1 / 57

MATEMATIKA EKONOMI

MATEMATIKA EKONOMI. AMIRULSYAH, MSi. PENDAHULUAN. DIFERENSIAL. INTEGRAL. DIFFERENSIAL. DERIVATIF (TURUNAN). Contoh : Tentukan turunan pertama ( dy / dx ) dari : 1.Y = 3 maka dy / dx = 0 2.Y = -5 maka dy / dx = 0 3.Y = 2/3 maka dy / dx = 0 4.Y = 5³ maka dy / dx = 0. Contoh :

emiko
Download Presentation

MATEMATIKA EKONOMI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATEMATIKA EKONOMI AMIRULSYAH, MSi

  2. PENDAHULUAN DIFERENSIAL INTEGRAL

  3. DIFFERENSIAL DERIVATIF (TURUNAN) Contoh: Tentukanturunanpertama(dy/dx) dari : 1.Y = 3 makady/dx = 0 2.Y = -5 makady/dx = 0 3.Y = 2/3 makady/dx = 0 4.Y = 5³ makady/dx = 0

  4. Contoh: • Y = 5x³ makady/dx = 5.3x³ˉ¹ • dy/dx = 15x² 2. Y = 12x⁸ makady/dx = 96x⁷ 3. Y = 4x⁶ makady/dx = 24x⁵ a. Y = 2X8 = … c. Y = 3X = … b. Y = 3X4 = . .. d. Y = 5X = …

  5. Soal : Tentukan turunan pertama (dy/dx) dari Persamaan berikut : 1. Y = 2X3 + 5X2 – 6X - 8 2. Y = 6X5 - X2 – 2X + 5 3. Y = -2X3 - 5X – 6X2 + 1 4. Y = -X + X4 – X1/2 - 1 5. Y = 2 – X-1 – X + 12

  6. Jawaban : • Y = 2X3 + 5X2 – 6X – 8 • dy/dx = 6X2 + 10X1 – 6X0 - 0 • dY/dX = 6X2 + 10X - 6 • Y = 6X5 - X2 – 2X + 5 • dy/dx = 30X4 - 2X1 –2X0 + 0 • dY/dX = 30X4 -2X - 2 3. Y = -2X3 - 5X – 6X2 + 1 dy/dx = -6X2 – 5X0 – 12X1 + 0 dy/dx = -6x2 – 5 – 12x dy/dx = -6X2 – 12X - 5

  7. 4.Y = -X + X4 – X1/2 – 1 Y = -1X1 + 1X4 – 1X1/2 – 1 dy/dx = -1X0 + 4X3 – 1/2X ½-1 – 0 dy/dx = -1 + 4X3 – 1/2X -1/2 dy/dx = 4X3 – 1/2X-1/2 - 1 5. Y = 2 – X-1 – X + 12 Y = 2 – 1X-1 – 1X1 + 12 dy/dx = 0 + 1X-1-1 -1X0 + 0 dy/dx = 0 + X-2 -1X0 + 0 dy/dx = 0 + x-2 – 1 + 0 dy/dx = X-2 - 1

  8. Contoh : • Y = 5 ( 3x – 6 ) ⁶ 2. y = 5(x²-3x+2)⁶ • misal: u = 3x – 6 misal: u=x²-3x+2 • du= 3 du=2x-3 • dy/dx = 6.5(3x – 6)⁵.(3) dy/dx=30(x²-3x+2)⁵.(2x-3) • dy/dx = 90(3x – 6) ⁵ dy/dx= (60x-90)(x²-3x+2) ⁵

  9. SOAL : Tentukanturunanpertamadari : • Y = 3(x2 – 5x + 1)5 • Y = 4(5X – 3X2 ) 3 • Y = -2(4 – 2X2)3

  10. JAWAB : • Y = 3(x2 – 5x + 1)5 dy/dx = 3.5(x2 – 5x + 1) 5-1.(2x – 5) dy/dx = 15(2x – 5)(x2 – 5x + 1)4 dy/dx = (30x – 75)(x2 – 5x + 1)4

  11. 2. Y = 4(5X – 3X2 ) 3 dy/dx = 4.3(5x – 3x2) 3-1.(5 – 6x) dy/dx = 12(5 – 6x)(5x – 3x2)2 dy/dx = (60 – 72x)(5x – 3x2)2

  12. 3. Y = -2(4 – 2X2)3 dy/dx = -2.3(4 – 2x2) 3-1(-4x) dy/dx = -6(-4x)(4 – 2x2) 2 dy/dx = 24x(4 – 2x2)2

  13. Contoh: 1.Y =(2x-6)⁵(3x+7)⁶ Misal:U=(2x-6)⁵ V=(3x+7)⁶ du=5(2x-6)⁴.2 dv=6(3x+7)⁵.3 du=10(2x-6)⁴ dv=18(3x+7)⁵ dy/dx =(3x+7)⁶.[10(2x-6)⁴ ] +(2x-6)⁵.[18(3x+7)⁵] =2(3x+7)⁵.(2x-6)⁴[5(3x+7) +9(2x-6)] = 2(3x+7)⁵.(2x-6)⁴.(33x- 19)

  14. SOAL : Tentukanturunanpertamadari : • Y = (2X – 1) 3(5X + 2)2 • Y = (3 – X )2 (4X + 1)3

  15. JAWAB : • Y = (2X – 1) 3(5X + 2)2 dy/dx = (5x + 2)2.3(2x – 1)2.2 + (2x – 1)3.2(5x + 2).5 dy/dx = 6(5x + 2)2(2x – 1)2 + 10(2x -1)3(5x + 2) dy/dx = 2(5x + 2)(2x – 1)2 [ 3(5x + 2) + 5(2x – 1)] dy/dx = 2(5x + 2)(2x – 1)2(25x + 1)

  16. JAWAB : 2. Y = (3 – X )2 (4X + 1)3 dy/dx = (4x + 1)3.2(3 – x).(-1) + (3 – x)2.3(4x + 1)2.4 Dy/dx = -2(4x + 1)3(3 – x) + 12(3 – x)2(4x + 1)2 dy/dx = -2(4x + 1)2(3 – x) [(4x + 1) - 6(3 – x) ] dy/dx = -2(4x + 1)2(3 – x)(-17 + 10x)

  17. Contoh: 1.Y = 2x-5 4x+1 Misal: U=2X-5 V=4X+1 du=2 dv=4 dy/dx=(4x+1).2 – (2x-5).4 (4x+1)² = 8x+2 – 8x + 20 16x²+8x+1 (a + b )² = a ² + 2ab + b ² = 22 16x²+8x+1

  18. SOAL : Tentukanturunanpertamadari : • Y = 5X + 3 X – 4 2. Y = 6 – 3X 2X + 5

  19. JAWAB : • Y = 5X + 3 X – 4 U = 5X + 3 maka du = 5 V = X – 4 maka dV = 1 dy/dx = (X – 4).5 – (5X + 3).1 (X – 4)2 dy/dx = 5X – 20 – 5X – 3 X2 – 8X + 16 dy/dx = - 23 X2 – 8X + 16

  20. JAWAB : 2. Y = 6 – 3X 2X + 5 U = 6 – 3X maka dU = -3 V = 2X + 5 maka dV = 2 dy/dx = (2X + 5).(-3) – (6 – 3X).2 (2X + 5)2 dy/dx = -6X – 15 – 12 + 6X 4X2 + 20X + 25 dy/dx = - 27 4X2 + 20X + 25

  21. CONTOH : Y = t2 + t + 3 dimana t = 2x + 1 dy/dt = 2t + 1 ; dt/dx = 2 dy/dx = dy/dt .dt/dx dy/dx = ( 2t + 1).2 = 4t + 2 = 4(2x + 1) + 2 dy/dx= 8x + 6

  22. SOAL : Tentukan turunan pertama dari : 1. Y = 3t2 – 5t – 12 dan t = 6x + 3 2. Y = 3 – 2t – 3t2 dan t = 2 – 3x

  23. JAWAB : 1. Y = 3t2 – 5t – 12 dan t = 6x + 3 dy/dt = 6t – 5 dan dt/dx = 6 dy/dx = dy/dt .dt/dx dy/dx = (6t – 5).6 dy/dx = 36t – 30 = 36(6X + 3) – 30 = 218X + 78

  24. JAWAB : 2. Y = 3 – 2t – 3t2 dan t = 2 – 3x dy/dt = -2 – 6t dan dt/dx = -3 dy/dx = (-2 – 6t)(-3) dy/dx = 18t + 6 = 18(2 – 3X) + 6 = 42 – 54X

  25. APLIKASI TURUNAN DALAM ILMU EKONOMI A.KONSEP MARGINAL • MARGINAL PRODUK • MARGINAL REVENUE • MARGINAL COST • MARGINAL UTILITY • MARGINAL PROPENSITY TO CONSUM • MARGINAL PROPENSITY TO SAVE

  26. MARGINAL PRODUCT • MASALAH PRODUKSI Misalkan total produksi (TP) atau Q adalah kuantitas produk total,L adalah jumlah pekerja,dan fungsi produksi yang menyatakan hubungan antara output dengan input pada tingkat teknologi tertentu. Rumus : MP = dTP atau MP = dQ dL dL MP < 0, berarti penambahan pekerja justru menurunkan output

  27. CONTOH TP = 10L² - L³ TP max = …? MP = dTP = 20L – 3L² dL SYARAT I : MP = 0 atau dTP = 0 dL MP = 20L – 3L² = 0 L ( 20 – 3L) = 0 L1=0 atau 3L =20 L2 = 20/3

  28. SYARAT II : MP' < 0 atau d²TP < 0 dL² MP = 20L – 3L² MP' = 20 -6L

  29. L1 dan L2 DI TES ke MP’ L1 = 0 Substitusi Ke : 20 -6L 20 – 6.0 20 …. 0 20 > 0 tidak memenuhi

  30. Dengan cara yang sama L2 di tes L2 = 20/3 Substitusi Ke : 20 -6L 20 – 6.(20/3) 20 - 40 -20 …. 0 -20 < 0 memenuhi L2 = 20/3 merupakan nilai TP max TPmax = 10L² - L³ = 10(20/3)2 – (20/3)3 = 148,1

  31. MARGINAL REVENUE(MASALAH PENERIMAAN) Penerimaan total sebuah Firm adalah perkalian antara kuantitas produk dengan harga produk perunit Atau : TR = PxQ Rumus : MR = dTR dQ MARGINAL REVENUE PRODUCT OF LABOUR (MRPL) Rumus : MPRL = dR = dR . dQ dL dQ dL MARGINAL REVENUE PRODUCT OF CAPITAL (MRPC) Rumus : MPRC = dR = dR . dQ dC dQ dC

  32. CONTOH 1.Fungsi pendapatandarisuatupabrikdiberikansebagaiberikut : R = 5 + 140Q - Q² Fungsiproduksinya : Q = 4L Jikajumlahtenagakerja yang ada 10 orang,berapakah MPRL danjelaskanartinya.

  33. JAWAB • R = 5 + 140Q - Q² dR = 140 – 2Q dQ • Q = 4L dQ = 4 dL

  34. MPRL = dR = dR . dQ dL dQ dL MPRL = (140 – 2Q).4 Q = 4L dan L = 10 Maka Q = 4.10 = 40 Jadi, MPRL = (140 – 2.40).4 = (140 – 80 ).4 = 240 Artinya: Untuk setiap penambahan Tenaga Kerja sebanyak 10 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 240 ,dan sebaliknya

  35. SOAL 1.Fungsi pendapatandarisuatupabrikdiberikansebagaiberikut : R = 10 + 200Q - 2Q² Fungsiproduksinya : Q = 2L Jikajumlahtenaga kerja yang ada 5 orang ,berapakahMPRL danjelaskanartinya .

  36. SOLUSI R = 10 + 200Q - 2Q² Q = 2L dR = 200 – 4Q dQ = 2 dQdL MPRL = dR = dR . dQ dLdQdL = (200 – 4Q).2 L = 5 Q =2L = 10 dR = (200 – 40).2 = 320 dL Artinya: UntuksetiappenambahanTenagaKerjasebanyak 5 orangakanmenyebabkanpenambahanpendapatansebanyak 320 ,dansebaliknya

  37. Jika TR = 45Q – 0,5Q2 Dan TC = Q3 – 8 Q2 + 57Q + 2 Maka ¶ max = …. JAWAB : ¶ = TR – TC ¶ = 45Q – 0,5Q2 – (Q3 – 8 Q2 + 57Q + 2 ) ¶ = 45Q – 0,5Q2 – Q3 + 8 Q2 - 57Q - 2 ¶ = - Q3 + 7,5Q2– 12Q – 2 M¶ = 0 M¶ = - 3Q2 + 15Q – 12 = 0 Q2– 5Q + 4 = 0 … x … = 4 … + … = - 5 (Q – 1)(Q - 4 ) = 0 Q1 = 1 Q2 = 4

  38. M¶ = - 3Q2 + 15Q – 12 M¶' = -6Q + 15 Test Q1 dan Q2 ke M¶' Q1 = 1 ke M¶' = -6(1) + 15 = 9 > 0 (min) Q2 = 4 ke M¶' = -6(4) + 15 = -9 < 0(max) Q2 = 4 merupakan ¶ max, ¶ max = - Q3 + 7,5Q2– 12Q – 2 ¶ max = -(4)3 + 7,5(4)2– 12(4) – 2 = $6

  39. SOAL Jika TR = 8Q – Q2 Dan TC = 1/3Q3 – 5 Q2 + 23Q - 50 Maka¶ max = ….

  40. SOLUSI ¶ = TR – TC ¶ = 8Q – Q2– (1/3Q3– 5Q2 + 23Q – 50) = 8Q – Q2– 1/3Q3 + 5Q2– 23Q + 50 = 50 - 15Q + 4Q2– 1/3Q3

  41. SOLUSI M¶ = 0 - 15 + 8Q – Q2 = 0 Q2 – 8Q + 15 = 0 (Q – 3)(Q – 5) = 0 Q - 3 = 0 Q - 5 = 0 Q = 3 Q = 5

  42. SOLUSI ¶ = 50 - 15Q + 4Q2 – 1/3Q3 M¶ = - 15 + 8Q – Q2 M¶' = 8 – 2Q

  43. SOLUSI Q = 3 ke M¶' M¶' = 8 – 2(3) = 2 > 0 tidak memenuhi Q = 5 ke M¶' M¶' = 8 – 2(5) = - 2 < 0 memenuhi

  44. SOLUSI Q = 5 substitusi ke ¶max ¶max = 50 – 15(5) + 4(5)2 – 1/3(5)3 = 50 – 75 + 100 – 125/3 = 33 1/3 jadi profit maksimum diperoleh sebesar 33 1/3

  45. OPTIMASI MULTIVARIAT ¶ = 80X – 32X2– XY - 3Y2 + 100Y JAWAB : Ə¶ = 80 – 64X – Y = 0 ƏX Ə¶ = -X – 6Y + 100 = 0 ƏY X = 380/383 = 0,99 = 1 Y = 16,5 = 16 Jadiperusahaanmemaksimumkan ¶ padasaatmenjual 16 unit komoditi Y dan 1 unit komoditi X. ¶ MAX = 80(1) – 32(1)2– (1)(16) – 3(16)2 + 100(16) = 80 – 32 – 16 - 768 + 1600 = $ 864

  46. SOAL ¶ = 12X – X2– 2XY + 6Y2 - 20Y + 50 JAWAB : Ə¶ =…………………= 0 ƏX Ə¶ =…………………. = 0 ƏY X = … Y = … Jadi perusahaan memaksimumkan ¶ pada saat menjual … unit komoditi Y dan… unit komoditi X. ¶ MAX = 12(…) – (…)2– 2(…)(…) + 6(…)2 - 20(…) + 50 = …………………………….. = … 12 - 2X - 2Y - 2X + 12Y – 20 4 2 2 4 4 4 4 2 2 2 48 – 16 – 16 + 24 - 40 $0 0

  47. OPTIMASI TERKENDALA DENGAN METODE PENGALI LAGRANGE ¶ = 80X – 2X2– XY – 3Y2 + 100Y KENDALA X + Y = 12 JAWAB : L¶ = 80X – 2X2– XY – 3Y2 + 100Y + λ (X+Y-12) ƏL¶ = 80 - 4X – Y + λ = 0 ƏX ƏL¶ = - X – 6Y + 100 + λ = 0 ƏY ƏL¶ = X + Y – 12 = 0 Ə λ Y = 7 , X = 5 , λ = -53 Nilai dari λ mempunyai interpretasi ekonomi yang penting.ini adalah dampak marjinal pada solusi fungsi tujuan yang berhubungan dengan perubahan 1 unit dari kendala.Dalam masalah di atas , hal ini berarti bahwa penurunan kendala kapasitas output dari 12 menjadi 11 unit atau naik ke 13 unit akan ,berturut-turut,mengurangi atau menambah laba total perusahaan (¶) sebesar lebih kurang $ 53

  48. SOAL 1.Pada fungsi penerimaan total dan biaya total dari perusahaan berikut ini : TR = 22Q – 0,5Q2 dan TC = 1/3Q3 – 8,5Q2 + 50Q + 90 Tentukan : a.tingkat output dimana perusahaan memaksimumkan laba totalnya b. Laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan

  49. SOAL 2.Penerimaan total dan biaya total suatu perusahaan adalah : TR = 4Q , TC = 0,04Q3 – 0,9Q2 + 10Q + 5 a.Tentukan tingkat output terbaik b.Tentukan laba total perusahaan pada tingkat output terbaiknya

  50. SOAL 3.Pada fungsi biaya berikut ini,tentukan tingkat (bukan nol) output ketika fungsi biaya mencapai minimum.selanjutnya,tentukan tingkat biaya pada output tersebut • AC = 200 – 24Q + Q2 • MC = 200 – 48Q + 3Q2

More Related