常微分方程式論①

常微分方程式論① MIKU　一回生　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　小川　惇史・梶本　智史

常微分方程式とは • 独立変数ｘと未知関数ｙ(ｘ)およびその導関数ｙ’(ｘ),ｙ”(ｘ),・・・・・,(ｘ)が満たす関係式 f(ｘ,ｙ’,ｙ,”・・・・・・,)=0 　のことを常微分方程式という　 • 常微分方程式のうち、最も高階の導関数がのときｎ階常微分方程式という

微分方程式の解 • 微分方程式の解には任意定数Ｃをかけても成立するものがあり、これを一般解という • 一般解の任意定数に特定の数を割り当てた解を特殊解という • 一般解に含まれる任意定数では表現できない解が存在することもあり、特異解という

初期値問題 • ｎ階微分方程式 f(ｘ,ｙ’,ｙ,”・・・・・,)=0 　に定数α,,・・・・・,を与えて、 y(α)=, y’(α)=,・・・・・,(α)= 　を課したものを初期条件といい、これによって解を見つける問題を初期値問題という

境界値問題 • 2階以上の微分方程式の場合、ｘのある区間上で考え、その両端で課した条件を境界条件といい、これによって解を見つける問題を境界値問題という • 2階微分方程式に対する境界条件について、 y()=,y()= ・・・・ディリクレ型 y’()=,y’()= ・・・・ノイマン型 y()=, y’()=・・・・周期型　という

正規形の微分方程式 • ｎ階微分方程式において、最高階の導関数について解いた形の微分方程式 =f(ｘ,ｙ’,ｙ,”・・・・・・,) 　は正規形であるという

リプシッツ条件 • 正規形の１階微分方程式y’=f(x,y)について、解y=φ(x)をx-y平面に投影したものを解曲線という　 • ある正の定数Ｌが存在し、　領域Ｄ=b}上の2 点(x,y)、(x,z)に対して |f(x,y)-f(x,z)|≤Ｌ|y-z| が成り立つことをリプシッツ条件という

コーシーの定理 • 関数f は領域Ｄ上で連続で、かつリプシッツ条件を満たすと仮定する。Ｄにおける|f(x,y)|の最大値をＭとすると、初期値問題 y’=f(x,y) , y(α)=β の解が |x-α| ≤ min {a,b/M} に対して一意に存在する

常微分方程式論①

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