5 tema. Matematinės statistikos pradmenys

1. 5 tema. Matematinės statistikos pradmenys Matematinė statistika nagrinėja: Eksperimentų rezultatų apdorojimo būdus Statistines išvadas Matematinės statistikos dalys: 1. Įverčių teorija. 2. Hipotezių tikrinimas.

2. Matematinės statistikos metodų charakteristika 1. Įverčių teorijos sritis – metodai, taikant kuriuos nustatoma: 1) Empirinė atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija 2) Jo skaitinės charakteristikos 2. Statistinės išvados – hipotezių tikrinimas • Statistinė hipotezė – tai prielaida apie empirinį atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį ir/arba apie jo empirines skaitines charakteristikas.

3. Įverčių teorija Skirtumas tarp tikrosios ir nustatytos iš imties skaitinių charakteristikų reikšmių , vadinamas imties paklaida. • Formulės: • 1. Pasikliautinoji tikimybė: • čia Q – pasikliautinoji tikimybė; • m – empirinis vidurkis; • m – tikrasis, bet tyrėjui nežinomas vidurkis; • ε – bet koks pakankamai mažas dydis

4. Įverčių teorija 2. Reikšmingumo lygmuo: 3. Pasikliautinasis intervalas

5. Įverčių teorija 4. Nagrinėjamas atsitiktinis dydis T: T = (m-m)/ S*, S* - atsitiktinio dydžio m standartinis nuokrypis –imties su numeriu i elemento reikšmė; n – elementų skaičius imtyje. Atsitiktinis dydis T yra pasiskirstęs pagal Stjudento dėsnį.

6. Praktiški skaičiavimai 1. Turime n stebėjimo rezultatų. 2. Apskaičiuojame tos imties reikšmių empirinį vidurkį m. 3. Pasirenkame pageidaujamos pasikliautinosios tikimybės Q dydį. Reikia rasti pasikliautinąjį rėžį, atitinkantį tą tikimybę Q. 4. Randame šio atsitiktinio dydžio standartinį nuokrypį S*. 5. Pagal stebėjimų skaičių n ir pasikliautinąją tikimybę Q randame parametrą tα (žr. 1 priedą) 6. Padauginame šią reikšme iš S* ir gauname ε reikšmę, t.y. ε = tαS*. 7. Ieškomasis pasikliautinasis rėžis yra [m- ε, m+ ε].

7. Audito rizika Rizika gali būti dvejopos prigimties: • Audituojamojo, kai nepaisant to, kad organizacijos veikla yra gera, suformuluojama neigiama išvada; 2. Audito, kai suformuluojama teigiama išvada, nors organizacijos veikloje yra esminių trūkumų.

8. Rizikos pasiskirstymas tarp audituojamojo ir auditoriaus

9. Audito rizikos tipai: • Įgimta rizika – nukrypimai nuo optimalios veiklos strategijos dėl neveikiančios vidaus kontrolės (ĮR) • Kontrolės rizika – rizika, kad vidaus kontrolė laiku nepastebės ir neištaisys nukrypimų (KR) • Neaptikimo rizika –audito metu nebus nustatyti vidaus kontrolės neištaisyti veiklos trūkumai (NR) • Audito rizika: AR = ĮR x KR x NR

10. Įgimtą riziką įtakojantys veiksniai: • Veiklos pobūdis; • Veiklą reguliuojančios teisinės bazės trūkumai; • Audituojamos institucijos personalo kompetencijos, patirties, sąžiningumo stoka; • Struktūros sudėtingumo laipsnis; • Nerealių reikalavimų egzistavimas; • Neįgyvendinti ankstesnių auditų rezultatai.

11. Kontrolės ir neaptikimo rizikąįtakojantys veiksniai: • 1. Vidaus kontrolės: • Vidaus auditorių skaičius • Jų kompetencija, kvalifikacija ir kruopštumas • Naudojamų metodikų kokybė • Atliekamų procedūrų tinkamumas ir išsamumas • 2. Neaptikimo rizika: • specifinių situacijų neatpažinimas; • nekvalifikuotų ar netinkamų auditorių atranka; • netinkamų metodikų ir procedūrų panaudojimas; • Netiksli rezultatų interpretacija; • lėšų ir laiko stoka.

12. Audito rizikos matricaNeaptikimo rizika

13. Įgimtos ir kontrolės rizikos lygiai (Lenkija)

14. Neaptikimo rizikos apskaičiavimo pavyzdys

15. Statistinės išvadosHipotezės • Hipotezė – tai prielaida apie populiacijos požymių reikšmes • Tikrinama hipotezė yra vadinama nuline hipoteze ir žymima H0 • Tradiciškai H0 yra hipotezė apie lygybę, t.y. „nulinį“ skirtumą. • Jai priešinga hipotezė žymima H1 ir vadinama alternatyviąja • Hipotezėms tikrinti naudojami statistiniai kriterijai – taisyklės, kuriomis remiantis hipotezės pripažįstamos teisingomis arba klaidingomis • Kritinė sritis – tai aibė reikšmių, kurias statistikai įgijus nulinė hipotezė atmetama. • Kritinė reikšmė – tai skaičius, kuris atskiria kritinę sritį nuo hipotezės neatmetimo srities.

16. Pirmosios ir antrosios rūšies paklaidos • Tikimybė atmesti nulinę hipotezę, kai ji yra teisinga, – I rūšies klaida α – reikšmingumo lygmuo • Tikimybė neatmesti nulinės hipotezės, kai ji klaidinga, - II rūšies klaida β • Tikimybė atmesti nulinę hipotezę, kai ji yra klaidinga, vadinama kriterijaus galia

17. Pirmosios ir antrosios rūšies klaidos

18. Kriterijaus galia • Tikimybė pagrįstai atmesti nulinę hipotezę, jei ji yra klaidinga, vadinama kriterijaus galia. • Jeigu teisinga nulinė hipotezė, tai tikimybė, kad testo statistika įgys reikšmes didesnes už kritinę reikšmę, yra lygi α. • Kritinė reikšmė dalina statistikos skirstinį į dvi dalis. • Kairioji alternatyvaus skirstinio dalis yra β – tikimybė priimti klaidingą nulinę hipotezę, • Dešinioji jo dalis yra kriterijaus galia - tikimybė atmesti klaidingą.

19. Kriterijaus galia • Galią įtakojantys veiksniai: • Skirtumas, kurį norima aptikti: Kuo didesnį skirtumą norėtume aptikti, tuo didesnis būtų atstumas tarp nulinio ir alternatyviojo pasiskirstymo tankio funkcijų; • Tiriamojo parametro dispersija: Kuo mažesnė . dispersija, tuo siauresnės būtų nulinio ir alternatyviojo pasiskirstymo tankio funkcijos; • imties dydis, kuris įtakoja pasiskirstymo funkcijų formą

20. Imties dydis • Kai vertinamos vieno atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos • Kai vertinamos dviejų atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų lygybė – hipotezių tikrinimas

21. Imties dydisI • Atsitiktinis dydis normalus • Žinomas standartinis nuokrypis • Uždavinys: • kiek reikia duomenų, kad vidurkis, • nustatytas iš tų duomenų imties, • atitiktų patikimumo ir tikslumo reikalavimus

22. Imties dydis I • Sprendimas: • - standartizuoto normaliojo skirstinio kritinė reikšmė

23. Imties dydis I 1. Atsitiktinis dydis nėra normalus 2. Standartinis nuokrypis nežinomas Imties dydis - Stjudento dėsnio α lygmens kritinė reikšmė • – empirinė dispersija • - empirinis vidurkis

24. Imties dydis I • 3. Proporcijų įverčiai: • Pasikliautinojo intervalo ilgis išreiškiamas tokia nelygybe: • Imties dydis

25. Imties dydis II • Pagrindiniai veiksniai, įtakojantys imties dydį yra: • reikšmingumo lygmuo α; • galia 1-β; • tyrimui reikšmingas skirtumas δ, kurį norima aptikti; • tiriamų populiacijų standartiniai nuokrypiai, kurie dažniausiai nėra žinomi. • Jų reikšmės paprastai įvertinamos remiantis ankstesnių tyrimų rezultatais, patirtimi arba naudojantis specialiaisiais metodais.

26. 1. Imties dydis populiacijų vidurkių palyginimo atveju • Dvi populiacijos • Tarkime, kad auditorius nori patikrinti, ar dviejų populiacijų tiriamųjų požymių vidurkiai yra vienodi, • Kokio dydžio imtis jis turėtų išrinkti iš tiriamų populiacijų, kad su pasirinktu reikšmingumo lygmeniu ir galia galėtų pagrįstai teigti, kad skirtumas tarp imčių vidurkių yra statistiškai reikšmingas?

27. 1. Imties dydis populiacijų vidurkių palyginimo atveju • Dvi populiacijos, imčių dydžiai vienodi, standartiniai nuokrypiai skirtingi • Imčių dydžiai: • α- reikšmingumo lygmuo, • β – kriterijaus galia, • δ – tyrimui reikšmingas skirtumas, kurį norima aptikti, • σ1 ir σ2 – standartiniai nuokrypiai,

28. 1. Imties dydis populiacijų vidurkių palyginimo atveju • Dvi populiacijos, imčių dydžiai vienodi, standartiniai nuokrypiai vienodi: • Imčių dydžiai:

29. 1. Imties dydis populiacijų vidurkių palyginimo atveju • Dvi populiacijos, imčių dydžiai skirtingi: m<n, standartiniai nuokrypiai vienodi: • Imčių dydžiai: • Pirmosios – m • Antrosios vietoj n reikia l dydžio imties:

30. 1. Imties dydis populiacijų požymių proporcijų palyginimo atveju • Lyginamų imčių dydis turi būti: • -lyginamų proporcijų reikšmės

31. Imties dydis esant n populiacijoms ir k kategorijoms • Turime • N=n*k dydžio imtį • Norime aptikti skirstiniuose • dydžio skirtumus Imties dydis turi būti:

32. Hipotezės apie homogeniškumą tikrinimas • Tikrinama, ar kelios skirtingos populiacijos tam tikro požymio atžvilgiu yra vienodos (homogeniškos) • Nagrinėjamos r skirtingoso puliacijos. • Vertinamas kiekvienos iš jų vienas kategorinis kintamasis, susidedantis iš c kategorijų. • Surinktus duomenis galima surašyti dažnių lentelėje (9 lentelė).

33. Hipotezės apie homogeniškumą tikrinimas • Skirtingų populiacijų kategorinio kintamojo dažniai

34. Hipotezės apie homogeniškumą tikrinimas • Kriterijaus statistika • Antroji šios formulės dalis – tikėtini dažniai • Laisvės laipsnių skaičius (c-1)(r-1) • Sprendimas: mulinė hipotezė atmetama, jei apskaičiuta statistika didesnė už teorinę jos reikšmę

35. Hipotezės apie homogeniškumą tikrinimas • Taikant šį kriterijų reikia. kad: • Imtis būtų ne mažesnė nei 30. • Ne daugiau nei ketvirtadalis gardelių reikšmių būtų mažesnės nei 5. • Sprendimas: jei p<α, nulinė hipotezė atmetama

36. Hipotezės apie nepriklausomumą tikrinimas • Kriterijus, veiksmai ir išvados analogiškos kaip ir tikrinant homogeniškumą • Skirtumai: • 1 Stulpelyje išdėstomos vieno kintamojo reikšmės • 1 Eilutėje išdėstomos kito kintamojo reikšmės • Jei apskaičiuota statistika didesnė už teorinę, – kintamieji priklausomi