第 2 章 点、直线、平面的投影

1. 2.1 投影方法的基本知识 第2章 点、直线、平面的投影 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置

2. 2.1.1 投影法的基本知识 2.1.2投影法的种类 2.1.3 正投影法的基本性质 2.1 投影方法的基本知识

3. S 投射中心 投射线 A 投影面 a P 2.1.1 投影法的基本知识 用灯光或阳光照射物体，在地面或墙面上就会产生影子。人们把这种现象归纳、抽象出来，便形成了把空间物体投射在平面上的投影法。 投影法——投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。 2-1 投影法的概念 常用的投影方法有两种：中心投影法和平行投影法。

4. 投射中心 Ｓ 投射线 A 投影面 C 物体 B a c P b 投影 2.1.2 投影法的种类 1.中心投影法 中心投影法——投射线汇交一点的投影法(投射中心位于有限远处)。 　　这种方法主要用于绘制建筑物或产品具有直观立体感的图——透视图。 图2-2 中心投影法

5. A A S C C 投射方向 B B a a c c P P b b 2．平行投影法 平行投影法——投射线相互平行的投影法 (投射中心位于无限远处)。 投射线与投影面倾斜——斜投影 投射线与投影面垂直——正投影 a) 斜投影 b) 正投影 图2-3 平行投影法

6. 2.1.3 正投影法的基本性质 B B D C A C A b a a d c b c P 1．平行性 平行两直线的投影仍为相互平行的直线。 这种特性称为:平行性。 2．定比性 直线上点分两线段的长度之比等于其投影长度之比。这种特性称为:定比性。 图2-4 正投影的基本特性(1)

7. 3．实形性 当平面或线段平行于投影面时，其投影反映平面的实形或线段的实长。这种特性称为:实形性。 4．积聚性 当平面或线段垂直于投影面时，其投影积聚成为一直线或一点。这种特性称为:积聚性。 A H A H E D E D G G F F C B B C a h e d g f a(b) c h(g) b P e(f) d(c) 图2-5 正投影的基本特性(2)

8. H D E A q G F C B P h e d a g f c b 5．类似性 当平面或线段倾斜于投影面时，其平面图形的投影成为一个与其不全等的类似形，线段投影成为比实长短的线段。即ab< AB, 这种特性称:类似性。 图2-6 正投影的基本特性(2)

9. 2.2 点的投影 2.2.1 点在三面体系中的投影 2.2.2 特殊位置点的投影 2.2.3 两点的相对位置和重影点

10. 2.2.1 点在三面体系中的投影 1．符号规定 空间点：用大写字母A、B、C 投影点：用小写字母 ● 水平投影 a 、 b 、 c ●正面投影 a′、 b′、c′ ●侧面投影 a″、 b″、 c″等

11. Z Z az a′ a″ az x O y YW ay O ax z W ax X ay ay A a H X Y YH a) 直观图 b) 投影图 图2-7 点在三面投影体系中的投影 2．点的投影特性 (1) 建立三面投影体系 V面:正立投影面 H面:水平投影面 W面:侧立投影面 V a′ W a″ a H ① aa⊥OX轴aa⊥OZ轴 ② aax = aaz = y =A到V面的距离 aax= aay = z =A到H面的距离 aay = aaz = x =A到W面的距离

12. 【例2-1 】已知点的两个投影，求第三投影。 通过作45°斜线使aaz=aax 解法一: az a a O ax X a a az a 解法二: 用圆规直接量取aaz=aax O ax X a a) 解法一 b) 解法二 图2-8 由点的两个投影求第三投影

13. a) 直观图 b) 投影图 图2-9 点的坐标与投影关系 3．点的坐标与投影的关系 (1) 空间点可用三个坐标表示，如 A点坐标 （XA，YA，ZA）。 X：反映点到W面距离 Y：反映点到V面距离 Z：反映点到H面距离 (2) 一个投影点反映了两个坐标值，如投影 a，其坐标 XA， YA； 结论：若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三投影也就唯一确定。

14. Z V a’ Z A a" X O X YW O Y H YH 【例2-2 】已知点（15，5，10），作出点的三面投影和直观图。 a' a" W a a b) 直观图 a) 投影图 图2-10 由点的坐标求作点的投影图和轴测图

15. Z c' c a" a' c" b' b" X 45° YW a b YH 2.2.2 特殊位置点的投影 由图2-11可知: (1) 三个坐标值中有一个坐标为零时，则该点必定在投影面上 (2) 三个坐标值中有两个坐标为零时，则该点必定在其坐标值不为零的那个投影轴上。 O 图2-11 特殊位置点的投影

16. 2.2.3 两点的相对位置和重影点 1．两点的相对位置 Z 两点的相对位置指两点在空间 的上下、前后、左右位置关系。 a a b b O 判断方法 ： X YW ▲ x坐标大的在左 ▲ y坐标大的在前 ▲ z坐标大的在上 a YH b B点在A点之前、之右、之下。 图2-12 两点相对位置

17. a" a' 25 20 20 32 【例2-3】已知点A的三面投影a、a′、a″，并知点B在点A的左方32mm，在点A上方25mm，在点A前方20mm，求作点B的三面投影b、b′、b″。 b' b" a b 图2-13 利用相对坐标作图

18. a' b' a" d" (d') c" c' b" a b d c 2．重影点 位于同一投射线上的两点，由于它们在投射线所垂直的投影面上的投影是重合的，所以叫做重影点（重影点必须有两个坐标值相同）。 Z 被挡住的投影加( ) X O YW (b) YH 图2-14 重影点的投影

19. 2.3 直线的投影 2.3.1 直线的投影 2.3.2 各种位置直线的投影特性 2.3.3 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角 2.3.4 点与直线、直线与直线的相对位置 2.3.5 直角投影定理

20. a' a " Z b' b" O a X YW b YH 2.3.1 直线的投影 一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影，如图3-9所示。 图2-15 直线的投影

21. 直线的空间位置 特殊位置直线 一般位置直线 投影面垂直线 投影面平行线 正垂线 铅垂线 侧垂线 正平线 水平线 侧平线 2.3.2 各种位置直线的投影特性 直线与投影面的相对位置情况：

22. 1．投影面垂直线 垂直于某一个投影面的直线。 图2-16 投影面的垂直线 投影特性: ① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。

23. 2．投影面平行线 与一个投影面平行，而对另外两投影面倾斜的直线 。 图2-17 投影面的平行线 投影特性: ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

24. 一般位置直线的投影特征： ① 三个投影均不反映实长； ② 三个投影均不反映直线与投影面的倾角。 3．一般位置直线 对三个投影面都倾斜的直线。 直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角。空间直线与投影面H、V、W之间的倾角分别用α、β、γ表示，如图2-18所示。 图2-18 一般位置直线 水平投影a b = ABcosα 正面投影 a′b′=ABcosβ 侧面投影 a″b″=ABcosγ

25. B Z A-- 实长 Z AB ab A 1 Z A o A--- Z B 实长 AB 2.3.3 一般位置直线实长及其对投影面的倾角 一般位置直线段在各投影面上的投影均不反映实长，也不反映对投影面的倾角。在工程上，经常遇到求一般位置直线的实长和倾角，常采用的作图方法有直角三角形法。 Z a' a' a' V A b' b' b' O O B X X O X a a a b H b b Y 图2-19 用三角形法求一般位置直线的实长和倾角

26. Z a' V A b' A B1 1 B O X a b H Y 一般位置直线的投影中可作出三个直角三角形，若只考虑直角三角形的组成关系。利用直角三角形法，只要知道四个要素中的两个要素，即可求出其他两个未知要素，如图2-20所示。 图2-20直角三角形的三种三角形

27. 【例2-4】已知直线AB对H面的倾角为30°，试求AB的正面投影。【例2-4】已知直线AB对H面的倾角为30°，试求AB的正面投影。 b' a' b1' X O b 30º a 图2-21 由线段的倾角求直线的投影

28. 2.3.4 点与直线、直线与直线的相对位置 1．点与直线的相对位置-直线上的点 图2-22 直线上点的投影 投影特性： ① 直线上点的投影必在该直线同面投影上； ② 同直线上两线段长度比等于其投影长度比。

29. 【例2-5】在AB上求作点K，使AK:KB=1:2。 b b k k a a X O a 1 k 2 b 图2-23 求作直线上K点的投影

30. 2．直线与直线的相对位置 空间两直线的相对位置可以分为三种：平行、相交、交叉。 （1）两直线平行 空间两直线平行，则它们的同面投影必然相互平行； 反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则两直线在空间也一定相互平行。 图2-24 平行两直线

31. 若要在投影图上判断两条一般位置直线是否平行，只要看它们的两个同面投影是否平行。但对于投影面的平行线，通常根据其三面投影（或其他的方法）来判别。若要在投影图上判断两条一般位置直线是否平行，只要看它们的两个同面投影是否平行。但对于投影面的平行线，通常根据其三面投影（或其他的方法）来判别。 图2-25 判断两直线平行 AB、CD为侧平线，虽然ab∥cd，a′b′∥c′d′，但a″b″不平行于c″d″，故直线AB不平行于直线CD。

32. （2）两直线相交 当两直线相交时，它们在各个投影面上的同面投影也必然相交，并且交点符合点的投影规律。 图2-26 相交两直线

33. b' c' a' O X c b k a d 【例3-6】已知点K是AB与CD的交点，求CD的正面投影c′d′。 分析：交点为两直线所共有，且符合点的投影规律，据此可求得k′；C、K、D同属一条直线，据此可求出d′。 k' d' 图2-27 利用两直线相交求CD直线的投影

34. （3）两直线交叉 在空间既不平行也不相交的两直线称为交叉直线。交叉直线的投影不具备平行或相交直线的投影特性，如图2-28所示。 图2-28 交叉两直线

35. 2.3.5 直角投影定理 空间两直线垂直相交，如果其中一条直线平行于某一投影面，则此两直线在该投影面上的投影互相垂直，反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中一条是该投影面的平行线，则两直线在空间互相垂直。 如图2-29所示。 已知AB⊥BC，AB∥H面，BC倾斜于H面。 ∵AB ∥H面，Bb⊥H面，∴AB⊥Bb. 又∵AB⊥BC， ∴AB垂直于BC和Bb所决定的平面BCcb。 又∵ab∥AB，∴ab ⊥平面BCcb，则有ab⊥bc，即∠abc为直角。 图2-29 直角的投影

36. k′ k a 实长 【例2-7】求点A到水平线BC的距离AK及其投影。 分析：点A到BC的距离AK⊥BC，因为BC为水平线，所以在水平面投影上能反映直角关系。 a′ c′ b′ O X c b a 图2-30 求点到直线的投影

37. 2.4 平面的投影 2.4.1 平面的投影表示法 2.4.2 各种位置平面的投影特性 2.4.3 平面上的点和直线

38. 2.4.1 平面的投影表示法 平面的表示方法如图2-31所示。 两平行直线 平面图形 两相交直线 直线及线外一点 不在同一直线上的三个点 图2-31 平面表示法

39. 平面的空间位置 特殊位置平面 一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面 正垂面 铅垂面 侧垂面 正平面 水平面 侧平面 2.4.2 各种位置平面的投影特性 平面与投影面的相对位置情况：

40. 1．投影面平行面 平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面。 水平面 正平面 侧平面 图2-32 投影面的平行面 投影特性： ① 平面在所平行的投影面上的投影反映实形。 ② 平面在另两个投影面上的投影均积聚为一条直线，且平行于相应的投影轴。

41. 2．投影面垂直面 垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面。 铅垂面 正垂面 侧垂面 图2-33 投影面的垂直面 投影特性： ① 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，它与投影轴的夹角分别反映该平面对另两个投影面的倾角。 ② 平面在另两个投影面上的投影均为小于原平面的类似形。

42. 3．一般位置平面 一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面。 图2-34 一般位置平面 投影特性： 在三个投影面上的投影都不反映实形，而是小于原平面的类似形。

43. β 【例2-8】过点A（a，a′）作一铅垂面，并使其与V面的倾角为β=30° 。 分析： 铅垂面的水平投影积聚成一条倾斜直线，且与X轴的夹角为β角，据此可作图。 a b c O X 作图： 过点A的水平投影a作与X轴成30°夹角的线段ab，在线段ab上任选一点c，即得铅垂面的水平投影。过点A的正面投影a′作a′b′、a′c′，则abc和a′b′c′即为所求铅垂面。 a c b 图2-35 求作铅垂面

44. c 【例2-9】过直线AB作一正垂面。 分析：正垂面的正面投影积聚成一条倾斜直线，因此过AB所作的正垂面的投影一定与a′b′重合，水平投影可任意作一平面图形即可。 c' 图2-36 求作正垂面 注意：若无条件限制，过直线AB可作无数个平面；若过AB作垂直面，可作正垂面，也可作铅垂面；但是由于AB是一般位置直线，所以过AB不可能作出水平面或正平面。

45. 2.4.3 平面上的点和直线 图2-37 点和直线在平面上的条件（一） 图2-38 点和直线在平面上的条件（二） 点和直线在平面上的几何投影条件 ： ① 若某点位于平面内的一条已知直线上，则此点必定在该平面上。 ② 一直线通过平面上的两已知点，则此直线必在该平面上。 ③ 一直线过平面上的一已知点且与平面上一已知直线平行，则此直线必在该平面上。

46. b' e' a' c' X O c a b 【例2-10】已知平面ABC，如图2-39所示，试求： (1) 判断点D是否在平面ABC上。 (2) 平面ABC上有一点E，已知水平投影e，求正面投影e′。 分析： 判断一点是否在平面上，或在平面上取点，都必须在平面上取一包含该点的直线。 1' d' 2' 作图： ①连接c′d′，并延长与a′b′交于1′，求出1c，若点D在直线IC上，则不仅d′在1′c′上，而且d也在1c上，从图中可看出点D不在平面ABC上。 ② 连接ae与bc相交于2，求出a′2′，则AⅡ为平面ABC上的一条直线，因为点E在平面ABC上，所以点E在直线AⅡ上，因此过点e 作投射线与a′2′的延长线得交点，该交点即为所求正面投影e′。 d 2 e 1 图2-39 平面内取点

47. 2′ k′ 1′ 1 2 k 15 【例2-11】试完成平面四边形ABCD的正面投影，并在平面ABCD上取一条水平线，使其到H面的距离为15mm。 分析： ABCD既然是平面，则其对角线必相交；水平线的正面投影平行于X轴，按题意，其所有点的Z=15mm，据此可作图。 c′ 作图： ① 分别连接ac、bd得一交点为点k，连b′d′，在b′d′上求出点k′，并连接a′ k′。 ② 过c作⊥OX的连线，与a′k′的延长线相交求得c′，连接b′c′、d′c′，即完成ABCD的正面投影。 ③ 在正面投影上作一平行于X轴的直线且使z=15 mm，与a′d′、b′c′分别交于1′、2′点，求出其水平投影1、2并连接，则直线ⅠⅡ即为所求水平线。 图2-40 平面内取线

48. 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置 2.5.l 直线与平面平行、平面与平面平行 2.5.2 直线与平面相交、平面与平面相交 2.5.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直

49. 2.5.1 直线与平面、平面与平面平行 1．直线与平面平行 若一直线与某平面内的任一直线平行，那么此直线与该平面平行，反之亦然。 图2-41 直线与平面平行的条件

50. 【例2-12】过点M作一正平线MN与平面△ABC平行。【例2-12】过点M作一正平线MN与平面△ABC平行。 分析： 过直线外一点作某一平面的平行线可以有无数条，但本题要作的是正平线，因此在△ABC平面内只要作一条正平线AD，使MN平行于该正平线即可。 n' d' 作图： ①在△ABC的水平投影△abc中，由点a作X轴平行线与bc边相交于d，并由ad 得a′d′。 d n ② 过点m、m ′分别作直线mn、m′n′平行于ad、a′d′， MN（mn、m′n′）即为所求。 图2-42 过点作与已知平面平行的正平线