Dalle pavimentazioni al teorema di PICK misura delle superfici

1. Cagliari Maggio 2012 Sassari Novembre 2012 Dalle pavimentazioni al teorema di PICK misura delle superfici Un laboratorio per scoprire la matematica. Prof. Sandro Deplano Centro Ricerca e Sperimentazione dell’ Educazione Matematica

2. Target docenti: • Insegnanti scuola primaria • Insegnanti scuola media • Insegnanti primo biennio superiori • Abstract • Il seminario • Presentazione di PicK, come uomo; della famiglia e degli amici; come scienziato e i suoi lavori; dei suoi collaboratori e dei “colleghi” con cui ha lavorato e che hanno condiviso i suoi stessi interessi; • Riflessione sulla presentazione di alcuni brani dell’articolo di Pick, in cui sono esposte le considerazioni fondamentali di geometria reticolare GeometricheszurZahlenlehre(La geometria per la teoria dei numeri), e sull’esperienza fatta in 4° liceo scientificoda G.T. Bagni. (tratta da Bagni, “Il piano di Pick e i numeri primi” e pubblicata in: “Periodico di Matematiche”, serie VI, 65, n. 3, Luciani, Roma 1990). • Proposta di un laboratorio che permette una rivisitazione dei geopiani ed una estensione del loro uso dalla scuola primaria alla scuola media e superiore. Si parte dal teorema di Pick come occasione per riflettere sui punti reticolari; si lavora: • su un gruppo di poligoni reticolari equivalenti; • su poligoni equivalenti e contemporaneamente isoperimetrici, riuniti in famiglie ; • sulla visualizzazione nel geopiano e la costruzione di pavimentazioni poligoni reticolari • sulla classificazione delle famiglie e il loro ordinamento senza far uso dei calcoli

3. Vita di Georg Alexander Pickso Georg Alexander Pick matematico austriaco (Vienna 10 agosto 1859 - 26 luglio 1942).

4. Georg Pick nasce in una famiglia ebrea. Sua madre era SchleisingerJosefa e suo padre Adolf Josef Pick, capo di un istituto privato. Georg viene educato a casa da suo padre fino all'età di undici anni, entra poi nella quarta classe del Ginnasio Comunale Leopoldstaedter, e sostiene la “maturità” nel 1875 che lo qualifica per l'ammissione all'università. Si iscrive all'Università di Vienna nel 1875 e l'anno successivo, a soli diciassette anni, pubblica un articolo di matematica . Si laurea in matematica e fisica, nel 1879

5. Pick studia presso l’Università di Vienna e difende il suo Ph.D. nel 1880 sotto Leone Königsberger e EmilWeyr. Dopo aver ricevuto il dottorato è nominato assistente di Ernest Mach presso la Charles-Ferdinand dell’Università di Praga. Ed è a capo del comitato della stessa università che nomina Albert Einstein alla cattedra di fisica matematica nel 1911. Pick introduce al calcolo differenziale assoluto i matematici italiani GregorioRicci-Curbasto e Tullio Levi-Civita e più tardi nel 1915 collabora con Einstein alla formulazione della teoria della relatività generale . Fatta eccezione per l'anno accademico 1884-1885 passati a studiare sotto Klein all'Università di Lipsia, rimane a Praga per il resto della sua carriera.

6. Viene eletto membro dell'Accademia Ceca delle scienze e delle arti , ma quando i nazisti prendono Praga, ne viene escluso. Nel 1927, torna a Vienna, ma quando nel 1938 i nazisti marciano sull’ Austria rientra a Praga. Nel marzo del 1939 i nazisti invadono la Cecoslovacchia e Pick viene inviato al campo di concentramento di Theresienstadt 13 luglio 1942. Muore due settimane dopo.

7. Il suo lavoro matematico è estremamente ampio e le sue pubblicazioni (67) riguardano molti argomenti quali algebra lineare, teoria degli invarianti, calcolo integrale, teoria del potenziale, analisi funzionale, geometria ecc. E’ ricordato, tuttavia, per il teorema di Pick, che appare nel suo articolo, del 1899. Tutto il lavoro di Pick passa sotto silenzio fino a quando nel 1969 Steinhaus non lo include nel suo libro MathematicalSnapshots (Istantanee di matematici). Da quel momento il teorema di Pick attira molta attenzione e ammirazione per la sua semplicità ed eleganza.

8. L’articolo di Pick in cui sono esposte • le considerazioni fondamentali di geometria reticolare si intitola • GeometricheszurZahlenlehre • (La geometria per la teoria dei numeri); • è il resoconto di una conferenza tenuta dall’Autore presso la Società Matematica Tedesca di Praga e venne pubblicato a Praga nel 1899.

9. Così esordisce Pick in tale articolo: “A partire da Gauss (1777-1855), i reticoli a forma di parallelogramma nel piano... sono stati più volte utilizzati... come metodo euristico nella teoria dei numeri. A confronto di tutte queste applicazioni, le prossime righe perseguono uno scopo molto più modesto:

10. sarà fatto il tentativo di porre le basi della teoria dei numeri in modo nuovo e, fin dal principio, • su basi geometriche. • Per questo scopo è necessaria • una formula per calcolare • l’area dei poligoni • tracciati in un reticolo, • rimasta fino ad oggi inosservata • a dispetto, come si potrà vedere, della sua semplicità” [Pick, 1899, p. 311].

11. Pick introduce il reticolo come • “due sistemi di rette parallele equidistanti nel piano”, dette rette reticolari principali; • le intersezioni di tali rette sono denominate punti reticolari • [Pick, 1899, p. 311]; • Tutte le rette passanti per più di un punto reticolare sono dette rette reticolari.

12. Egli suggerisce inoltre di utilizzare come unità di misura di superficie “la metà di ogni singola maglia parallelogramma del reticolo” [Pick, 1899, p. 312]. Un poligono avente tutti i vertici coincidenti con punti reticolari si dice poligono reticolare. Per quanto sopra definito, tutti i lati di un poligono reticolare appartengono a rette reticolari • [Pick, 1899, p. 312].

14. Pick suggerisce di scomporre un poligono reticolare in due poligoni mediante una retta reticolare passante per due punti reticolari appartenenti al perimetro.

16. Si indichi • con iil numero dei punti reticolari all’interno del poligono inizialmente considerato, • con uil numero dei punti reticolari appartenenti al suo perimetro, • e con i1, u1, i2, u2i numeri dei punti reticolari corrispondenti dei due nuovi poligoni ottenuti; • si indichi inoltre con d • il numero dei punti reticolari appartenenti al segmento di retta reticolare che divide il poligono originale nelle due parti.

18. Risulta allora: i = i1+i2+ d u = u1+u2-2d-2 Da ciò segue: 2i+u-2 = (2i1+u1-2) + (2i2+u2-2) Pick indica l’espressione (2 i + u - 2) come numero di punti del poligono Considerato ( Area del poligono ). [Pick, 1899, pp. 312-313]

20. Da quanto sopra esposto, emerge che “il numero di punti di un poligono costituito da due parti è uguale alla somma dei numeri di punti delle singole parti. Una ripetuta applicazione di questo risultato mostra che esso è accettabile anche per un numero qualsivoglia di parti” Proprietà di composizione [Pick, 1899, p. 313]. Il numero di punti di un poligono reticolare ha un’importante interpretazione geometrica: Pick afferma che “per ogni poligono reticolare l’area è uguale al suo numero di punti” [Pick, 1899, p. 314]

21. Per dimostrare ciò, Pick nota innanzitutto che il risultato in esame vale nel caso di un poligono costituito da una sola maglia: i = 0 e u = 4 da cui il numero di punti: 2i+u-2 = 2

22. Anche per un poligono limitato esclusivamente da segmenti appartenenti a rette reticolari principali il risultato precedente vale “in base alla citata proprietà di composizione” [Pick, 1899, p. 313].

23. Inoltre,se suddividiamo un parallelogramma avente il perimetro interamente appartenente a rette reticolari principali in due triangoli congruentiaventi in comune una diagonale (e la congruenza di tali triangoli implica anche la congruenza dei rispettivi insiemi di punti reticolari ad essi appartenenti), il numero di punti di ciascuno di essi viene ad essere la metà di quello del parallelogramma; dunque, anche in questo caso il numero di punti ha il valore dell’area.

24. Osserva infine Pick che un qualsiasi poligono reticolare può essere scomposto in parallelogrammi con il perimetro interamente appartenente a rette reticolari principali ed in triangoli ottenuti dimezzando un parallelogramma di questo genere mediante una diagonale. Da ciò segue che per ogni poligono reticolare l’area risulta uguale al numero di punti [Pick, 1899, p. 314].

25. Nelle diapositive seguenti si trovano tre esperienze basate tutte sulla ricerca della superficie relativa alla medesima figura

26. Con Pick si contano i = 27 e u = 8 Area = 2x27+8-2 = 60 Area = 60 mezzi quadretti Oppure 30 quadretti

27. Formula dell'area di Gauss La formula dell'area di Gauss, è un algoritmo matematico utilizzato per determinare l'area di un poligono i cui vertici siano descritti in coordinate cartesiane. Il risultato si ottiene moltiplicando in croce le coordinate corrispondenti e seguendo uno schema simile a quello dei lacci della scarpa. La formula può essere rappresentata dall'espressione: dove • A è l'area del poligono, • n il numero di lati • (xi, yi), i = 1, ,..., n sono i vertici del poligono. Oppure, servendosi delle sommatorie:

28. L'area del poligono vale: 4 11 8 5 6 3 4 4 11 8 5 6 3 4 4 11 8 5 6 3 4 → A = [ 4x5 + 11x12 +8x9 + 5x5 + + 6x3 - 11x3 – 8x5 – 5x12 + – 6x9 – 4x5 ] / 2 = = 60/2 = 30

29. Disegnare e calcolare superfici Con il computer

30. Disegnare e calcolare superfici Con il computer

31. L’esperienza in una classe di IV liceo dall’ articolo di G.T. Bagni 1990 METODOLOGIA DELLA RICERCA Determinare una formula per calcolare l’area di un poligono reticolare non intrecciato non degenere (calcolata rispetto all’area di una maglia del reticolo) sulla base della valutazione del numero i dei punti reticolari all’interno del poligono e del numero u dei punti reticolari appartenenti al suo perimetro. Il tempo per la risoluzione 30 minuti

32. Sintesi dei risultati Solo 4 allievi su 24 (Andrea, Guido, Martino e Nicoletta) hanno ricavato la formulacorretta per determinare l’area di un poligono reticolare non intrecciato e non degenere. Gli altrihanno consegnato il foglio conalcunitentativi, ovvero con la rappresentazione di casi particolari l’approccio al problema è stato quasi sempre basato sull’esame di singoli casi, dai quali, mediante osservazioni e supposizioni, è stata ricavata la formula.

33. Gli allievi che hanno determinato la formula richiesta sono stati invitati a giustificare le loro affermazioni e ad indicare i procedimenti seguiti. La netta maggioranza degli altri allievi, ovvero di quelli che non hanno ottenuto la soluzione, ha ammesso di avere esaminato molti casi particolari senza tuttavia giungere ad intuire la formula generale cercata.

34. Il colloquio con Andrea è stato certamente interessante; riteniamo opportuno riportarne ampi brani: Andrea: “Ho pensato che la formula da trovare fosse di primo grado”. Intervistatore: “Perché proprio di primo grado?”

35. Andrea: “Mi è sembrato logico cominciare dal caso più semplice. e poi se associamo ad ogni punto un quadratino, ad esempio quello che si trova in alto a sinistra, si vede che più crescono i punti più cresce l’area. Naturalmente con le opportune correzioni, perché si vede subito che la formula A = u + i non va bene”. (Andrea disegna i rettangoli evidenziando le maglie ed i punti reticolari sul perimetro).

36. Andrea: “Quando ho capito che la formula A = u + i non era quella giusta, ho pensato di cercare una formula un po’ più complicata, ma sempre di primo grado. Ho pensato ad una formula del tipo: A = a x U + b·x I + c con a, b, c numeri opportuni. Ho pensato di ricavare a, b, c con un sistema. Ho preso tre figure semplici”. (Andrea disegna i rettangoli evidenziando i punti reticolari sul perimetro ed i punti reticolari interni).

37. Intervistatore: “ Perché hai scelto proprio quelle tre figure?” Andrea: “Ho cercato di considerare figure abbastanza semplici che abbiano però anche dei punti interni. Il quadratino [costituito da una sola maglia del reticolo] per esempio non ha punti interni e non so se vada bene. Sostituendo i numeri dei punti sul perimetro, dei punti interni e le aree nell’equazione, ho trovato: { 8a + b + c = 4 4a + b + c = 2 6a + 2b + c = 4 Ho risolto il sistema ed ho trovato: a = 1/2 ; b = 1; c = –1 Dunque la formula è: Area = 1/2u + i - 1

38. Noi concludiamo che “Andrea passa da uno strumento grafico” ad uno “strumento algebrico” { 8a + b + c = 4 4a + b + c = 2 6a + 2b + c = 4

39. Proposta di laboratorio • rivisitazione dei geopiani ed estensione del loro uso dalla scuola primaria alla scuola media e superiore • si parte dal teorema di Pick come occasione per riflettere sui punti reticolari

40. Un procedimento empirico Scegliamo un reticolo a maglia rombica e tale che la sua metà, da usare come unità di misura, sia un triangolo equilatero. Area = 1, come dice Pick, tre punti sul perimetro quindi in questo caso A = 3 – 2 Area = 2, Area = 4 - 2

41. Ora A = 5 – 2 Se si prosegue aggiungendo triangoli la formula funziona ancora ……….

42. Nella figura a sinistra A = 7 – 2 = 5 ed aggiungendo un triangolo come nella figura a destra A = 8 – 2 = 6 Mentre nella figura in basso non solo il numero dei punti sul perimetro non aumenta ma addirittura diminuisce da 7 a 6, quindi poiché compare un punto interno questo deve valere il doppio e l’area diventa A = 6 + ( 2 ) – 2 = 6 A = u + 2i - 2

43. Verificate che l’area in questi poligoni degeneri non corrisponde a quella calcolabile con Pick Poligoni Non Validi

44. Esperienza Laboratoriale Cercare l’area di figure in un reticolo

45. Ordinate i poligoni dalla superficie minore alla maggiore

46. u = 9 i = 3; u = 4; A = 7 A = 8 i = 2; u = 6; i = 1; u = 6 A = 8 A = 6 i=2; u=6 A = 7 A = 8 i=1; u=7

47. Poligoni con Area = 8 i=1; u=8 e il Perimetro ? i=2 ; u=6 u=10

48. Dimostrazione grafica che il perimetro della figura gialla è maggiore del perimetro della figura viola Sapete verbalizzare la dimostrazione?

49. Un’altra Esperienza Laboratoriale

50. Laboratorio Con otto mattonelle si possono costruire un gran numero di Pavimenti reticolari posizionandole l’una affianco all’altra in modo da ottenere Poligoni Reticolari. Un esempio può essere la figura qui a destra. Se si considera il perimetro si possono contare dieci segmenti , 4 ipotenuse e 6 cateti.