第 17 讲 三角形与全等三角形

1. 第17讲　三角形与全等三角形 考点知识精讲 考点训练 中考典例精析 举一反三

2. 考点一 三角形的概念与分类 1．由三条线段所围成的平面图形，叫做三角形． 2．三角形按边可分为：三角形和三角形；按角可分为三角形、三角形和三角形． 首尾顺次相接 不等边 等腰 锐角 钝角 直角

3. 考点二 三角形的性质 1．三角形的内角和是，三角形的外角等于与它的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角． 2．三角形的两边之和第三边，两边之差第三边． 3．三角形中的重要线段 (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等． (2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心． (3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心． 180° 不相邻 大于 小于

4. (4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等． (5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 温馨提示： 三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到.学习时应结合图形，做到熟练、准确地应用. 三角形的角平分线、高、中线均为线段.

5. 考点三 全等三角形的概念与性质 1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的、分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等． 对应边 对应角

6. 考点四 全等三角形的判定 1．一般三角形全等的判定 (1)如果两个三角形的三条边分别，那么这两个三角形全等，简记为SSS； (2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS； (3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA； (4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS. 对应相等

7. 2．直角三角形全等的判定 (1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等； (2)一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)如果两个直角三角形的斜边及一条分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为HL. 3．证明三角形全等的思路 直角边

9. (1)(2011·河北)已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为()(1)(2011·河北)已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为() A．2B．3C．5D．13 (2)(2010·昆明)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝() A．80° B．90° C．100° D．110° (3)(2010·广州)在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是() A．2.5 B．5 C．10 D．15

10. (4)(2010·济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是()(4)(2010·济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是() A．直角三角形B．锐角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形 (5) （2011·黄冈）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝______. 【点拨】本组题主要考查三角形的有关概念和性质．

11. 【解答】(1)B　由三角形三边关系可得11＜x＜15，∴满足条件的正整数x为12,13,14，∴这样的三角形有3个．【解答】(1)B　由三角形三边关系可得11＜x＜15，∴满足条件的正整数x为12,13,14，∴这样的三角形有3个． (2)D∵∠ACB＝60°，CD是∠ACB的平分线．∴∠ACD＝30°，∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝80°＋30°＝110°.

13. 方法总结： (1)考查三角形的边或角时，一定要注意三角形形成的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (2)在求三角形内角和外角时，要明确所求的角属于哪个三角形的内角和外角，要抓住题目中的等量关系； (3)审题时，要注意提炼条件，并思考条件怎样用，还要考虑所求应该怎样去求.

14. （2011·河南） 如图所示，在梯形ABCD中， AD∥BC，延长CB到点E，使BE＝AD，连接DE交AB于点M. (1)求证：△AMD≌△BME； (2)若N是CD的中点，且MN＝5，BE＝2，求BC的长． 【点拨】三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

15. 方法总结： （1）判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等. （2）结论不唯一的开放型试题，是近几年中考试题中的热点题型.主要考查对一些知识点掌握的熟练性、系统性.这类题型要注意多琢磨、多领悟.

16. 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是() A．1 cm,2 cm,3.5 cmB．4 cm,5 cm,9 cm C．5 cm,8 cm,15 cm D．6 cm,8 cm,9 cm 答案：D 2．如图,∠BDC＝98°,∠C＝38°,∠B＝23°,∠A的度数是() A．61°B．60°C．37°D．39° 答案：C

17. 3．如图，D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点， 将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处，若 ∠CDE＝48°，则∠APD等于() A．42°B．48°C．52°D．58° 答案：B 4．如图，在△ABC中,AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，则∠B等于() A．50°B．40°C．25°D．20° 答案：D

18. 5．现有2 cm、4 cm、5 cm、8 cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为() A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 答案：B 6．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上， EA⊥AD，FD⊥AD，AE＝DF，AB＝DC. 求证：∠ACE＝∠DBF. 答案：提示：先用SAS证明△EAC≌△FDB

19. 三角形与全等三角形 训练时间：60分钟分值：100分

20. 一、选择题(每小题3分，共36分) 1．(2011·苏州)△ABC的内角和为() A．180° B．360° C．540° D．720° 【解析】任意三角形内角和都是180°. 【答案】A

21. 2．(2010中考变式题)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为()2．(2010中考变式题)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为() A．6 B．5 C．4 D．3 【解析】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，∴PA＝PB＝5. 【答案】B

22. 3．(2010中考变式题)如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B间的距离不可能是()3．(2010中考变式题)如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B间的距离不可能是() A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 【解析】由三角形关系得5< AB < 25. 【答案】D

23. 4．(2011·山西)如右图所示，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是()4．(2011·山西)如右图所示，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是()

24. A．35° B．70° C．110° D．120° 【解析】∵CD∥OB，∴∠ADC＝∠AOB＝35°.由光的反射原理知，∠ODE＝∠ADC＝35°，∴∠DEB＝∠ODE＋∠AOB＝70°. 【答案】B

25. 5．(2010中考变式题)两根木棒的长分别为5 cm和7 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒的选取情况有() A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【解析】由三角形三边关系得2 cm<第三根棒长<12 cm.因为第三根棒长为偶数，∴第三根棒的取值可以是4 cm、6 cm、8 cm和10 cm共4种． 【答案】B

26. 6．(2012中考预测题)如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论中不一定成立的是()6．(2012中考预测题)如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论中不一定成立的是() A．PA＝PB B．PO 平分∠APB

27. C．OA＝OB D．AB垂直平分OP 【解析】依据角平分线的性质和全等三角形的判定性质得D不一定成立． 【答案】D

28. 7．(2012中考预测题)如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是()7．(2012中考预测题)如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是() A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB

29. 【解析】依据A条件先证△ABC≌△ABD(SAS)，再推出△APC≌△APD.依据C条件先证△ABC≌△ABD(AAS)，再推出△APC≌△APD；依据D条件先证△ABC≌△ABD(ASA)，再推出△APC≌△APD，而B的条件不能推出．【解析】依据A条件先证△ABC≌△ABD(SAS)，再推出△APC≌△APD.依据C条件先证△ABC≌△ABD(AAS)，再推出△APC≌△APD；依据D条件先证△ABC≌△ABD(ASA)，再推出△APC≌△APD，而B的条件不能推出． 【答案】B

30. 8．(2012中考预测题)用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板，如图所示，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为()8．(2012中考预测题)用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板，如图所示，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为() 【答案】C

31. 9．(2012中考预测题)如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为()9．(2012中考预测题)如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为() A．20°B．30° C．35°D．40° 【解析】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°. 【答案】B

32. 10．(2010中考变式题)如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有()10．(2010中考变式题)如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】与△ABC全等的有4个，分别是△CDA、△BAD、△DCB、△DEC. 【答案】D

33. 11．(2011·芜湖)如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为()11．(2011·芜湖)如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为() 【解析】由条件可得△BDF≌△ADC，故DF＝CD＝4. 【答案】B

34. 12．(2011·江西)如下图所示，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是()12．(2011·江西)如下图所示，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是() A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC

35. C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC 【解析】BD＝DC，AB＝AC，AD＝AD，满足“SSS”；∠ADB＝∠ADC，BD＝DC，AD＝AD，满足“SAS”；∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，满足“AAS”；A、B、C三个选项都能证明△ABD≌△ACD，只有D项不能． 【答案】D

36. 二、填空题(每小题4分，共20分) 13．(2011·成都)如图所示，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，若DE＝4，则AB＝________. 【答案】8

37. 14．(2011·江西)如图所示，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝________度．14．(2011·江西)如图所示，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝________度．

38. 【答案】90

39. 15．(2010中考变式题)如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________．15．(2010中考变式题)如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________． 【解析】答案不唯一． 【答案】∠C＝∠E(或AB＝FD等)

40. 16．(2011·海南)如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝3 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5 cm，则BC的长等于________ cm. 【解析】由MN是线段AB的垂直平分线可得BN＝AN.∴BN＋NC＝AN＋NC＝AC＝3，∴BC＝5－3＝2(cm)． 【答案】2

41. 17．(2011·绥化)如右图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件________，使得AC＝DF.17．(2011·绥化)如右图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件________，使得AC＝DF. 【解析】由已知条件可得∠B＝∠E，BC＝EF.只需再有AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE都可证明△ABC≌△DEF，从而得出AC＝DF. 【答案】AB＝DE 或∠A＝∠D 等　

42. 三、解答题(共44分) 18. (10分)(2011·德州)如图所示，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O. (1)求证：AD＝AE； (2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

43. 【答案】(1)证明：如图，在△ACD与△ABE中，∵∠CAD＝∠BAE，∠ADC＝∠AEB＝90°，AB＝AC，∴△ACD≌△ABE.∴AD＝AE.【答案】(1)证明：如图，在△ACD与△ABE中，∵∠CAD＝∠BAE，∠ADC＝∠AEB＝90°，AB＝AC，∴△ACD≌△ABE.∴AD＝AE. (2)解：互相垂直． 在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA＝OA，AD＝AE，∴△ADO≌△AEO.∴∠DAO＝∠EAO，即OA是∠BAC的平分线．又∵AB＝AC，∴OA⊥BC.

44. 19．(10分)(2011·温州)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点．19．(10分)(2011·温州)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点． 求证：△ADM≌△BCM. 【答案】 证明：如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∴AD＝BC，∠A＝∠B.∵点M是AB的中点，∴MA＝MB.∴△ADM≌△BCM(SAS)．

45. 20．(10分)(2011·扬州)已知：如图所示，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.20．(10分)(2011·扬州)已知：如图所示，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

46. 【答案】(1)证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.又∵BC是公共边，∴△BEC≌△CDB(AAS)．∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【答案】(1)证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.又∵BC是公共边，∴△BEC≌△CDB(AAS)．∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形． (2)解：点O在∠BAC的平分线上．理由如下：∵△BEC≌△CDB，∴BD＝CE.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴点O在∠BAC的平分线上．

47. 21．(14分)(2012中考预测题)如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．21．(14分)(2012中考预测题)如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点． (1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

48. ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等． (2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P以原来的运动速度同时从点B出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的一条边上相遇？