Pierre de Fermat

1. Pierre de Fermat ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

3. Βιογραφικά στοιχεία Ο Pierre de Fermat γεννήθηκε στις 17 Αυγούστου του 1601 σε μία μικρή πόλη της Νοτιοδυτικής Γαλλίας,την Beaumont-de-Lomange κοντά στη Toulouse. Ο πατέρας του ήταν πλούσιος έμπορος δερμάτων και δεύτερος πρόξενος(άρχοντας) της Beaumont-de-Lomange. Είχε έναν αδερφό και 2 αδερφές. Άφησε μόνο ένα γυιό που έγραψε βιβλία νομικής και εξέδωσε τις εργασίες του πατέρα του.

4. Το σπίτι του στην Beaumont-de-Lomange που γεννήθηκε το οποίο αργότερα έγινε μουσείο

5. Η Μόρφωση του Ξεκίνησε από το πανεπιστήμιο της Toulouseπρινμετακομίσει στην όμορφη παραλιακή πόλη Bordeaux το δεύτερο μισό του 1620. Εδώ ξεκίνησε τις πρώτες σοβαρές έρευνές του στα Μαθηματικά. Όσο βρισκόταν στην Bordeaux το 1629 έδωσε ένα αντίγραφο της δικιάς του αναθεώρησης του Γεωμετρικού τόπου του Απολλώνιου επιπέδου σ’ έναν από τους εκεί μαθηματικούς. Στην Bordeaux είχε επαφές με τον Beaugrand και κατά την διάρκεια αυτής της περιόδου παρήγαγε σημαντικό έργο στα maxima και minima τα οποία έδωσε στον Etienne d’Espagnet ο οποίος μοιράστηκε τα μαθηματικά του ενδιαφέροντα με τον Fermat.O Pierre δέχτηκε περισσότερη επιρροή από τον Vieta.

6. Μετά πήγε στη Orléans (πόλη νοτιοδυτικά του Παρισιού)όπου σπούδασε και πήρε πτυχίο Νομικής και ακολούθησε καριέρα ως δικαστικός και εργάστηκε για λογαριασμό της τοπικής κυβέρνησης, παίρνοντας τον τίτλο του συμβούλου στο Ανώτατο Δικαστήριο της Toulouse, θέση την οποία κράτησε μέχρι το τέλος της ζωής του.

7. Εκείνη την περίοδο άλλαξε το όνομα του από Pierre Fermat σε Pierre de Fermat. Μιλούσε Λατινικά,Ελληνικά, Ιταλικά και Ισπανικά και επαινέθηκε για τα εδάφια που έγραψε σε πολλές γλώσσες, και έγινε περιζήτητος σε όσους ασχολούνταν με την διόρθωση Ελληνικών εδαφίων.

8. Συχνά έγραφε επιστολές προς γνωστούς μαθηματικούς της εποχής του στις οποίες εξέθετε τις απόψεις και αναλύσεις του πάνω σε μαθηματικά προβλήματα και ζητούσε την άποψη τους για την επιβεβαίωση των δικών του μεθόδων…Για αυτό τον λόγο, ότι δεν αποκάλυπτε δηλαδή τους υπολογισμούς του, προκαλούσε κάποια δυσαρέσκεια. Αυτό οδήγησε σε αντιπαραθέσεις με τους συγχρόνους του όπως τον Descartes και τον Wallis.Τέλος, ανέπτυξε στενή σχέση με τον Pascal.

9. Ας θυμόμαστε ότι… Ο Anders Hald(Δανός στατιστικός και ιστορικός πέθανε το 2007)έγραψε ότι : ‘’ Η βάση των μαθηματικών του Fermat ήταν οι κλασσικές ελληνικές διατριβές σε συνδυασμό με τις νέες αλγεβρικές μεθόδους του Vieta .’’

10. Το έργο του Ασχολήθηκε με την αναλυτική γεωμετρία(πρωτοποριακή εργασία Ad Locos Planos et Solidos Isagoge-1636).

11. Περισσότερο αναλυτικά… Στιςεργασίες του Methodus ad disquirendam maximam et minima και De tangentibus linearum curvarum ο Fermat ανέπτυξε μία μέθοδο για τον προσδιορισμό του μέγιστου και του ελάχιστου καμπυλών και την εύρεση εφαπτομένων των καμπυλών που είναι ουσιαστικά ισοδύναμη με την παραγώγιση. Σε αυτά τα έργα επίσης ανέπτυξε μία τεχνική στο να βρίσκει τα κέντρα βαρύτητας διαφόρων επίπεδων και τρισδιάστατων σχημάτων που οδήγησαν στην περαιτέρω δουλειά του στον τετραγωνισμό του εμβαδού παραβολών(Treatise on Quadrature of Fermat 1659).

12. Ο Fermat ήταν ο πρώτος άνθρωπος που γνωστός να έχει υπολογίσει το ολοκλήρωμα των εκθετικών συναρτήσεων. Χρησιμοποιώντας ένα ευφυές κόλπο, κατέστησε ικανό να ανάγει τον υπολογισμό του ολοκληρώματος στο υπολογισμό του αθροίσματος των γεωμετρικών σειρών. Ο μαθηματικός τύπος που έδωσε για το ολοκλήρωμα βοήθησε τον Newton και αργότερα τονLeibniz όταν αυτοί ανεξάρτητα ανέπτυξαν το θεμελιώδες θεώρημα του διαφορικού λογισμού.

13. Μαζί με τον Descartes μοιράζονται λοιπόν την δημιουργία της ΑναλυτικήςΓεωμετρίας (χρησιμοποίησαν τις καρτεσιανές συντεταγμένες. Ο Fermat ήξερε την εξίσωση των ευθειών, των κύκλων, των ελλείψεων κ.ο.κ). Ο Pascal(1623-1662) μαζί με τον Fermat θεωρούνται οι πατέρες της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Λόγω της αναλυτικής μεθόδου για την εύρεση της εξίσωσης της εφαπτομένης, ο Fermat μαζί με τους Newton και Leibniz θεωρούνται οι πατέρες του Διαφορικού Λογισμού.

14. Πάνω απ’ όλα ήταν πολύ καλός γνώστης της θεωρίας αριθμών και ασχολήθηκε με την μελέτη των ακέραιων αριθμών και τις σχέσεις που ισχύουν μεταξύ τους.

15. Ο Fermat μελέτησε την εξίσωση του Pell δηλ. εύρεση ακεραίων λύσεων της x2-my2=1

16. Μελέτησε επίσης τους αριθμούς Fermatκαι τους φίλιους αριθμούς. Καθώς ερευνούσε τους τέλειους αριθμούς ανακάλυψε το μικρό θεώρημα: «Για κάθε πρώτο ρ και για κάθε ακέραιο α ισχύει αρ=α(modp)» Ακόμη, ανακάλυψε μία μέθοδο παραγοντοποίησης που πήρε το όνομα του προς τιμήν του. Επιπλέον αναφέρουμε την αποδεικτική μέθοδο της απείρου καθόδου η οποία χρησιμοποιήθηκε για την απόδειξη του τελευταίου Θεωρήματος του για ν=4

17. Μελέτησε προσεκτικά τις εργασίες του Διόφαντου από όπου πήρε ιδέες και ξεκίνησε την δικιά του παράδοση(ήταν ό πρώτος σύγχρονος μαθηματικός). Έτσι για παράδειγμα όχι απλώς περιορίστηκε σε κάποια ρητή λύση των Διοφαντικών εξισώσεων αλλά περιορίστηκε μόνο σε ακέραιες λύσεις και έψαξε να τις βρει όλες. Σε άλλες περιπτώσεις αποδείκνυε ότι κάποιες άλλες εξισώσεις δεν είχαν καμία λύση πράγμα που άφηνε άναυδους τους συγχρόνους του μαθηματικούς.

18. Ο Fermat ανέπτυξε(αλλά δεν απόδειξε) το Θεώρημα των δυο τετραγώνων, και το Θεώρημα πολυγωνικών αριθμών (polygonal number theorem), που λέει π.χ. ότι κάθε αριθμός είναι το άθροισμα τριών τριγωνικών αριθμών(δηλ. της μορφής (n^2+n)/2), τεσσάρων τετραγώνων, πέντε πεντάγωνων αριθμών, κ.ο.κ.

19. Το τελευταίο Θεώρημα του Fermat Ο Fermat έγραψε κάποτε μία ανάλυση σχετική με το περίφημο «τελευταίο θεώρημα» του κατά την διάρκεια της ενασχόλησης του με το αρχαίο ελληνικό κείμενο της Αριθμητικής(Arithmetica) που ήταν γραμμένο από τον Διόφαντο της Αλεξάνδρειας.

20. Θεώρημα: Δεν είναι δυνατόν να βρεθούν 4 θετικοί ακέραιοι μη μηδενικοί x, y, z και ν με ν>2 τ.ω.xν+yν=zν Σχόλιο: Η αναζήτηση Πυθαγόρειων τριάδων( δηλαδή ακέραιων λύσεων της εξίσωσης x^2+y^2=z^2 ) συγκαταλέγεται ανάμεσα στα κλασσικά προβλήματα της Διοφαντικής Ανάλυσης. Υπάρχουν ενδείξεις ότι η λύση αυτού του προβλήματος(ειδική περίπτωση του γενικού για v=2) ήταν γνωστή στους Βαβυλώνιους...

21. αλλά η πλήρης θεωρητική διαπραγμάτευση του ζητήματος έγινε από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς. Ο Διόφαντος διαπραγματεύεται το ίδιο πρόβλημα στα Αριθμητικάμε γεωμετρικές μεθόδους. Αλλά η λύση που δίνει o Fermat (για ν=2)βρίσκεται πιο κοντά στοσύγχρονο αλγεβρικό τρόπο σκέψης.

22. Το πρόβλημα αυτό ο Fermat κατάφερε να το αποδείξει για ν=4 με την χρήση της μεθόδου της απείρου καθόδου και ήταν αφορμή να ισχυριστεί (χωρίς όμως να το αποδείξει) ότι η διοφαντική εξίσωση xν+yν=zν είναι αδύνατη(δεν έχει ακέραιες λύσεις), όταν ο ν είναι φυσικός μεγαλύτερος του 2, σημειώνοντας μάλιστα πάνω στο βιβλίο του Διόφαντου που μελετούσε:

23. “έχω μία αληθινά θαυμάσια απόδειξη αυτής της πρότασης, αλλά το περιθώριο είναι πολύ στενό για να τη χωρέσει.’’ (αυτόν τον ισχυρισμό του δεν τον ανακοίνωσε πουθενά). Γενικά ο Fermat ισχυριζόταν ότι είχε αποδείξει όλα τα αριθμητικά του θεωρήματα αλλά πολλοί ειδικοί αμφιβάλουν για κάτι τέτοιο. Τέλος Σχολίου.

24. Το “θεώρημα” αυτό του Fermat αποδείχτηκε το 1994 από τον Α.Wilesαφού υπήρξε για 350 χρόνια ένα από τα διασημότερα άλυτα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών.

25. Ο ίδιος o Fermat σε μία επιστολή του διατύπωσε έναν άλλο ισχυρισμό(ο τελευταίος του) «Είμαι απόλυτα βέβαιος ότι για κάθε τιμή του ακεραίου ν ο αριθμός 22^ν+1 είναι πρώτος» Ο Ελβετός μαθηματικός Euler,ο οποίος μάταια προσπάθησε να αποδείξει την τελευταία υπόθεση παρατήρησε ότι για ν=5 προκύπτει ο αριθμός 4294967297 ο οποίος δεν είναι πρώτος.

26. Ακολουθούν ένα παράδειγμα της μεθόδου παραγοντοποίησης του Fermat καθώς ένα παράδειγμα της μεθόδου της απείρου καθόδου.