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ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA

ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA. Ecuación de la hipérbola despejando y , se obtiene y también puede escribirse. Si un punto de la hipérbola se mueve a lo largo de la curva, de manera que X aumenta numéricamente, el radical se aproxima a la unidad. P(X1,Y1). Ecuaciones de las rectas.

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ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA

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  1. ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA

  2. Ecuación de la hipérbola despejando y, se obtiene y también puede escribirse

  3. Si un punto de la hipérbola se mueve a lo largo de la curva, de manera que X aumenta numéricamente, el radical se aproxima a la unidad. P(X1,Y1) Ecuaciones de las rectas

  4. Entonces las rectas son asíntotas de la curva, por definición de asíntota (pág. 41). Demostración:Sea P(X1,Y1) un punto cualquiera de la parte superior de la rama derecha de la hipérbola (1) La ecuación de la recta o (2) Ecuaciones de las asíntotas

  5. Ecuaciones de las asíntotas P(X1,Y1)

  6. Por el teorema 9, distancia de una recta a un punto(pág. 81), la distancia d de la recta al punto P(X1,Y1) esta dada por Si multiplicamos numerador y denominador por Pero como P está sobre la hipérbola Sustituyendo

  7. Si P se mueve hacia la derecha a lo largo de la curva y se aleja indefinidamente del origen, sus coordenadas, X1 y Y1, aumentan ambas de valor sin límite y d decrece continuamente y se aproxima a cero. Por def. de asíntota (pág. 41 )se concluye que; la recta Es una asíntota de la rama derecha de la hipérbola TEOREMA 2. La hipérbola , tiene por asíntotas las rectas y

  8. Ejemplo: Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (6,2) tiene su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje X , y una de sus asíntotas es la recta 2x – 5y = o 2x + 5y = 0 2x – 5y = 0 (2x + 5y ) (2x – 5y )= k

  9. HIPÉRBOLA EQUILÁTERA O RECTANGULAR Si los ejes transverso (V1V2) y conjugado (A1A2) son de igual longitud, entonces a = b, y la ecuación toma la siguiente forma Las asíntotas Como estas rectas son perpendiculares , resulta que las asíntotas de una hipérbola equilátera son perpendiculares entre sí. A1A2

  10. Una forma simple y útil de la ecuación de la hipérbola equilátera es xy = k k ≠ 0 (pág. 41) Tiene por asíntotas a los ejes coordenados. Ejemplo Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por el punto (-1,-5) y tiene por asíntotas a los ejes coordenados. (-1)(-5) = 5 Ecuación xy = 5 xy = k

  11. HIPÉRBOLAS CONJUGADAS Son dos hipérbolas tales que el eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de la otra. Cada hipérbola es entonces la hipérbola conjugada de la otra, y también se dice que cada hipérbola es conjugada con respecto a la otra. La ecuación de una hipérbola es hipérbola conjugada (0,b) (-a,0) (a,0) (0,-b)

  12. Ejemplo Hallar las coordenadas de los vértices y focos, y la excentricidad de la hipérbola que es conjugada a la que tiene por ecuación hipérbola conjugada (0,b) (-a,0) (a,0) (0,-b) V(0,b) V(0,3) V(0,-3) F(0,c) F(0,√13) F(0,-√13)

  13. Teorema 6 Las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola De pendiente m son Demostración Condición de tangencia

  14. Factorizando Despejando k Sustituyendo k en

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