(1257)8 = (687)10

19. تحويل الأعداد الصحيحة من أي نظام عددي إلى النظام العشري (الطريقة الثانية) مثال 2 حول العدد (F12A)16إلى نظيره في النظام العشري. • الخطوة الأولى: 0×16 + 10 = 10 • الخطوة الثانية: 10 × 16 + 1 = 161 • نعيد العملية: 161 × 16 + 2 = 2578 • نعيد العملية: 2578 × 16 + 15 =41263 • نتوقف عند هذا العدد و هو النتيجة المطلوبة أي (F12A)16= (41263)10

20. تحويل الأعداد من النظام الثنائي إلى النظام الثماني(1) نستعمل العلاقة التي ما بين النظام الثنائي و النظام الثماني بالنسبة للأرقام. لدينا الموافقة التالية:

21. تحويل الأعداد من النظام الثنائي إلى النظام الثماني(2) • بالنسبة للعدد في النظام الثنائي و ابتداء من يمين الفاصلة نكوّن مجموعات ثلاثية ألأرقام. • نتمم بالأصفار عن يسار آخر رقم إذا كانت المجموعة الأخيرة ناقصة. • نحول كل مجموعة إلى الرقم المطابق في الثماني. • الناتج هو نظير العدد في النظام الثماني.

22. تحويل الأعداد من النظام الثنائي إلى النظام الثماني(مثال) حول العدد (1000111001001)2 إلى نظيره في الثماني: 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7 1 1 8(10711)

23. تحويل الأعداد من النظام الثنائي إلى النظام السادس عشر يتم بنفس الطريقة التي استخدمت مع الثماني إلا أن في هذه الحالة نجمع كل أربعة أرقام مع بعض وفق الجدول التالي.

24. تحويل الأعداد من النظام الثنائي إلى النظام السادس عشر(مثال) حول العدد (1000111001001)2 إلى نظيره في السادس عشر: 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 10 0 0 C 9 1 1 16(11C9)

25. تحويل الأعداد من النظام الثماني و السادس عشر إلى النظام الثنائي. • عملية التحويل من الثماني و السادس عشر إلى الثنائي تتم بكتابة الأرقام إلى نظيرها في النظام الثنائي مع مراعاة عدد الوضعيات حسب الأرقام و الأساس. • مثال : حول العدد (5741)8 إلى نظيره في النظام الثنائي: 1 4 7 5 101 001 100 111

26. تحويل الأعداد من النظام الثماني و السادس عشر إلى النظام الثنائي. • مثال : حول العدد (154D2)16إلى نظيره في النظام الثنائي 2 D 1 5 4 0101 0001 0100 1101 0010 (101101000101010100)2

27. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي • طريقة التحويل: • - نضرب العدد الكسرى الذي هو أصغر من واحد في أساس النظام الذي نريد التحويل إليه. • - نكتب الجزء الصحيح من الناتج في عمود. • - نكرر عملية ضرب جزء الكسرى للناتج (أصغر من واحد). • - نكتب الجزء الصحيح للناتج في العمود أسفل الرقم المحصل عليه في العملية السابقة. • - نتوقف إذا كان الناتج صفر أو عدد الوضعياتj كافي حسب العلاقة: حيث k هو عدد الوضعيات عن يمين الفاصلة بالنسبة للعدد في العشري و R أساس النظام المحول إليه.

28. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي(مثال 1) • حول العدد (0.742)10 إلى النظام الثماني. • عدد الخانات عن يمين الفاصلة jيحدد حسب العلاقة: و بالتالي لدينا :و في الأخير: j = 4

29. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي (مثال 1 تابع) نظير العدد (0.742)10 في النظام الثماني هو: (0.5737)8

30. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي(مثال 2) • حول العدد (0.4321)10 إلى السادس عشر. • استعمال نفس الطريقة يؤدي إلى: و بالتالي: يعني j = 4 .

31. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي(مثال 2 تابع) نظير العدد (0.4321)10 هو :(0.6E9E)16

32. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي(مثال 3) • حول العدد (0.4321)10 إلى الثنائي. • استعمال نفس الطريقة يؤدي إلى: و بالتالي: يعني j = 14 .

33. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي(مثال 3 تابع)

34. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي(مثال 3 تابع) نظير العدد (0.4321)10 هو (011011101001111. 0)2

35. تحويل الأعداد من النظام الثماني و السادس عشر إلى النظام الثنائي.(أعداد كسرية) • مثال : (0.4321)10=(0.6E9E)16في النظام الثنائي 0 . 6 E 9 E 1001 1110 1110 0110 .0 (0.4321)10=(0.6E9E)16= (011011101001111. 0)2

36. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي(مثال 4) • حول العدد (727.742)10 إلى النظام الثماني. • عدد الخانات عن يمين الفاصلة jيحدد حسب العلاقة: و بالتالي لدينا :و في الأخير: j = 4

37. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي الجزء الكسري (مثال 4 تابع) نظير العدد (0.742)10 في النظام الثماني هو: (0.5737)8

38. تحويل الأعداد الكسرية من العشري إلى أي نظام عددي الجزء الصحيح (مثال 4 تابع) نحول الجزء الصحيح من العدد (.742727)10إلى نظيره في النظام الثماني (8). (727)10= (1327)8 النتيجة النهائية: (.742727)10 =( 5737 .1327)8

39. تحويل الأعداد الكسرية من أي نظام عددي إلى العشري • طريقة التحويل: • - نضرب صفر في الأساس R ونضيف للناتج أول رقم ابتداء من أول رقم عن يمين الفاصلة. • - نضرب ناتج العملية في الأساس و نجمع النتيجة مع الرقم الذي يلي الرقم السابق. • -نكرر هذه العملية إلى آخر رقم في العدد. • -نقسم الناتج على الأساس R أس عدد الأرقام j و نحتفظ على k وضعية حسب العلاقة:

40. تحويل الأعداد الكسرية من أي نظام عددي إلى العشري مثال 1 حول العدد (0.10101)2 إلى نظيره في العشري. j= 5 . عدد الوضعيات k هو:k = 2 . العدد في النظام العشري هو:(N)10= = 0.6562 = (0.66)10 لأن k=2 .

41. تحويل الأعداد الكسرية من أي نظام عددي إلى العشري مثال 2 حول العدد (0.ABC)16إلى نظيره في العشري. j= 3 . عدد الوضعيات k هو:k = 4 . العدد في النظام العشري هو:(N)10= = 0.6708 = (0.6708)10 لأن k=4 .

42. تمثيل الأعداد الصحيحة. • تمثيل الأعداد الصحيحة يعتمد على عددالخانات(bits)المخصصة. • إذا كان عدد الخاناتn فلدينا2nحالة.من 0 إلى .(2n-1) • كل حالة تمثل عدد طبيعي. • أصغر عدد هو صفر و أكبر عدد هو.2n-1

43. تمثيل الأعداد الصحيحة. • مثال n : =4. عدد الحالات 24=16 . • أصغر عدد 0 و أكبر عدد 24 -1=15

44. تمثيل الأعداد السالبة هناك أربعة طرق لتمثيل الأعداد السالبة (الصحيحة) في الحاسب الآلي. تتم باستعمال : • الإشارة و القيمة المطلقة.(Sign andMagnitude) • المتمم الحسابي الأول(one's complement). • المتمم الحسابي الثاني(two'scomplement). • زيادة 2 (m-1)اذا كان عدد الخاناتm .(excess or bias notation)

45. الإشارة و القيمة المطلقة. • إذا كان لدينا n خانة لتمثيل الأعداد السالبة, نخصص منها خانة واحدةللإشارة و باقي الخانات لتمثيل القيمة المطلقة للعدد. • يكون العدد على الشكل التالي: ع= +\- │د│ • نطبق على "د" نفس الطريقة لتمثيل الأعداد الطبيعية باستخدامn-1خانة.

46. الإشارة و القيمة المطلقة. جدولتمثيل الأعداد السالبة و الموجبة (n=4)

47. الإشارة و القيمة المطلقة. • مجال التمثيل M يعتمد على عدد الخانات "n" المستخدمة, و يكون كالتالي:

48. ملاحظة • هناك تمثيليان للصفر. (سالب صفر و موجب صفر). • يرجع السبب إلى الفرق بين عدد الحالات المتوفرة باستخدام "n" خانة (و هو 2n) و هو عدد زوجي من جهة, و عدد الأعداد السالبة و الموجبة مع الصفر وعددهم عدد فردي من جهة أخرى. • مهما كانت الطريقة المستخدمة في التمثيل تظل هناك حالة زائدة يجب استخدامها أو توزيعها. • تارة لتمثيل سالب صفر و تارة لإضافة عدد سالب في مجال التمثيل.

49. ملاحظة(تابع) مجموعة الأعداد الصحيحة ب“2m+1" عدد.

50. المتمّم الحسابي الأحدي المتم الحسابي الأول لعددA في نظام عددي أسسه Rهو ناتج عملية طرح العدد A من أكبر عدد يمكن تكوينه في النظام R باستخدام نفس عدد أرقام العدد A. A = A3A2A1A0. أكبر رقم في نظام أساسه R هو (R-1). المتمم الحسابي الأول للعدد A هو: