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UNLA Organización de Computadoras (2014)

ALGEBRA DE BOOLE. UNLA Organización de Computadoras (2014). Indice. 1. Reseña Histórica. 2. Algebra de Boole. 3. Postulados. 4. Teoremas. 5. Ejercicios. 1. Reseña Histórica Algebra de Boole En 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para el

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  1. ALGEBRA DE BOOLE UNLA Organización de Computadoras (2014)

  2. Indice 1.ReseñaHistórica 2.AlgebradeBoole 3.Postulados 4.Teoremas 5.Ejercicios

  3. 1.ReseñaHistóricaAlgebradeBoole En1854GeorgeBooleintrodujounanotaciónsimbólicaparael tratamientodevariablescuyovalorpodríaserverdaderoofalso (variablesbinarias)AsíelálgebradeBoolenospermitemanipular relacionesproposicionalesycantidadesbinarias.Aplicadaalas técnicasdigitalesseutilizaparaladescripciónydiseñodecircuitos mas económicos. Las expresiones booleanas serán una representacióndelafunciónquerealizauncircuitodigital.Enestas expresionesbooleanasseutilizaránlastresoperacionesbásicas( AND,ORNOT)paraconstruirexpresionesmatemáticasenlas cualesestosoperadoresmanejanvariablesbooleanas(loquequiere decirvariablesbinarias).

  4. 2.3Definiciones Literal:serefiereaunavariableoasucomplemento(porej. A,X,X) Términoproducto:esungrupodeliteralesquese encuentranrelacionadosentresiporun AND (porej.A·B,C·A, X ·Y·Z) Términosuma:esungrupodeliteralesqueseencuentran relacionadosentresiporunOR (porej.A+B,C+A,X +Y+Z) Términonormal:terminoproductooterminosumaenelque unliteralnoaparecemasdeunavez

  5. 2.3 Definiciones Términocanónico:terminoenelqueseencuentraexactamente unodecadaunodelosliteralesdelafunción.Sieltermino canónicoesunproducto,sedenominarámintérmino.Sies unasumasedenominarámaxtérmino. Formanormaldeunafunción:eslaqueestáconstituidapor términosnormales.Puedeestarenlaformasumadetérminos productosoproductosdetérminossumas. Formacanónicadeunafunción:esaquellaconstituida exclusivamenteportérminoscanónicosqueaparecenunasola vez.

  6. 2.4 Forma Canónica Laimportanciadelaformacanónica,eselhechodeser UNICA.Comovimosanteriormenteunafunciónpuedetener infinidadderepresentaciones,perosolounarepresentación enformacanónica. Existendosformascanónicasdeunafunción:Sumade ProductosoProductodeSumas.(Tambiéndeunamanera masformalSumademintérminosoProductode maxtérminos) Paraobteneralgebraicamentelaformacanónicadeuna funciónpodemosutilizarlosteoremasdeexpansión canónica:

  7. 2.4 Forma Canónica suma de Productos Esaquellaconstituidaexclusivamenteportérminoscanónicos productos(mintérminos)sumadosqueaparecenunasolavez. Porejemplo: F(X,Y,Z)=X Y Z+X Y Z +XY’Z+X Y Z+XYZ Acadaminterminoseleasociaunnumerobinariodenbits resultantedeconsiderarcomo0lasvariablescomplementadas ycomo1lasvariablesnocomplementadas.Asíporejemplo elminterminoX Y ZcorrespondeacombinaciónX=0,Y=0, Z=1querepresentaelnumerobinario001,cuyovalordecimal es1.Aesteminterminoloidentificaremosentoncescomom1.

  8. 2.4 Forma Canónica suma de Productos Deestaforma,lafunción: F(X,Y,Z)=X Y Z+X Y Z +X Y Z+X Y Z +XYZ Sepuedeexpresarcomo: F(X,Y,Z)=m(1,4,5,6,7) quequieredecirlasumatoriadelosmintérminos1,4,5,6,7.

  9. 2.4 Forma Canónica producto de sumas Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicossumas(maxtérminos)multiplicadosqueaparecen unasolavez.Porejemplo: F(X,Y,Z)=(X+Y+Z)(X+Y +Z)(X+Y +Z) Análogamentealcasoanterior,podemossimplificarla expresióndelafunción,indicandolosmaxtérminos.Sin embargo,enestecasosehacealcontrariodeantes.Acada maxterminoseleasociaunnumerobinariodenbits resultante de considerar como 1 las variables complementadasycomo0lasvariablesnocomplementadas.

  10. 2.4 Forma Canónica producto de sumas AsíporejemploelmaxterminoX+Y+Zcorrespondea combinaciónX=1,Y=0,Z=0querepresentaelnumero binario100,cuyovalordecimales4.Aestemaxterminolo identificaremosentoncescomoM4. Deestaforma,lafunción: F(X,Y,Z)=(X+Y+Z)(X+Y +Z)(X+Y +Z) sepuedeexpresarcomo:F(X,Y,Z)=M(0,2,3)quequiere decirelproductodelosmaxterminos0,2,3

  11. 2.4 Forma Canónica Teorema1:Paraobtenerlaformacanónicadeunafunción sumadeproductossemultiplicaráporunterminodela forma(X+X )dondefalteunliteralparaqueelterminosea canónico. Teorema2:Paraobtenerlaformacanónicadeunafunción productodesumassesumaráunterminodelaformaX·X dondefalteunliteralparaqueelterminoseacanónico.

  12. 2.4 Forma Normal de Funciones Booleanas Otramaneraimportantedeexpresarexpresionesbooleanases laformanormal.Tienelamismaestructurabásicasumade productosoproductodesumas,peronoserequierequelos términosseanminterminosomaxterminos. Porejemplo:Lasiguienteesunaformanormalparasumade productos:XY+X Y Z Lasiguienteesunaformanormalparaproductodesumas: (Y+X)(X + Z)Y Nota:Engenerallaformamásutilizadaes:lasumade productos

  13. Algebra de Conmutación Función de Conmutación Tablas de Verdad Formas Canónicas Minterminos y Maxterminos Mapas de Karnaugh

  14. FuncióndeConmutación  Unafuncióndeconmutaciónsepuede expresardetresmaneras: EnformaAlgebraica PorunaTabladeVerdad EnformaCanónica – – –

  15. TablasdeVerdad    Laformamásintuitivaderepresentarunafunciónde conmutaciónespormediodeunatabladeverdad. Latabladeverdadexpresaelvalordesalidade unafunciónparacadacombinacióndeentrada. LatabladeVerdadpermitemodelaruntipoespecial desistemaDigitalllamadoSistemaCombinacional.

  16. EjemplodeTablasdeVerdad FormaAlgebraica: F(X1,X2,X3)=X1X2+X2X3

  17. EjemplodeTablasdeVerdad TabladeVerdad 

  18. FormasCanónicas  Sellamaterminocanónicodeunafunciónde conmutaciónatodoterminoenquefiguran todaslasvariablesdelafunción,yasea complementadasosincomplementar.

  19. FormasCanónicas X1X2X3 Problema: Dada una Tabla de Verdad,obtenerlaforma algebraica X1X2X3 X1X2X3 X1X2X3

  20. FormasCanónicas La formaAlgebraicaqueda: F(X1,X2,X3)=X1 X2X3 +X1X2X3+ X1X2X3+X1X2X3 Paraconvertirseobservalacombinacióndeentradapara lacuallasalidatomaelvalor1. Lavariableaparecesincomplementar:sivale1parala combinaciónenlacuallasalidavale1yaparece complementadasivale0paralacombinaciónenlacualla salidatomaelvalor1.

  21. FormasCanónicas:Mintérminos   Sedenominamintérminoaunfactordeuna expresiónbooleanaqueestáformadoporelANDde todaslasvariables. UnafuncióndeconmutacióncorrespondealORde mintérminos.Lafuncióngeneradadeestamanerase denominaORcanónicadeAND. F(X1,X2,X3)=OR(m0,m1,..,mn) F(X1,X2,X3)=(m0,m1,..,mn)

  22. FormasCanónicas:Mintérminos  Paraelejemploanterior: F(X1,X2,X3)=OR(1,3,5,6) F(X1,X2,X3)=(1,3,5,6)

  23. FormasCanónicas:Maxtérminos  Una forma alternativa de expresar la función esexaminándolas combinaciones en lascuales vale 0 (X1+X2+X3) (X1+X2+X3) (X1+X2+X3) (X1+X2+X3)

  24. FormasCanónicas:Maxtérminos Lafunciónquedaahora: F(X1,X2,X3)=(X1+X2+X3)(X1+X2+X3) (X1+X2+X3)(X1+X2+X3) Paraconvertirseobservalacombinaciónde entradaparalacuallasalidatomaelvalor0.La variableaparecesincomplementarsivale0para lacombinaciónenlacuallasalidavale0y  aparece complementada si vale 1 para la combinaciónenlacuallasalidatomaelvalor0.

  25. FormasCanónicas:Maxtérminos   Sedenominamaxtérminoaunfactordeuna expresiónbooleanaqueestáformadoporelORde todaslasvariables. UnafuncióndeconmutacióncorrespondealANDde maxtérminos.Lafuncióngeneradadeestamanera sedenominaANDcanónicadeOR. F(X1,X2,X3)=AND(M0,M1,..,Mn) F(X1,X2,X3)=P(M0,M1,..,Mn)

  26. FormasCanónicas:Maxtérminos  Paraelejemploanterior: F(X1,X2,X3)=AND(0,2,4,7) F(X1,X2,X3)=P(0,2,4,7)

  27. ObtencióndeFormasCanónicas  Dadaunafunciónensuformaalgebraica, obtenerlaformacanónica: F(A,B,C,D)=AC+ABC+ABCD =AC(B+B)(D+D)+ABC(D+D)+ABCD =ABC(D+D)+ABC(D+D)+ABCD+ABCD +ABCD F(A,B,C,D)=(7,8,9,10,11,12,13)

  28. ConversiónentreFormasCanónicas DadaunafunciónenORcanónicodeAND,obtener laformacanónicaANDcanónicodeOR. F(A,B,C)=(0,1,2,7) F(A,B,C)’=(3,4,5,6)=A’BC+AB’C’+AB’C+ABC’ F(A,B,C)’=(A+B’+C’)(A’+B+C)(A’+B+C’)(A’+B’+C) F(A,B,C)=P(3,4,5,6) 

  29. FuncionesEquivalentes   Dosfuncionesdeconmutaciónsonequivalentes cuandosusexpansionesenformascanónicasson idénticas,esdecirtienenelmismovalordesalida paralasmismascombinacionesdeentradas. Unaformasimilardeexpresarlomismoesquedos funcionesdeconmutaciónsonequivalentescuando tienenlamismaTabladeVerdad.

  30. MinimizacióndeFunciones  Minimizarunafuncióndeconmutación F(X1,X2,..,Xn)esencontrarunafunción G(X1,X2,..,Xn)equivalenteaFyquecontengael mínimonúmerodetérminosyliteralesenuna expresiónORdeAND.

  31. MinimizacióndeFunciones Ejemplo: F(A,B,C,D)=ACD+ACD+ACD+ACD+ABD =(A+A)CD+(A+A)CD+ABD =CD+CD+ABD =(C+C)D+ABD =(D+D)AB =A B

  32. MapasdeKarnaugh   ElmapadeKarnaughesunarreglomatricialde todaslasposiblescombinacionesquepueden asumirungrupodevariables. LosmapasdeKarnaughsonformasmodificadasde TablasdeVerdadquepermitenminimizarfunciones

  33. MapasdeKarnaugh LosmapasdeKarnaughpermitenundiseño  rápido de circuitos combinacionales de mínimocosto,esdecir,conelmínimo númerodecompuertas.

  34. ConstruccióndeMapasdeKarnaugh  ParaconstruirunMapadeKarnaughse siguenlossiguientespasos: Paraunafuncióndenvariables,elMKtiene2nceldas. Enlascoordenadasseanotanlascombinaciones  segúncódigodeGrey. 01 0 YZ 0 Y 00 01 11 10 X X 1 1 n=3 n=2

  35. ConstruccióndeMapasdeKarnaugh CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 n=4

  36. Construcciónde: MapasdeKarnaugh Cadacombinacióndeunosycerosdeuna celdaseleasignaelequivalentedecimalde larepresentaciónbinaria. CD 00 01 11 10 AB00 01 11 10

  37. Construcciónde: MapasdeKarnaugh Ejemplo,encontrarelmapadelafunción:  F(A,B,C,D)=(0,1,5,6,9,13,15) CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10

  38. Construcciónde: MapasdeKarnaugh Dosceldassonadyacentessidifierenen unavariable.

  39. ConstruccióndeMapasdeKarnaugh Unsubcuboesunconjuntode2mceldas convalor1,lascualestienenlapropiedad quecadaceldaesadyacenteamceldas delconjunto.

  40. Construcciónde: MapasdeKarnaugh Subcubo Tamaño4 CD 00 00 01 11 10 AB Subcubo Tamaño4 01 Subcubo Tamaño8 11 10

  41. Minimización Unsubcubosepuedeexpresarporun término algebraico que contiene n-m literalesdondeneselnúmerodevariables y2meseltamañodelsubcubo.

  42. Minimización AB CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 BD A

  43. Minimización    Unafunciónsepuedeexpresarcomolasumade lossubcubosnecesariosparacubrirtodoslosunos delM.K. Paraqueunafunciónseamínima,hayquebuscar elmínimonúmerodesubcubos,osea,cada subcubodebeserdelmayortamañoposible. ElmétododeM.K.esunmétodomanual.En términosprácticossirveparaminimizarfunciones dehasta6variables.

  44. Minimización AB CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 BD C 10 F(A,B,C,D)ABBDA

  45. Minimización Enresumen:  – – – – 1celdarepresentaunmintérmino 2celdasadyacentesrepresentanuntérminode3 variables. 4celdasadyacentesrepresentanuntérminode2 variables. 8celdasadyacentesrepresentanuntérminode1 variables.

  46. ConstruccióndeMK:ANDdeOR   Unafunciónsepuedeexpresartambiéncomoel producto(AND)delossubcubosnecesariospara cubrirtodosloscerosdelMK. Ejemplo:Minimizar F(A,B,C,D)(0,2,5,8,10,13,14)

  47. ConstruccióndeMK:ANDdeOR Paraminimizarseagrupancerosdelmapa:  CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 F(A,B,C,D)(BD)(BCD)(ACD)

  48. Fin

  49. ÁlgebraBooleana [SistemasDigitales] 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 010101010100101010101010101010010101010110010101 LasvariablesBooleanassólotoman losvaloresbinarios:ó0. UnavariableBooleanarepresenta unbitquequieredecir: BinarydigIT FundamentosdeElectrónica 59 Präsentat ion

  50. ÁlgebraBooleana [SistemasDigitales] OperaciónOR: FundamentosdeElectrónica 60 Präsentat ion

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