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Obs: Se então a transformação linear é chamada de Operador Linear. Transformação Linear. Definição: Sejam dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de se:. a). b). Exemplos.
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Obs: Se então a transformação linear é chamada de Operador Linear. Transformação Linear • Definição: Sejam dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de se: a) b)
Exemplos • 1) Transformação Linear Nula • 2) Operador Linear Identidade • 3) tal que • 4) dada por • 5) definida por
Contra - Exemplo definida por pois temos que:
Propriedades Sejam dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles. Então: P1) P2) P3)
Propriedades P4) Se é um subespaço de , então a imagem de pela transformação linear é um subespaço vetorial de , isto é, é subespaço vetorial real. P5)
Propriedades P6) Sejam e espaços vetoriais reais e uma base de . Dados vetores arbitrários de , existe uma transformação linear tal que: e
Núcleo e Imagem Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Núcleoda Transformação o subconjunto do domínio da função dado por:
Núcleo e Imagem Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Imagemda Transformação o subconjunto do contra-domínio da função dado por:
Exercícios Exercício 01: Verificar se as funções abaixo são transformações lineares e determinar seus núcleos e imagens: a) b) c)
Núcleo e Imagem Proposição: Dada uma transformação linear, temos que: • O núcleo da transformação é um subespaço vetorial do domínio da função. • A imagem da transformação é um subespaço vetorial do contra-domínio da função.
Recordando Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita: • Injetora se: • Sobrejetora se:
Recordando Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita bijetora se é injetora e sobrejetora simultâneamente.
Teoremas Proposição: Uma transformação linear é injetora se e somente se . Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados dois espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada uma transformação linear entre eles, então:
Resultados Importantes Proposição: Dada uma transformação linear, temos que se
Resultados Importantes Corolário: Dada uma transformação linear de espaços vetoriais de dimensão iguais. Então as afirmações abaixo são equivalentes: (1) É sobrejetora (2) É bijetora (3) É injetora (4) Transforma base do domínio em base do contradomínio.
Isomorfismo Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). Notação:
Automorfismo Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T éum isomorfismo de um espaço nele mesmo. Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo.
Resultados Importantes Proposição: Dados dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão, então a transformação linear dada a seguir é um isomorfismo entre eles.
Resultados Importantes Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se Exercícios: Transformações Lineares
