La dimension expérimentale en mathématique : mythe ou réalité ?

1. La dimension expérimentale en mathématique : mythe ou réalité ? DIAS Thierry, formateur associé IUFM de Lyon, LIRDHIST Université Lyon 1 Thierry DIAS – octobre 2005

2. La science nous propose des énoncés vérifiables et non pas des vérités immuables. Gilles-Gaston GRANGER, 1993, La science et les sciences Thierry DIAS – octobre 2005

3. Cadre théorique Conditions et caractéristiques du milieu pouvant être considéré comme celui d'une situation expérimentale (Bloch, Brousseau) Épistémologie des relations entre objets mathématiques et réalité (Gonseth, Ganger, Connes) Thierry DIAS – octobre 2005

4. Hypothèse La potentialité de la dimension expérimentale des mathématiques s'exprime dans le rapport qu'elles entretiennent avec la réalité. Thierry DIAS – octobre 2005

5. Questions de recherche Y a-t-il une place pour la dimension expérimentale au-delà de la construction des savoirs dans les disciplines scientifiques empiriques. A quelle(s) condition(s) peut-on parler d'une confrontation à la réalité dans l'activité mathématique ? Quelles sont les caractéristiques d'un milieu de type expérimental ? Thierry DIAS – octobre 2005

6. Méthodologie Analyse de la signification de l'expérimentation au travers de la lecture des programmes d'enseignement scientifiques. Étude comparée de deux démarches d'apprentissage provenant de disciplines différentes. Caractérisation d'un milieu didactique de type expérimental : statut des objets, rôle de l'enseignant. Thierry DIAS – octobre 2005

7. La place de l'expérimentation en mathématiques dans les programmes d'enseignement Thierry DIAS – octobre 2005

8. préambule Expérimenter (Marilyne Coquidé) 1. Expérience-action : expérienciation expériences pour voir, essayer, explorer  Familiarisation pratique avec phénomènes, objets et instruments 2. Expérience-objet : expérimentation expériences pour tester, contester, argumenter. Investigation empirique. Problème ouvert  Validité des conclusions et des formes de raisonnement l'expérimentation en mathématiques dans les programmes d'enseignement 3. Expérience-outil. Expérience-validation expériences pour conceptualiser, modéliser  Construire des concepts opératoires par résolution de problèmes Thierry DIAS – octobre 2005

9. expérience - action cycle 1 : école maternelle découvrir le monde (sensible) sensations premières -> perceptions • expérience immédiate sensible • mise en question (pb) par l'enseignant • construction d'une représentation (première distanciation, médiation : rupture avec l'immédiateté) • mise en mots : prémisses de la construction d'un système symbolique l'expérimentation en mathématiques dans les programmes d'enseignement Projet "Piagétien" de la construction d'un réel quantifié, mesuré grâce à un processus d'accumulation d'expériences. Thierry DIAS – octobre 2005

10. expérience – action + expérimentation cycle 2 : école élémentaire un autre projet scientifique : vers la modélisation du réel les mathématiques fournissent des outils pour cette modélisation -> des expérimentations sont possibles sur les objets mathématiques l'expérimentation en mathématiques dans les programmes d'enseignement les objets mathématiques permettent de faire des anticipations à mettre en relation avec les contingences du réel l'activité mathématique comporte des phases expérimentales qui ne sont plus immédiates : -> elles font partie d'un processus de raisonnement le milieu d'apprentissage constitué par le professeur est déterminant Thierry DIAS – octobre 2005

11. expérimentation cycle 3 : école élémentaire les mathématiques au sein d'un projet plus vaste : l'éducation scientifique -> rôle prépondérant des activités langagières dans ce projet deux axes essentiels : la résolution de problème et la communication l'expérimentation en mathématiques dans les programmes d'enseignement l'expérimentation est un constituant de la démarche de résolution de problème : -> constitution/utilisation d'un système de signes, de leurs relations et de leurs références une finalité annoncée : intégrer les individus dans la "vie courante", dans une communauté qui partage des systèmes de signification le milieu d'apprentissage constitué par le professeur est déterminant Thierry DIAS – octobre 2005

12. expérimentation + expérience - validation collège entraîner à la "pratique" d'une démarche scientifique objectifs annoncés : développer les capacités d'expérimentation, de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique l'expérimentation en mathématiques dans les programmes d'enseignement finalité : la formation du "futur citoyen" interdisciplinarité : l'outil mathématique au service d'une meilleure compréhension des autres disciplines Thierry DIAS – octobre 2005

13. l'expérimentation dans les programmes de l'enseignement scientifique la démarche d'investigation une pratique de la science : action – investigation – expérimentation – construction collective • Un projet très proche de celui décrit en mathématiques surtout concernant le rôle du professeur : • créer un milieu de type antagoniste sollicitant une observation questionnante, déclenchant des processus de raisonnement et le recours à un système de signes : le langage scientifique de communication • mettre à disposition des outils d'investigation et d'expérimentation Thierry DIAS – octobre 2005

14. Comparaison de deux démarches d'apprentissage intégrant une phase d'expérimentation : maths en jean – la main à la pâte Thierry DIAS – octobre 2005

15. "Faire des sciences" c'est essayer de maîtriser le réel en anticipant ses phénomènes. Les connaissances mathématiques peuvent constituer un outil d'appréhension et de maîtrise des phénomènes de la réalité grâce au recours à l'expérimentation (au sens de l'expérience-outil ou expérience-validation, Coquidé). comparaison de deux démarches scientifiques d'apprentissage Thierry DIAS – octobre 2005

16. Méthode d'Apprentissage des Théories mathématiques enJumelant des Établissements pour une Approche Nouvelle du Savoir Des activités mathématiques qui s'adressent à tous. Le questionnement comme préalable à la représentation des problèmes. comparaison de deux démarches scientifiques d'apprentissage L'exploration et l'expérimentation pour transformer progressivement les premières représentations. La discussion entre pairs au service de la structuration des nouvelles connaissances. Le congrès et les publications. Thierry DIAS – octobre 2005

17. La M. A. P. La démarche préconisée par La main à la pâte privilégie la construction des connaissances par l'exploration, l'expérimentation et la discussion. Ce que souhaite développer La main à la pâte, c'est l'esprit d'investigation et non la capacité à utiliser précocement un appareillage technique complexe. comparaison de deux démarches scientifiques d'apprentissage les 2 premiers principes de « la map » 1. Les enfants observent un objet ou un phénomène du monde réel, proche et sensible et expérimentent sur lui. 2. Au cours de leurs investigations, les enfants argumentent et raisonnent, mettent en commun et discutent leurs idées et leurs résultats, construisent leurs connaissances, une activité purement manuelle ne suffisant pas. Thierry DIAS – octobre 2005

18. Démarche Objet de la recherche Source de l'interrogation Abstraction Raisonnement Modélisation Action Expérimentation Validation Le statut de l'expérimentation dans les deux démarches scientifiques Maths en Jeans Main à la pâte Résolution de problème Investigation raisonnée Questionnement Énoncé / figure Observation ou question Conjectures Prédictions/Anticipations comparaison de deux démarches scientifiques d'apprentissage Hypothèses Essais/erreurs Expérience-action Vérification expérimentale Investigation par expérimentation Utilisation de théorèmes connaissances Preuve contextualisée Référence aux connaissances scientifiques reconnues (préalables) Thierry DIAS – octobre 2005

19. résultats et discussion Thierry DIAS – octobre 2005

20. la question des objets Les objets mathématiques (et d'une manière plus générale scientifiques) sont présents dans le milieu de la situation sous des formes symboliques diverses et problématiques : mots et phrases dessins et graphiques définitions et règles propriétés C'est leur indétermination sémantique et leurs diverses représentations symboliques qui permettent l'expérimentation. résultats et discussion Prendre en compte la dimension expérimentale c'est organiser le milieu pour permettre les passages entre objets du monde sensible et objets mathématiques. Thierry DIAS – octobre 2005

21. le rôle du professeur dans l'élaboration du milieu Afin de favoriser le recours à l'expérimentation, il est nécessaire pour le professeur de : • problématiser la tâche • mettre à disposition des outils de modélisation • accompagner de manière distanciée en s'appuyant notamment sur une bonne analyse a priori • observer et prendre en compte des jeux de langage dans la situation résultats et discussion Thierry DIAS – octobre 2005

22. Références BLOCH Isabelle, 2001, "Différents niveaux de modèles de milieu dans la théorie des situations", Actes de la 11ème école d'été de Didactique des Mathématiques, La Pensée Sauvage. BROUSSEAU Guy, 1990, "Le contrat didactique : le milieu", Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, La pensée sauvage, Vol. 9.3, pp. 309-336 CAVAILLES Jean, 1994, Œuvres complètes de philosophie des sciences, B. Huisman éd., Paris, Hermann CHANGEUX Jean Pierre, CONNES Alain, 2000, Matière à penser, Odile Jacob CHEVALLARD Yves, 2004, "Pour une nouvelle épistémologie scolaire", cahiers pédagogiques, Paris, CRAP, n°427, pp. 34-36. COQUIDE Maryline, 2003, "Le rapport expérimental au vivant", Actes du séminaire de travail du PREMST, IUFM de Lyon DIAS Thierry, DURAND-GUERRIER Viviane, "Expérimenter pour apprendre en mathématiques", Repères IREM, Metz, Topiques, n°60 GONSETH Ferdinand, Les Mathématiques et la réalité. Essai sur la méthode axiomatique, Paris, Albert Blanchard, 1974. GRANGER Gilles-Gaston, 1993, La science et les sciences, PUF GRENIER Denise, PAYAN Charles, 2002, "Situations de recherches en classe : essai de caractérisation et proposition de modélisation", Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2002. Thierry DIAS – octobre 2005

23. question de recherche et méthodologie dans nos travaux antérieurs Comment mettre en évidence la place de l'expérience dans la construction des connaissances en mathématiques : épistémologie du concept d ’expérience la démarche expérimentale dans les programmes d ’enseignement étude didactique d’un milieu de type expérimental (ref. Isabelle Bloch) Thierry DIAS – octobre 2005

24. Qu'est-ce qu'une expérience ? expérience … expérimentation... On attribue généralement deux significations différentes au mot expérience : ancrage temporel : la "vie qui passe" processus dans lequel le sujet est passif champ de la sensation caractère routinier répétitif volonté pour le sujet d'intervenir sur le monde expérimenter les choses, leurs contraintes, leur résistance dépendant d'une théorie (d'une idée) qui la précède. partie 1 : épistémologie du concept d'expérience « faire l'expérience de » sens anthropologique de l'homme d'expériencequi détermine une forme subjective car privée « faire une expérience sur» projet d'expérimentation du sujet processus de connaissance et d'objectivité experience experiment Thierry DIAS – octobre 2005

25. Quelques critères permettant de caractériser une science expérimentale  Première caractéristique Chaque individu entretient un rapport médiatisé aux objets du monde, aux faits de la science. L'interprétation qui en naît se fait par confrontation à une théorie plus ou moins élaborée.  Deuxième caractéristique L'accès à la connaissance est un projet d'activité du sujet s'appuyant sur un processus de type constructiviste. Conclusions de la recherche en DEA  Troisième caractéristique Le processus d'expérimentation s'accompagne nécessairement d'un projet explicatif et critique. Le débat est possible, la réfutation des savoirs est toujours envisageable.  Quatrième caractéristique La modélisation et l'utilisation d'instruments sont des gestes qui caractérisent l'expérience scientifique. L’espace de mise en œuvre de l’activité est le « laboratoire ». Thierry DIAS – octobre 2005

26. caractérisation du milieu permettant le recours à la dimension expérimentale en mathématique La connaissance a priori de l'épistémologie et de l'histoire des savoirs 1 Conclusions de la recherche en DEA La médiation établie entre sujets et objets est possible grâce à la présence de trois registres 2 La mise à disposition des "acteurs" d'outils de modélisation dans la situation 3 Les différents statuts et rôles qui sont donnés aux élèves dans la situation 4 Thierry DIAS – octobre 2005