Teoria dei gruppi

1. Teoria dei gruppi Simmetria di punto

2. Definizione di gruppo • In un insieme di elementi esiste una legge di moltiplicazione tale che se X e Y appartengono all’insieme allora Z=X.Y appartiene all’insieme • Esiste un elemento E tale che E.X=X.E per ogni X • Vale la proprietà associativa Z.(Y.X)=(Z.Y).X • Ogni elemento ha il suo inverso X-1=Y tale che Y.X=X.Y=E

3. Un esempio • Verificare che l’insieme dei numeri interi, positivi e negativi, incluso lo 0, costituiscono un gruppo rispetto all’addizione • 1, -1, i, -i • Numeri razionali 0 escluso

4. Ancora sui gruppi • Il numero di elementi dà l’ordine del gruppo. Gruppi finiti e gruppi infiniti • Il gruppo è commutativo (Abeliano) se per ogni coppia di elementi XY=YX. • Il gruppo è ciclico se tutti gli elementi sono ottenuti elevando una data operazione a potenza X, X2, X3…. • Un sottogruppo è un sottoinsieme di un gruppo che forma un gruppo di per sé

5. Tavola di moltiplicazione

6. Generatori di un gruppo • Un gruppo può venire generato da un insieme di elementi detti generatori • i o -i

7. Classi di un gruppo • A e B sono coniugati se esiste un C tale che A=CBC-1 • L’insieme di operazioni mutuamente coniugate costituisce una classe

8. Gruppi di simmetria • Operazioni di simmetria • Elementi di simmetria

9. An Example of the use of Symmetry Florence, The Baptistry

10. E di rottura della simmetria

11. Solidi platonici

12. FULLERENE C60 Questa nanostruttura, con dimensioni minime di 1 nm, è la capostipite molecolare dei composti a base di carbonio. .

13. Giant Molecular Antiferromagnets: Fe30 Icosidodecaedro

14. The ferric wheel S. Lippard

16. The library of molecular magnets: clusters G. Christou

17. Simmetrie dispari

22. Why symmetry? So our problem is to explain where symmetry comes from. Why is Nature so nearly symmetrical? No one has an idea why. The only thing we might suggest is something like this: There is a gate in Japan, a gate in Neiko, which is sometimes called by the Japanese the most beautiful gate in all Japan; it was built in a time when there was freat influence from the chinese art. The gate is very elaborate, with lots of gables and beautiful carving and lots of columns and dragon heads and princes carved ito the pillars, and so on. But when one looks closely he sees that in the elaborate and complex design along one of the pillars, one of the small design elements is carved upside down; otherwise the thing is completely symmetrical. If one asks why this is, the story is that it was carved upside down so that the gods will not be jealous of the perfection of man. So they purposely put an error in there. So that the gods would not be jealous and get angry with human beings. We might like to turn the idea around and think that the true explanation of the near symmetry nature us this: that God made the lows only nearly symmetrical so that we should not be jealous of His perfection! The Feynmann Lectures on Physics

23. Simmetria • Simmetria di punto • Simmetria traslazionale • Elementi di simmetria • Operazioni di simmetria • Gruppi di simmetria

24. Elementi e operazioni di simmetria Asse di roto-riflessione Elemento Centro punto Asse Piano Rotazione impropria Operazione Inversione Rotazione Riflessione

25. Inversione

27. Riflessione

29. Assi di rotazione compatibili con i cristalli C2 C3 C4 C6

31. Rotazione 4

32. Se c’è un asse di ordine n quante rotazioni posso fare? n !

33. Rotoinversione 4

34. Gruppi di simmetria • Il prodotto di due operazioni corrisponde a effettuare le due operazioni una di seguito all’altra • Il prodotto di due operazioni è un’operazione del gruppo • Esiste un elemento neutro, E, tale che applicato a R lo lasci inalterato • Per ogni R del gruppo esiste R-1 tale che R.R-1=R-1.R= E

35. Operazioni di simmetria dell’acqua z • E • C2 • xz • yz x

37. Tabella di moltiplicazione del gruppo C2v

38. C3v

39. C3v

40. C3v

41. C3v

42. C3v

43. Sottogruppi di C3v • (E, C3+, C3-) • (E,s1) • (E,s2) • (E,s3)

44. Classi di un gruppo • A e B sono coniugate se esiste una C tale che A=CBC-1 • L’insieme di operazioni mutuamente coniugate costituisce una classe • il gruppo C2v ha 4 classi • Il gruppo C3v ne ha 3: E, 2C3, 3σv

45. Tipi di gruppo di simmetria • Gruppi ciclici: asse di ordine n, Cn o Sn • Gruppi diedrici : asse di ordine n+ piano ortogonale Cnh • Gruppi diedrici: asse Cn + piano passante, Cnv • Gruppi diedrici: asse di ordine n + asse binario ortogonale, Dn • Gruppi diedrici: asse di ordine n + asse binario ortogonale + piano che biseca assi binari, Dnd • Gruppi diedrici: asse di ordine n + asse binario ortogonale+ piano ortogonale, Dnh

46. Gruppi cubici • Tre assi binari perp. facce cubo+ 4 assi ternari, T • Come T + inversione, Th • quattro assi ternari + tre S4, Td • Quattro assi ternari+ 4 assi tetragonali, O • O+ inversione, Oh

47. Gruppi di punto • Gruppi di rotazione Cn • Gruppi di rotoriflessione S2n • Gruppi Cnh • Gruppi Cnv • Gruppi diedrici Dn • Gruppi Dnh • Gruppi Dnd • Gruppi cubici T,Td,Th,O,Oh • Gruppi icosaedrici I, Ih

49. Cn Groups http://www.phys.ncl.ac.uk/staff/njpg/symmetry/

50. Cnv