1 / 34

Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3)

by Ratna Herdiana. Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3). Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray ) yang diberikan dan berpangkal pada O.

doris
Download Presentation

Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. by Ratna Herdiana Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3) • Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. • Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutubO dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O. O (the pole) ray (polar axis)

  2. Titik P dengan koordinat polar(r, ) berarti berada diposisi: -  derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. • r:koordinat radial • :koordinat sudut

  3. Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (- r,  + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r,  + n ) , untuk n bil. bulat genap Example: the following polar coordinates represent the same point (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

  4. Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos , y = r sin Makar2 = x2 + y2, tan = y/x, jika x  0 Catt. menentukan  • Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 <  < /2   = arctan(y/x). • Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan(y/x).

  5. Persamaan2 dalam Koordinat Polar • Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a • Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a):r = 2a sin - berpusat di (a,0): r = 2a cos r = 2 cos  r = 2 sin 

  6. Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin  x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

  7. Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin  and r2 = 4 sin . Solusi: (1 + sin  )2 = 4 sin  1 + 2 sin  + sin2 - 4 sin  = 0 sin2 - 2 sin  + 1 = 0 (sin  - 1)2 = 0  sin  = 1 Jadi sudut  =  /2 + 2n, dimana n = 0,1,… Jadi salah satu titik potong: (2,  /2)

  8. Grafik Persamaan Polar Cardioid:

  9. Limaçon: r = a + b cos , r = a + b sin  Limaçon: r() = 3 – 2 cos()

  10. Persamaan berbentuk r = cos (n) atau r = sin(n ) mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jikanganjil, 2n jika n genap

  11. Rose: r() = a – b sin (n)contoh: r() = 5 – sin(2)

  12. Grafik persamaan polar

  13. Lemniscate:

  14. Spiral: r = 

  15. Grafik dari “butterfly curve”r() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin(/4)^3

  16. Menghitung Luas dalam Koordinat Polar • Definisi: Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial  =  dan  =  dan kurva r = f( ),    , adalah  = r = f()  =

  17. Diket. luas lingkaran berjari r : • Luas juring (sektor) lingkaran: • Partisi selang [,  ]:  = 0 <1 <2 … <n = • Daerah R dibagi menjadi n buah sektor. • Luas sektor ke- i ( Ai )  Luas sektor dg jari2 f(i *) dan besar sudut i = i - i-1 . Ai Jadi A =

  18. Hitung luas daerah limaçon dgn pers. r = 3 +2 cos , 0    2

  19. Example • Solution:

  20. Contoh 2: Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop limacon

  21. Luas daerah yg dibatasi ikalan luar: Luas yg dibatasi ikalan dalam (r<0) Luas =

  22. Luas daerah antara dua kurva polar r = f() dan r = g(), dengan f()  g()  0, :

  23. Kurva Parametrik (Ch.10.4) • Definisi: Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah sepasang fungsi x = f(t), y = g(t) (pers. Parametrik) yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam interval tertentu, t bilangan real (parameternya). Contoh: x = cos t, y = sin t, 0 t  2 Atau

  24. Kurva parameter dari fungsi parameter x= cos 3t, y = sin 5t, 0  t  2

  25. Cycloid: Suatu lingkaran berjari r menggelinding sepanjang garis horisontal, jejak sebuah titik pada lingkaran tsb. membentuk kurva cycloid

  26. Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat C(at,a) x = a(t – sin t) y = a(1- cos t) C(at,a) P(x,y) Q(at,y)

  27. Garis tangen pada persamaan parametrik Kurva parametrik x = f(t), y= g(t) dikatakan mulus (smooth) jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara bersamaan. Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs. tangen Contoh; Cari persamaan garis tangen pada t yang ditentukan

  28. Parametrik Koordinat Polar • Kurva dalam koordinat polar, r = f( ), dapat dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter  : x( ) = f( )cos  , y( ) = f( )sin , (x dan y dinyatakan dgn parameter ). • Kemiringan dy/dx dari garis tangen

  29. Cari persamaan garis tangen dari kurva parametrik

  30. Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar berikut ini r = f(q) = 2 + 3 cos(8 q) di q = 3p/4. Hit. dy/dq, dx/dq , dy/dx

  31. Conic Sections

More Related