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위상수학

위상수학. 공간의 연결 구조 곡면의 분류, 종수 기본군, 호모토피군 푸앙까레 추측 3-차원 다양체 우주. 위상수학이란?. 공간의 연결구조를 연구한다. 즉 찢어지지 않는 변형에서 불변하는 구조를 topology 라고 한다. 예: 원과 타원은 위상적으로 같다. 그래프의 성질들 그래프에서 벋어나 일반적인 2, 3, … , n 차원 공간의 연결구조를 연구하려 한다. 또한 특이점이 있는 경우도 연구한다. Topology 의 정의.

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위상수학

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Presentation Transcript

  1. 위상수학 • 공간의 연결 구조 • 곡면의 분류, 종수 • 기본군, 호모토피군 • 푸앙까레 추측 • 3-차원 다양체 • 우주

  2. 위상수학이란? • 공간의 연결구조를 연구한다. 즉 찢어지지 않는 변형에서 불변하는 구조를 topology라고 한다. • 예: 원과 타원은 위상적으로 같다. 그래프의 성질들 • 그래프에서 벋어나 일반적인 2, 3, …, n차원 공간의 연결구조를 연구하려 한다. 또한 특이점이 있는 경우도 연구한다.

  3. Topology의 정의 • A setX along with a collection T of subsets of it is said to be a topology if the subsets in T obey the following properties: • 1. The (trivial) subsets X and the empty set are in T. • 2. Whenever sets A and B are in T, then so is their intersection. (유한) • 3. Whenever two or more sets are in T, then so is their union (무한 가능)

  4. 예 • { , X} • {, {1}, {2}, {1, 2}}일만적으로 P(X)={ A| A는 X의 부분집합}은 topology이다. Discrete topology라고 한다. • {1,2}의 모든 topology: {, {1,2}},{, {1}, {1, 2}}, {, {2}, {1,2}}, { , {1}, {2}, {1,2}}

  5. 예 실수의 집합에서는 서로소인 열린 구간(무한포함)의 합집합을 모으면 topology 이다. 물론 실수 전체 집합과 공집합도 포함된다. 열린 유한구간의 합집합들을 모으면 위상이다. 평면에서는 좀더 복잡하다: 열린 원내부의 합집합

  6. 곡면 (2차원 다양체) • 곡면이란 국소적으로 2-차원인 위상공간을 말한다. • 이차원에서의 향이란 회전방향을 국소적으로 주는 것을 말한다. • 가향 곡면은 향을 줄수 있다. • 비가향 곡면은 향을 줄수 없다. (예: 모비우스 띠)

  7. 곡면 만드는 법 • 평면을 여러 조각으로 잘라서 다시 붙인다. 이때 추상적으로 붙인다. 즉 우리가 살고 있는 3-차원 공간이라고 생각하지 않고 붙이는 방법만 생각 한다.

  8. 예 구 실사영곡면

  9. 예 원환면 클라인병

  10. 구 • 구나 타원형이나 마찬가지이다.

  11. 원환면(torus)

  12. 실사영곡면

  13. http://web.meson.org/topology/projective.html

  14. 클라인 병(Klein bottle)

  15. http://www.ma.umist.ac.uk/kd/geomview/geometry.html

  16. (닫힌)곡면의 분류 • Connected sum construction.Remove two disks from two surfaces and identify the two circle boundaries. • 또는 손잡이를 붙인다. • 종수(genus): 가향곡면: 원환면의 개수, 또는 손잡이의 개수비가향곡면: 실사영곡면의 개수, 또는 십자모자(cross-cap)의 개수 • http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/classification.html

  17. 분류의 도우미 • 곡면위에 그래프를 그린다. 이때 그래프의 보공간은 disk여야 한다. • 오일라 표수는 매몰된 그래프에 상관없이 같은 수를 준다. (예: 구에서) • 손잡이를 붙이면 오일라 표수는 어떻게 변하는가? 십자모자를 붙이면? • 종수, 오일라 표수가 같으면 곡면은 위상적으로 같다.

  18. 오일라 표수 계산 2 • 구 • 원환면 • 실사영 곡면 • 클라인 병 • 가향 종수 g • 비가향 종수 g 0 1 0 2-2g 1-g

  19. 기본군, 호모토피 군 • 기본 세미군: 곡면위의 길들, 언제 끝점을 보존하고 변형가능한가?

  20. 두 길 class는 곱하기를 할수 있다. A*B (A가 끝나는 점에서 B가 시작하는 경우) • Loop들만 보면 군을 이룬다. • 이것을 기본군이라고 한다. • 호모토피군은 모든 차원의 구에서의 사상의 변형공간을 계산한다. http://mathworld.wolfram.com/Fundamental Group.html http://mathworld.wolfram.com/HomotopyGroup.html

  21. 다차원 공간 • n차원 공간이란 국소적으로 n차원 유클리드 공간과 위상동치인 공간을 말한다. 2차원과 마찬가지로 여러가지 공간이 있다. • 예: S3 ={ v∈ R4| |v|=1}, S1xS1xS1 http://geometrygames.org/ http://geometrygames.org/TorusGames/index.html http://www.math.tu-berlin.de/diskregeom/stellar/

  22. 12면체 3-차원 다양체 • 예 12면체에서 반대면끼리 시계방향으로 36도 돌려서 붙임 1/10* 360 = 36 • 3/10* 360도 돌려서 붙여도 된다. http://www.nature.com/nature/journal/v425/n6958/fig_tab/nature01944_F3.html http://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/

  23. 푸앙카레 추측(Poincare Conjecture) Poincare는 만약 유한한 공간의 기본군, 호모토피군이 다 trivial군이면 그 공간은 구일 것이라고 추측하였다. http://mathworld.wolfram.com/PoincareConjecture.html

  24. 증명 • 2차원 구 • S. Smale 7차원 이상에서 • Stallings, Zeeman 5차원 이상 • Freedman 4차원 • 3-차원 해결 안됨

  25. Geometrization of 3-manifolds • 단힌 3-차원 다양체는 essential한구나 원환면으로 잘라낸후 3-차원 기하구조를 지닌다. • 3-차원 기하학을 지닌 다양체란 그 기하학의 공간으로 덮히는 다양체를 말한다. 또는 대칭군으로 잘라서 만든 공간을 말한다. http://mathworld.wolfram.com/ThurstonsGeometrizationConjecture.html

  26. 3-차원 기하학 • Euclidean geometry • Hyperbolic geometry • Spherical geometryhttp://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_geometry • The geometry of S2 x R • The geometry of H2 x R • The geometry of SL2R • Nil geometry, or • Sol geometry.

  27. 우주는 생각보다 작다? 현재 모델: 평탄한 유클리드 공간 http://www.nature.com/cgi-taf/DynaPage.taf?file=/nature/journal/v425/n6958/abs/nature01944_fs.html

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