Quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, ecc.

1. Quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, ecc. I problemi della matematica Greca classica.

2. Qual è ’l geomètra che tutto s’affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond’elli indige, tal era … Divina Commedia, Paradiso XXXIII, 133-136

3. Al termine del secondo millennio A.C. avvennero grandi cambiamenti economici e politici nell’intera area Mediterranea. Sparirono le civiltà Minoica, Micenea ed Hittita, Egitto e Babilonia furono notevolmente indebolite. In Egitto questo periodo è ricordato come quello delle incursioni dei Popoli del Mare, non ben identificati. In linguaggio moderno, siamo al termine dell’Età del Bronzo e, dopo un periodo di 2 o 3 secoli emergerà l’Età del Ferro. I popoli che troviamo dopo questi secoli oscuri (è sparita la scrittura minoico- micenea, ecc.) sono gli Ebrei, i Fenici ed i Greci. L’antico Oriente riprese il suo sviluppo secondo linee tradizionali, ma si venne a creare lo scenario per la completamente nuova civilizzazione Greca. Nessun testo matematico ci è giunto del periodo di transizione. Il nuovo ordine sociale, basato principalmente su attività mercantile e di conseguenza su una più grande indipendenza personale per i membri della nuova classe di commercianti, permise lo sviluppo di un pensiero filosofico razionale. La matematica moderna nasce in questa atmosfera di razionalismo che irradia dalle città ioniche, prima fra tutte Mileto. La nuova matematica non cerca di rispondere alla vecchia domanda orientale “Come procedere?”, ma anche alla nuova e fondamentale questione “Perché?”.

4. Il tradizionale “padre” della matematica greca è ritenuto Talete di Mileto, da collocarsi nella prima metà del VI sec. A.C. La sua figura è largamente leggendaria, ma simbolizza le circostanze nelle quali vennero poste le fondamenta della scienza moderna. La matematica doveva aiutare l’uomo greco a capire il suo posto nell’Universo, a trovare un ordine nel caos apparente, a concatenare le idee in forma logica e a trovare principi fondamentali. Era la più razionale delle scienze. I Greci vennero ovviamente a conoscenza della matematica orientale, ma scoprirono presto che gli Orientali avevano lasciato da parte la razionalizzazione. Per fare un esempio semplice: da secoli, se non da millenni, si sapeva che un triangolo isoscele (cioè con due lati uguali) aveva due angoli uguali; ma perché? Talete

5. Sfortunatamente non ci sono rimasti testi e documentazioni primari che ci possano dare un quadro del primo sviluppo della matematica greca. I codici esistenti sono di era cristiana ed islamica, a parte qualche frammento più antico trovato su papiri egizi. Ciò nonostante gli studi filologici classici hanno permesso di ricostruire testi che risalgono al IV sec. A.C. e così abbiamo edi- zioni affidabili di Euclide, Archimede, Apollonio ed altri grandi matematici dell’antichità. Euclide Apollonio Questi testi ci mostrano una matematica già completamente sviluppata, il cui divenire storico è molto difficilmente rilevabile.

6. Nel quadro sociale del cosiddetto Periodo d’Oro della Grecia, cioè la seconda metà del V sec. A.C., dopo le vittorie sui Persiani e l’emergere di Atene come città egemone, emerse un gruppo di uomini, i sofisti, che con mentalità critica affrontarono i problemi della matematica come parte dell’indagine filosofica del mondo. Ricordiamo l’Accademia di Platone (si racconta che la porta di ingresso portasse il motto “Non entri chi non conosce la geometria”) e tre grandi matematici ad essa collegati: Archita, Theteto ed Eudosso (prima metà del III sec. A.C.) le cui teorie appaiono negli Elementi di Euclide. Platone Archita

7. Finalmente Euclide. Visse probabilmente durante il regno di Tolomeo I (306- 283 A.C.) e lavorò ad Alessandria d’Egitto. La sua opera più famosa sono gli Elementi, in XIII Libri. Sono il primo testo di matematica preservato nella sua completezza. Con la Bibbia, gli Elementi sono probabilmente il libro più riprodotto e studiato nella storia del Mondo Occidentale. La trattazione di Euclide è basata su una deduzione logica di teoremi, partendo da definizioni, postulati, e/o assiomi. L’ultimo dei grandi trattati matematici Alessandrini è la Collezione (Synagoge) di Pappo (inizio IV sec.). Euclide

8. Molti dei risultati di autori più antichi sono noti solo nella forma trasmessaci da Pappo, inclusi i tre famosi problemi matematici dell’antichità: • La trisezione di un angolo; • La duplicazione del cubo (il problema di Delo); • La quadratura del cerchio, cioè trovare un quadrato avente area uguale a quella di un dato cerchio.

9. Il problema di Delo, o duplicazione del cubo, ha una storia leggendaria e mitologica. Ci sono varie versioni che riportano ad Eratostene (276-196 A.C., Cyrene). Theone di Smirne (100 D.C.) racconta che Eratostene disse che il dio (Apollo) annunciò ai Deliani che per liberarsi dall’epidemia che li affliggeva avrebbero dovuto costruire un altare doppio di quello esistente. Non riuscendo a comprendere cosa esattamente dovessero fare, si rivolsero a Platone. Quest’ultimo disse loro che il dio non voleva un altare cubico di volume doppio di quello esistente, ma poneva questa sfida per rimproverare i Greci di aver lasciato lo studio delle matematica e per il loro disprezzo della geometria. Eutocio (c. 480-540 D.C.) nel “Commento sul trattato Sfera e Cilindro di Archimede”, riporta una (falsa) lettera di Eratostene al re Tolomeo Evergetes, dove si racconta che quando Minosse stava preparando la tomba per Glauco (una fossa cubica) volle duplicarne il volume. Eratostene

10. Riguardo al problema della quadratura del cerchio, Plutarco (c. 46-120 D.C.) nel libro “Sull’esilio” scrive: “Non esiste posto che possa togliere la felicità all’uomo, e neppure la sua virtù ed intelligenza. Annassagora, infatti, scrisse sulla quadratura del cerchio mentre era rinchiuso in prigione” La popolarità del problema è provata da queste righe degli “Uccelli” di Aristofane (c. 446-386 A.C., gli “Uccelli”: 414 A.C.): Metone. Così, applicando la mia corda flessibile qui e là il mio compasso – capisci, vero? Peistetairos. No, non capisco. Metone. Con la corda diritta io posso misurare e così il cerchio diventerà un quadrato per te.

11. Veniamo ora alla questione cruciale: cosa intendevano i geometri della Grecia classica quando parlavano di risoluzione di un problema? Si intendeva la costruzione della soluzione (un certo segmento, un certo angolo) a partire dai dati, utilizzando gli strumenti (concettuali) che noi moderni chiamiamo Euclidei: la riga e il compasso. Vanno fatte alcune precisazioni riguardo a questi due strumenti. La riga è usata esclusivamente per tracciare una retta per due punti dati; il compasso per tracciare una circonferenza di dato centro e passante per un punto dato. Già al tempo di Platone ci si era resi conto che i problemi di duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo e quadratura del cerchio presentavano tali difficoltà da non poter essere risolti con costruzioni con riga e compasso. Ma una dimostrazione di ciò non esisteva. Si produssero vari metodi per risolvere tali problemi con strumenti più complessi, ma non intendo entrare in questa questione. Solo nel XIX secolo si è giunti alla dimostrazione della non risolubilità Euclidea (con riga e compasso) dei tre problemi. Vediamo di seguire la procedura, di carattere algebrico-geometrico, che ci porterà alla (non facile!) conclusione. Questa procedura trova la sua origine nella Gėomėtrie di Cartesio (1637), primo testo organico nel quale l’algebra viene usata per risolvere problemi geometrici.

12. La prima nozione da introdurre è quella di punto costruibile nel piano. • Nel piano, con un sistema di coordinate • cartesiane ortogonali monometriche, • fissiamo due punti iniziali: • (0,0) e (1,0). • Diremo che un punto del piano è costruibile • è l’ultimo di una sequenza finita di punti • P1, P2, …, Pn tali che ognuno di essi è o uno • dei due punti dati, oppure è ottenuto in uno • dei seguenti modi: • Intersezione di 2 rette, ciascuna delle quali passa per due punti che lo precedono nella sequenza; (b) Intersezione fra una retta per due punti che lo precedono e una circonferenza avente centro e passante per punti che lo precedono; (c) Intersezione fra 2 circonferenze, entrambe aventi centro e passanti per due punti che lo precedono. . (0,0) (1,0) Un numero x si dirà costruibile se il punto (x,0) è costruibile.

13. Consideriamo il problema della duplicazione del cubo (quello della trisezione dell’angolo ne è strettamente legato e non lo tratteremo esplicitamente). Il cubo di volume doppio di quello dato, che possiamo supporre abbia lato lungo 1, ha lato lungo Quindi la domanda è: . è un numero costruibile? Non è difficile mostrare che sea e b sono numeri costruibili, allora lo sono anche a+b, a-b, ab, a/b (se b non è nullo) e, se c>0, la radice quadrata di c.

14. Appare ora una costruzione algebrica di importanza fondamentale che ci permetterà di individuare quali sono I numeri costruibili. Sep, q, d sono costruibili e d>0, allora p+q√d è costruibile. Partendo dai numeri interi (che sono tutti costruibili) otteniamo le frazioni p/q. Partendo da questa e da una qualunque sequenza d1,, …, dndi frazioni positive la cui radice quadrata non sia razionale, otteniamo che i numeri della forma sono tutti costruibili. L’insieme di tutti questi numeri, che indichiamo con E, è quello dei numeri costruibili. Come sono questi numeri? Sono tutti i numeri reali che possiamo scrivere partendo dagli interi, usando solo parentesi, i segni +, -, x, : e la radice quadrata. Per esempio, il numero è costruibile.

15. Si ha il seguente risultato: Se una equazione di terzo grado a coefficienti interi non ha radici razionali, allora nessuna delle sue radici sta in E. Poiché la radice cubica di 2 è radice dell’equazione x3-2=0 e ovviamente non è razionale, essa non sta in E. Il cubo di volume doppio di uno dato non è costruibile. La prima dimostrazione rigorosa di questo risultato è del francese Pierre Laurent Wantzel (1814-1848) e fu pubblicata nel 1837 (Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géometrie peut se résoudre avec la règle et le compas, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 2 (1837), 366-372).

16. Di ben altra complessità è il problema della quadratura del cerchio, cioè nei termini di quanto appena detto, se il numero π, rapporto fra area della circonferenza e quadrato del raggio della stessa, sia costruibile o no. Già non è ovvio sapere se π sia razionale oppure no. Nel caso della radice cubica di 2 la sua irrazionalità è evidente e nota da millenni. Ma π? Solo nel 1761, Johann Heinrich Lambert (1728- 1777, Mulhouse – Berlino) dimostrò l’irrazionalità di π, cioè che non esistono due interi p e q tali che π=p/q. Lambert

17. Ciò porta immediatamente ad un’altra difficoltà: i numeri razionali hanno tutti un “nome”: p/q; i numeri irrazionali hanno un “nome”, sia pure in senso esteso? Per intenderci, √2 è un “nome” di “parentela”: è il numero il cui quadrato è 2; il numero φ=(1+√5)/2 (rapporto aureo) è tale che φ2- φ=1, oppure [2φ-1]2=5. Qui abbiamo incontrato due numeri irrazionali, aventi un “nome”, che sono soluzioni di due equazioni algebriche a coefficienti interi: x2-2=0 e x2-x-1=0. Sganciamoci, allora, dalla vaga nozione di numero avente un “nome”, per portarci ad un concetto rigorosamente definito, quello dei numeri che sono radici di polinomi a coefficienti interi, cioè i numeri α per i quali esiste un polinomio Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an con a0, a1,…, an interi, tale che Pn(α)=a0αn+a1αn-1+…+an-1α+an=0. Questi numeri sono chiamati algebrici.

18. Banalmente, ogni numero razionale è algebrico: p/q è soluzione dell’equazione qx-p=0. I numeri che non sono algebrici si dicono trascendenti. Questa nozione risale a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), in un lavoro del 1682. Ma esistono questi numeri? Domanda non banale! Solo nel 1844, Joseph Liouville ne dimostra l’esistenza e, nel 1851, ne costruisce una classe. Leibniz Liouville

19. Nel 1891, Georg Cantor pubblica un lavoro contenente il suo famoso argomento diagonale, dal quale segue che non solo esistono infiniti numeri trascendenti, ma che in realtà “quasi tutti” i numeri reali sono trascendenti. Cantor

20. Torniamo alla classe Edei numeri costruibili. Non è molto difficile vedere che essi sono tutti numeri algebrici. Quindi ogni numero trascendente non è costruibile. La dimostrazione delle non costruibilità di π sarà quindi raggiunta qualora si riesca a provare la sua trascendenza. Come dovrebbe essere emerso da tutta la discussione fin qui condotta, non è cosa da poco dimostrare la trascendenza di un numero. La dimostrazione della trascendenza di πè stata data nel 1882 da Ferdinand Lindemann (1852-1939) nell’articolo “Über die Zahl π”, Mathematische Annalen 20 (1882), 213-225. La dimostrazione fa uso del calcolo differenziale e integrale. Lindemann

21. Quali conclusioni possiamo trarre? Tre problemi nati più di 2400 anni fa e risolti abbastanza facilmente con costruzioni più complesse di quelle fattibili con riga e compasso, sono stati come un fil rougecheha percorso la matematica nel suo sviluppo, con momenti emersione e momenti di nascondimento. Ma perché questo interesse? In fondo con altri metodi erano stati risolti. Qui emerge un fatto fondamentale che differenzia la matematica dalle altre scienze. In fondo che importa della duplicazione del cubo o della trisezione di un angolo; sono risultati fine a sé stessi che non producono gran che di interessante. La vera domanda interessante è la seguente: perché non riusciamo a costruire i segmenti che cerchiamo, usando riga e compasso? Non siamo abbastanza bravi (e questo succede abbastanza frequentemente) o non è possibile? Come possiamo dimostrare l’impossibilità delle costruzioni richieste? Queste domande sono state feconde nei secoli, producendo tanta matematica, tante nuove teorie e aprendo nuovi punti di vista suscettibili di sviluppi che a giusto titolo possiamo dire grandiosi. Hanno fatto crescere l’esigenza di un rigore logico sempre più netto, contribuendo alla costruzione della matematica moderna, anch’essa in cammino verso altri risultati, altre aperture sulla nostra mente, sul nostro pensiero e le sue strutture.

22. Il punto di arrivo ove ci hanno portato questi problemi non è granché importante. Fondamentale è stata la strada, sono state le strade, anche quelle in qualche modo cieche, lungo le quali ci hanno portato i tre problemi classici Greci.