ГОМОТЕТИЯ

1. ГОМОТЕТИЯ Исследовательская работа Работу выполнили: Соловьёва Алёна и Киселёва Яна, ученицы 11 «М» класса МОУ СОШ №32 Руководитель: Стаханова П.А., учитель математики МОУ СОШ №32

2. Цель работы: исследование гомотетии и её свойств, а также применение гомотетии при решении задач. Методы исследования: • Изучение теории • Доказательства некоторых свойств гомотетии • Установление связи между гомотетией и решением задач • Выполнение практической части

3. Актуальность • Данная тема является дополнением и углублением • изученных в курсе геометрии свойств гомотетии. • 2. Применение опыта решения планиметрических задач • с использованием гомотетии помогает повысить • уровень пространственного воображения • и уровень логической культуры. • 3. Изучение данной темы поможет более глубоко • подготовиться к вступительным экзаменам и успешному • участию в математических конкурсах и олимпиадах.

4. Гомотетией с центром O и коэффициентом плоскости называется преобразование плоскости, которое каждую точку X отображает на такую точку , что

5. Частные примеры гомотетии • k=1. т. совпадает с точкой Х.Тождественное преобразование плоскости. • k= -1. Т. симметрична точке Х относительно центра гомотетии. Симметрия относительно точки О. т.к. Центр гомотетии является ее неподвижной точкой.

6. Свойства гомотетии 1. Отрезок, соединяющий две произвольные точки плоскости, не лежащие на одной прямой с центром гомотетии, и отрезок, соединяющий образы этих точек, параллельны.

7. 2. Всякая прямая, не проходящая через центр гомотетии, преобразуется в параллельную ей прямую.

8. 3. При гомотетии отрезок преобразуется в отрезок.

9. 4. При гомотетии угол преобразуется в равный ему угол.

10. 5. При гомотетии многоугольник преобразуется в подобный ему многоугольник.

11. Гомотетичные окружности Всякая гомотетия отображает окружность на окружность, так как при гомотетии все расстояния умножаются на одно и то же число – модуль коэффициента гомотетии.

12. Практическое применение гомотетии Пантограф - механизм, который даёт возможность вычертить фигуру, перспективно-подобную любой заданной фигуре, притом с любым положительным коэффициентом подобия. Впервые он был создан вначале XVII века. • Гомотетия чаще всего используется в задачах на нахождение ГМТ • С помощью гомотетии можно строить подобные фигуры • С помощью гомотетии можно находить отношение отрезков, площадей, объемов

13. Задача №1 Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

14. Дано: ABCD - квадрат, P - произвольнаяточка; M, N, K, L - середины сторон квадрата АВСD соответственно. Построим Р1, Р2, Р3 и Р4 - точки симметричные т. Р относительно середин АВ, ВС, СD, DA. Докажем, что Р1Р2Р3Р4 – квадрат.

15. Доказательство: • т. к. Р1, Р2, Р3 и Р4 лежат на PM, PN, PK, PL соответственно, то Р1, Р2, Р3 и Р4 гомотетичны M, N, K, L относительно P с коэффициентом 2, • т. к. РР1 = 2РМ, РР2 = 2РN, PP3 = 2PK, PP4 = 2PL и т. к. MNKL - квадрат, то Р1P2P3P4 - тоже квадрат. Что и требовалось доказать.

16. Задача №2 Объём треугольной пирамиды 1. Найдите объём пирамиды с вершинами в точках пересечения медиан данной пирамиды.

17. Решение: Пусть A1, B1, C1и D1 – точки пересечения медиан граней соответственно BCD , ACD , ABD и ABC треугольной пирамиды ABCD . Тогда отрезки AA1 , BB1 , CC1 и DD1 (медианы тетраэдра) пересекаются в одной точке (M) и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершин пирамиды. Поэтому при гомотетии относительно точки M с коэффициентом 1/3 - точка A переходит в точку A1 , точка B – в точку B1 , C – в C1 , D – в D1. Значит, тетраэдр A1B1C1D1подобен тетраэдру ABCD с коэффициентом 1/3. Следовательно, VA1B1C1D1 =(1/3)3· VABCD = .

18. Задача №3 Доказать, что в неравностороннем треугольнике ABC центроид G, ортоцентр Hи центр O описанной окружности лежат на одной прямой, причем .

19. Дано: , т. G – центроид, т. Н – ортоцентр, т. О – центр описанной окружности; . • Доказать: т. G, H, O лежат на одной прямой и

20. Доказательство: • гомотетичен при 2. Соответственные стороны этих треугольников параллельны

21. 3. Прямые содержат высоты . Гомотетия сохраняет величину угла, высоты AH, BH, CH указанной гомотетией отображаются на высоты , т. H пересечения высот переходит в т. O пересечения высот . Поэтому точки H и O лежат на одной прямой с центром G гомотетии и . Что и требовалось доказать.

22. 1. Анализ теоретического материала по гомотетии позволил узнать свойства и область применения гомотетии, а также помог повысить наш уровень пространственного воображения и уровень логической культуры. 2. Решение практических задач показало, что многие задачи, даже очень сложные, можно решить с помощью гомотетии, сэкономив при этом и время, и силы. 3. Мы узнали много нового и интересного, работая над данной темой. Это действительно занимательно и увлекательно. Надеемся, что эта тема пригодится нам в будущем при участии в математических олимпиадах и при ЕГЭ

23. Заключение «Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и, по крайней мере, столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться». Е. Т. Белл.